BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2022 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (1,5−0,5)⋅3−2⋅0,5=2(1{,}5 - 0{,}5) \cdot 3 - 2 \cdot 0{,}5 = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
(1,5−0,5)⋅3−2⋅0,5=1⋅3−1(1{,}5 - 0{,}5) \cdot 3 - 2 \cdot 0{,}5 = 1 \cdot 3 - 1
2
2 puncte
=3−1=2= 3 - 1 = 2
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x−3f(x) = 2x - 3. Determinați numărul real aa pentru care f(a)=9f(a) = 9.

Rezolvare

1
2 puncte
f(a)=2a−3f(a) = 2a - 3
2
3 puncte
2a−3=92a - 3 = 9, de unde obținem a=6a = 6
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡4(3x−1)=log⁡45\log_4(3x - 1) = \log_4 5.

Rezolvare

1
3 puncte
3x−1=53x - 1 = 5
2
2 puncte
x=2x = 2, care convine
Exercițiul 4
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}, acesta să verifice inegalitatea 5n≤225n \leq 22.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea AA are 1010 elemente, deci sunt 1010 cazuri posibile
2
3 puncte
Numerele nn din mulțimea AA pentru care 5n≤225n \leq 22 sunt 00, 11, 22, 33 și 44, deci sunt 55 cazuri favorabile, de unde obținem p=510=12p = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(−2,1)A(-2, 1) și B(6,3)B(6, 3). Determinați coordonatele mijlocului segmentului ABAB.

Rezolvare

1
3 puncte
xM=−2+62x_M = \dfrac{-2 + 6}{2}, yM=1+32y_M = \dfrac{1 + 3}{2}, unde MM este mijlocul segmentului ABAB
2
2 puncte
xM=2x_M = 2, yM=2y_M = 2
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AC=4AC = 4 și BC=5BC = 5. Arătați că aria triunghiului ABCABC este egală cu 66.

Rezolvare

1
2 puncte
AB=3AB = 3
2
3 puncte
A△ABC=AB⋅AC2=3⋅42=6\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \dfrac{AB \cdot AC}{2} = \dfrac{3 \cdot 4}{2} = 6

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(2113)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} și B(x)=(2−xxx2)B(x) = \begin{pmatrix} 2 - x & x \\ x & 2 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡A=5\det A = 5. b) Arătați că 2A−B(2)=2B(0)2A - B(2) = 2B(0). c) Determinați numerele reale xx pentru care det⁡(B(x)⋅B(1)−(x+1)A)=1\det\left(B(x) \cdot B(1) - (x + 1)A\right) = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
a) det⁡A=∣2113∣=2⋅3−1⋅1\det A = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1
2
2 puncte
=6−1=5= 6 - 1 = 5
3
3 puncte
b) 2A−B(2)=(4226)−(0222)=(4004)=2(2002)=2B(0)2A - B(2) = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2B(0)
4
2 puncte
c) B(1)=(1112)⇒B(x)⋅B(1)−(x+1)A=(2x+2x+2x+4)−(2x+2x+1x+13x+3)=(−2x111−2x)B(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow B(x) \cdot B(1) - (x + 1)A = \begin{pmatrix} 2 & x + 2 \\ x + 2 & x + 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2x + 2 & x + 1 \\ x + 1 & 3x + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2x & 1 \\ 1 & 1 - 2x \end{pmatrix}
5
2 puncte
și det⁡(B(x)⋅B(1)−(x+1)A)=4x2−2x−1\det\left(B(x) \cdot B(1) - (x + 1)A\right) = 4x^2 - 2x - 1, pentru orice număr real xx
6
1 punct
4x2−2x−1=1⇔2x2−x−1=04x^2 - 2x - 1 = 1 \Leftrightarrow 2x^2 - x - 1 = 0, de unde obținem x=−12x = -\dfrac{1}{2} sau x=1x = 1
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y−6xyx \circ y = x + y - 6xy. a) Arătați că 1∘1=−41 \circ 1 = -4. b) Arătați că e=0e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\circ”. c) Determinați numerele întregi mm pentru care m∘(3−m)<3m \circ (3 - m) < 3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 1∘1=1+1−6⋅1⋅11 \circ 1 = 1 + 1 - 6 \cdot 1 \cdot 1
2
2 puncte
=2−6=−4= 2 - 6 = -4
b)5 puncte
3
2 puncte
b) 0∘x=0+x−6⋅0⋅x=0+x−0=x0 \circ x = 0 + x - 6 \cdot 0 \cdot x = 0 + x - 0 = x, pentru orice număr real xx
4
3 puncte
x∘0=x+0−6⋅x⋅0=x+0−0=xx \circ 0 = x + 0 - 6 \cdot x \cdot 0 = x + 0 - 0 = x, pentru orice număr real xx, deci e=0e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\circ”
c)5 puncte
5
2 puncte
c) m∘(3−m)=3−6m(3−m)m \circ (3 - m) = 3 - 6m(3 - m), pentru orice număr întreg mm
6
3 puncte
3−6m(3−m)<3⇔m(m−3)<03 - 6m(3 - m) < 3 \Leftrightarrow m(m - 3) < 0 și, cum mm este număr întreg, obținem m=1m = 1 și m=2m = 2

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x3−3x4+2f(x) = 2x^3 - 3x^4 + 2. a) Arătați că f′(x)=6x2(1−2x)f'(x) = 6x^2(1 - 2x), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Arătați că lim⁡x→+∞f(x)+3x4x3+4=2\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x) + 3x^4}{x^3 + 4} = 2. c) Demonstrați că −32≤2x3−3x4≤116-32 \leq 2x^3 - 3x^4 \leq \dfrac{1}{16}, pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=2⋅3x2−3⋅4x3f'(x) = 2 \cdot 3x^2 - 3 \cdot 4x^3
2
2 puncte
=6x2−12x3=6x2(1−2x)= 6x^2 - 12x^3 = 6x^2(1 - 2x), x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)+3x4x3+4=lim⁡x→+∞2x3+2x3+4=lim⁡x→+∞x3(2+2x3)x3(1+4x3)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x) + 3x^4}{x^3 + 4} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^3 + 2}{x^3 + 4} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^3\left(2 + \dfrac{2}{x^3}\right)}{x^3\left(1 + \dfrac{4}{x^3}\right)}
4
3 puncte
=lim⁡x→+∞2+2x31+4x3=2= \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2 + \dfrac{2}{x^3}}{1 + \dfrac{4}{x^3}} = 2
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)=0⇒x=0f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0 sau x=12x = \dfrac{1}{2}; f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru x∈[0,12]x \in \left[0, \dfrac{1}{2}\right], deci ff este crescătoare pe [0,12]\left[0, \dfrac{1}{2}\right] și f′(x)≤0f'(x) \leq 0 pentru x∈[12,2]x \in \left[\dfrac{1}{2}, 2\right], deci ff este descrescătoare pe [12,2]\left[\dfrac{1}{2}, 2\right]
6
3 puncte
f(0)=2f(0) = 2, f(12)=3316f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{33}{16} și f(2)=−30f(2) = -30, deci −30≤f(x)≤3316-30 \leq f(x) \leq \dfrac{33}{16}, pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], de unde obținem −32≤2x3−3x4≤116-32 \leq 2x^3 - 3x^4 \leq \dfrac{1}{16}, pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2]
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+3exf(x) = 2x + 3e^x. a) Arătați că ∫23(f(x)−3ex) dx=5\displaystyle\int_2^3 \left(f(x) - 3e^x\right)\, dx = 5. b) Arătați că ∫01x(f(x)−2x) dx=3\displaystyle\int_0^1 x\left(f(x) - 2x\right)\, dx = 3. c) Determinați numărul real aa, știind că ∫01f′(x)−x2f(x)−x2 dx=aln⁡(e+12)\displaystyle\int_0^1 \dfrac{f'(x) - x}{2f(x) - x^2}\, dx = a\ln\left(e + \dfrac{1}{2}\right).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫23(f(x)−3ex) dx=∫232x dx=x2∣23\displaystyle\int_2^3 \left(f(x) - 3e^x\right)\, dx = \int_2^3 2x\, dx = \left. x^2 \right|_2^3
2
2 puncte
=9−4=5= 9 - 4 = 5
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫01x(f(x)−2x) dx=∫013xex dx=3xex∣01−3ex∣01\displaystyle\int_0^1 x\left(f(x) - 2x\right)\, dx = \int_0^1 3xe^x\, dx = \left. 3xe^x \right|_0^1 - \left. 3e^x \right|_0^1
4
2 puncte
=3e−0−3e+3=3= 3e - 0 - 3e + 3 = 3
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫01f′(x)−x2f(x)−x2 dx=12∫01(2f(x)−x2)′2f(x)−x2 dx=12ln⁡∣2f(x)−x2∣∣01=12ln⁡(e+12)\displaystyle\int_0^1 \dfrac{f'(x) - x}{2f(x) - x^2}\, dx = \dfrac{1}{2}\int_0^1 \dfrac{\left(2f(x) - x^2\right)'}{2f(x) - x^2}\, dx = \dfrac{1}{2}\left. \ln\left|2f(x) - x^2\right| \right|_0^1 = \dfrac{1}{2}\ln\left(e + \dfrac{1}{2}\right)
6
2 puncte
12ln⁡(e+12)=aln⁡(e+12)\dfrac{1}{2}\ln\left(e + \dfrac{1}{2}\right) = a\ln\left(e + \dfrac{1}{2}\right), de unde obținem a=12a = \dfrac{1}{2}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2022 — Științele Naturii

Următor →

Bac Toamnă 2022 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac