BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2023 — Matematică-Informatică (Varianta 6)

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (2−i)2+i(4+i)=2(2 - i)^2 + i(4 + i) = 2, unde i2=−1i^2 = -1.

Rezolvare

1
3 puncte
(2−i)2+i(4+i)=4−4i+i2+4i+i2(2 - i)^2 + i(4 + i) = 4 - 4i + i^2 + 4i + i^2.
2
2 puncte
=4−1−1=2= 4 - 1 - 1 = 2.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+3f(x) = x + 3. Determinați numărul real mm pentru care (f∘f)(m)=2m(f \circ f)(m) = 2m.

Rezolvare

1
3 puncte
(f∘f)(m)=f(f(m))=f(m+3)=m+3+3=m+6(f \circ f)(m) = f(f(m)) = f(m + 3) = m + 3 + 3 = m + 6, pentru orice număr real mm.
2
2 puncte
Din m+6=2mm + 6 = 2m se obține m=6m = 6.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x+1−3⋅5x=105^{x+1} - 3 \cdot 5^x = 10.

Rezolvare

1
3 puncte
5⋅5x−3⋅5x=105 \cdot 5^x - 3 \cdot 5^x = 10, deci 2⋅5x=102 \cdot 5^x = 10, de unde 5x=55^x = 5.
2
2 puncte
x=1x = 1.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele mai mari sau egale cu 77.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile.
2
3 puncte
Deoarece cifrele pot fi 77, 88 și 99, sunt 3⋅3=93 \cdot 3 = 9 numere naturale de două cifre care au cifrele mai mari sau egale cu 77, deci sunt 99 cazuri favorabile, de unde p=990=110p = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,4)A(0, 4), B(3,−2)B(3, -2) și C(2a,a)C(2a, a), unde aa este număr real nenul. Arătați că dreptele ABAB și OCOC sunt perpendiculare, pentru orice număr real nenul aa.

Rezolvare

1
2 puncte
mAB=−2−43−0=−2m_{AB} = \frac{-2 - 4}{3 - 0} = -2.
2
3 puncte
mOC=a2a=12m_{OC} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}, pentru orice număr real nenul aa și, cum mAB⋅mOC=(−2)⋅12=−1m_{AB} \cdot m_{OC} = (-2) \cdot \frac{1}{2} = -1, dreptele ABAB și OCOC sunt perpendiculare, pentru orice număr real nenul aa.
Exercițiul 6
Se consideră expresia E(x)=sin⁡x+4cos⁡x3sin⁡2x3E(x) = \sin x + 4\cos\frac{x}{3}\sin\frac{2x}{3}, unde xx este număr real. Arătați că E(π2)=4E\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4.

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡π2=1\sin\frac{\pi}{2} = 1, cos⁡π6=32\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡π3=32\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
2
2 puncte
E(π2)=1+4⋅32⋅32=1+4⋅34=1+3=4E\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + 4 \cdot \frac{3}{4} = 1 + 3 = 4.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(a−12a1−2a111−a)A(a) = \begin{pmatrix} a & -1 & 2a \\ 1 & -2 & a \\ 1 & 1 & 1-a \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax−y+2az=0x−2y+az=0x+y+(1−a)z=0\begin{cases} ax - y + 2az = 0 \\ x - 2y + az = 0 \\ x + y + (1-a)z = 0 \end{cases}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=1\det(A(0)) = 1. b) Determinați mulțimea numerelor reale aa pentru care sistemul de ecuații are soluție unică. c) Pentru a=−1a = -1, determinați soluțiile (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) ale sistemului pentru care x02+y02+z02=3x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = 3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(0)=(0−101−20111)A(0) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(0))=∣0−101−20111∣\det(A(0)) = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}.
2
3 puncte
Se dezvoltă determinantul: =0+0+0−0−0−(−1)=1= 0 + 0 + 0 - 0 - 0 - (-1) = 1, deci det⁡(A(0))=1\det(A(0)) = 1.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se calculează det⁡(A(a))=∣a−12a1−2a111−a∣=(a+1)2\det(A(a)) = \begin{vmatrix} a & -1 & 2a \\ 1 & -2 & a \\ 1 & 1 & 1-a \end{vmatrix} = (a+1)^2, pentru orice număr real aa.
4
3 puncte
det⁡(A(a))=0⇔a=−1\det(A(a)) = 0 \Leftrightarrow a = -1, deci sistemul de ecuații are soluție unică dacă și numai dacă a∈R∖{−1}a \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Pentru a=−1a = -1, soluțiile sistemului de ecuații sunt de forma (−α,−α,α)(-\alpha, -\alpha, \alpha), cu α∈R\alpha \in \mathbb{R}.
6
3 puncte
x02+y02+z02=3α2x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = 3\alpha^2, deci 3α2=33\alpha^2 = 3, de unde α=−1\alpha = -1 sau α=1\alpha = 1, deci soluțiile sunt (1,1,−1)(1, 1, -1) și (−1,−1,1)(-1, -1, 1).
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2y2−4(x+y)2+1x * y = x^2y^2 - 4(x + y)^2 + 1. a) Arătați că 0∗1=−30 * 1 = -3. b) Arătați că x∗(−1)≤2xx * (-1) \leq 2x, pentru orice număr real xx. c) Determinați perechile (m,n)(m, n) de numere naturale nenule, cu m≤nm \leq n, pentru care m∗n=1m * n = 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 0∗1=02⋅12−4(0+1)2+10 * 1 = 0^2 \cdot 1^2 - 4(0 + 1)^2 + 1.
2
2 puncte
=0−4+1=−3= 0 - 4 + 1 = -3.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗(−1)=x2⋅1−4(x−1)2+1=−3x2+8x−3x * (-1) = x^2 \cdot 1 - 4(x - 1)^2 + 1 = -3x^2 + 8x - 3.
4
3 puncte
=−3x2+6x−3+2x=−3(x−1)2+2x≤2x= -3x^2 + 6x - 3 + 2x = -3(x - 1)^2 + 2x \leq 2x, pentru orice număr real xx.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) m2n2−4(m+n)2+1=1m^2n^2 - 4(m + n)^2 + 1 = 1, și, cum mm și nn sunt numere naturale nenule, se obține mn−2m−2n=0mn - 2m - 2n = 0.
6
3 puncte
(m−2)(n−2)=4(m - 2)(n - 2) = 4, și, cum mm și nn sunt numere naturale nenule, cu m≤nm \leq n, perechile sunt (3,6)(3, 6) și (4,4)(4, 4).

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x5−ln⁡(x2+x+5)f(x) = \frac{x}{5} - \ln(x^2 + x + 5). a) Arătați că f′(x)=x2−9x5(x2+x+5)f'(x) = \frac{x^2 - 9x}{5(x^2 + x + 5)}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției ff în care tangenta la graficul funcției ff este paralelă cu axa OxOx. c) Demonstrați că ecuația f(x)=0f(x) = 0 are soluție unică.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=15−2x+1x2+x+5f'(x) = \frac{1}{5} - \frac{2x + 1}{x^2 + x + 5}.
2
2 puncte
=x2+x+5−10x−55(x2+x+5)=x2−9x5(x2+x+5)= \frac{x^2 + x + 5 - 10x - 5}{5(x^2 + x + 5)} = \frac{x^2 - 9x}{5(x^2 + x + 5)}, x∈Rx \in \mathbb{R}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Tangenta la graficul funcției ff în punctul de coordonate (a,f(a))(a, f(a)) este paralelă cu axa OxOx dacă și numai dacă f′(a)=0f'(a) = 0.
4
2 puncte
a2−9a=0a^2 - 9a = 0, de unde a=0a = 0 sau a=9a = 9.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru orice x∈(−∞,0]x \in (-\infty, 0], deci ff este crescătoare pe (−∞,0](-\infty, 0]; f′(x)≤0f'(x) \leq 0 pentru orice x∈[0,9]x \in [0, 9], deci ff este descrescătoare pe [0,9][0, 9], deci f(x)≤f(0)f(x) \leq f(0) pentru orice x∈(−∞,9]x \in (-\infty, 9].
6
3 puncte
f′(x)>0f'(x) > 0 pentru orice x∈(9,+∞)x \in (9, +\infty), deci ff este strict crescătoare pe (9,+∞)(9, +\infty) și, cum f(0)=−ln⁡5<0f(0) = -\ln 5 < 0, lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty și ff este continuă, ecuația f(x)=0f(x) = 0 are soluție unică.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→Rf : (-2, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=4xx3+8f(x) = \frac{4x}{x^3 + 8}. a) Arătați că ∫02(x3+8)f(x) dx=8\displaystyle\int_0^2 (x^3 + 8) f(x)\,dx = 8. b) Arătați că ∫14xf(x) dx=4ln⁡2\displaystyle\int_1^4 x f(x)\,dx = 4\ln 2. c) Calculați lim⁡x→0(1x3∫0xt⋅f(t) dt)\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x^3} \int_0^x t \cdot f(t)\,dt\right).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫02(x3+8)f(x) dx=∫024x dx=2x2∣02\int_0^2 (x^3 + 8) f(x)\,dx = \int_0^2 4x\,dx = 2x^2\Big|_0^2.
2
2 puncte
=8−0=8= 8 - 0 = 8.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫14xf(x) dx=∫144x2x3+8 dx=43∫14(x3+8)′x3+8 dx=43⋅ln⁡(x3+8)∣14\int_1^4 x f(x)\,dx = \int_1^4 \frac{4x^2}{x^3 + 8}\,dx = \frac{4}{3}\int_1^4 \frac{(x^3 + 8)'}{x^3 + 8}\,dx = \frac{4}{3} \cdot \ln(x^3 + 8)\Big|_1^4.
4
2 puncte
=43ln⁡8=43⋅3ln⁡2=4ln⁡2= \frac{4}{3} \ln 8 = \frac{4}{3} \cdot 3\ln 2 = 4\ln 2.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) lim⁡x→0(1x3∫0xt⋅f(t) dt)=lim⁡x→0(∫0xt⋅f(t) dt)′(x3)′=lim⁡x→0x⋅f(x)3x2\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x^3} \int_0^x t \cdot f(t)\,dt\right) = \lim_{x \to 0} \frac{\left(\int_0^x t \cdot f(t)\,dt\right)'}{(x^3)'} = \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot f(x)}{3x^2}.
6
2 puncte
=lim⁡x→043(x3+8)=16= \lim_{x \to 0} \frac{4}{3(x^3 + 8)} = \frac{1}{6}.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2023 — Tehnologic

Următor →

Bac Specială 2023 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac