BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2024 — Matematică-Informatică (Varianta 9)

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați termenul a3a_3 al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, în care a1=2a_1 = 2 și a2=12a_2 = 12.

Rezolvare

1
3 puncte
a2=a1+a32⇒12=2+a32a_2 = \dfrac{a_1 + a_3}{2} \Rightarrow 12 = \dfrac{2 + a_3}{2}
2
2 puncte
a3=22a_3 = 22
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x−8f(x) = x - 8. Determinați numărul real mm pentru care f(1+m)=1−mf(1 + m) = 1 - m.

Rezolvare

1
2 puncte
f(1+m)=m−7f(1 + m) = m - 7, pentru orice număr real mm
2
3 puncte
m−7=1−mm - 7 = 1 - m, de unde obținem m=4m = 4
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația lg⁡(x2−3x+5)=lg⁡5\lg(x^2 - 3x + 5) = \lg 5.

Rezolvare

1
3 puncte
x2−3x+5=5x^2 - 3x + 5 = 5, de unde obținem x2−3x=0x^2 - 3x = 0
2
2 puncte
x=0x = 0 sau x=3x = 3, care convin
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea numerelor naturale de două cifre, numărul n+1\sqrt{n + 1} să fie natural.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile
2
3 puncte
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 77 numere nn pentru care numărul n+1\sqrt{n + 1} este natural, deci sunt 77 cazuri favorabile, de unde obținem p=790p = \dfrac{7}{90}
Exercițiul 5
În sistemul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,2)A(1, 2), B(3,0)B(3, 0) și C(5,a)C(5, a), unde aa este număr real. Determinați numărul real aa, știind că dreptele OAOA și BCBC sunt paralele.

Rezolvare

1
2 puncte
mOA=2m_{OA} = 2
2
3 puncte
mBC=a2m_{BC} = \dfrac{a}{2} și, cum mOA=mBCm_{OA} = m_{BC}, obținem a=4a = 4
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AC=9AC = 9 și B=π3B = \dfrac{\pi}{3}. Arătați că AB=33AB = 3\sqrt{3}.

Rezolvare

1
3 puncte
tg⁡B=ACAB\operatorname{tg} B = \dfrac{AC}{AB}, deci 3=9AB\sqrt{3} = \dfrac{9}{AB}
2
2 puncte
AB=93=33AB = \dfrac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(1xx00x−1x11)A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x & x \\ 0 & 0 & x - 1 \\ x & 1 & 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(2))=3\det(A(2)) = 3. b) Determinați numărul real xx pentru care A(x)⋅A(1)=2A(x)A(x) \cdot A(1) = 2A(x). c) Arătați că, dacă matricea A(x)A(x) este inversabilă, atunci și matricea A(−x)A(-x) este inversabilă.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(2)=(122001211)A(2) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(2))=∣122001211∣\det(A(2)) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=0+0+4−0−1−0=3= 0 + 0 + 4 - 0 - 1 - 0 = 3
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(1)=(111000111)A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, A(x)⋅A(1)=(1+x1+x1+xx−1x−1x−1x+1x+1x+1)A(x) \cdot A(1) = \begin{pmatrix} 1 + x & 1 + x & 1 + x \\ x - 1 & x - 1 & x - 1 \\ x + 1 & x + 1 & x + 1 \end{pmatrix}, pentru orice număr real xx
4
2 puncte
(1+x1+x1+xx−1x−1x−1x+1x+1x+1)=(22x2x002x−22x22)\begin{pmatrix} 1 + x & 1 + x & 1 + x \\ x - 1 & x - 1 & x - 1 \\ x + 1 & x + 1 & x + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2x & 2x \\ 0 & 0 & 2x - 2 \\ 2x & 2 & 2 \end{pmatrix}, de unde obținem x=1x = 1
c)5 puncte
5
3 puncte
c) det⁡(A(x))=(x−1)2(x+1)\det(A(x)) = (x - 1)^2(x + 1) și det⁡(A(x))≠0\det(A(x)) \neq 0, deci x∈R∖{−1,1}x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}
6
2 puncte
Cum −x∈R∖{−1,1}-x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, obținem det⁡(A(−x))≠0\det(A(-x)) \neq 0, deci A(−x)A(-x) este inversabilă
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy+2x+2y−14x \circ y = xy + \dfrac{2x + 2y - 1}{4}. a) Arătați că 1∘1=741 \circ 1 = \dfrac{7}{4}. b) Arătați că e=12e = \dfrac{1}{2} este elementul neutru al legii de compoziție ∘\circ. c) Determinați numerele reale xx pentru care (12−x)∘(12+x)∘(12+x2)=12−x2\left(\dfrac{1}{2} - x\right) \circ \left(\dfrac{1}{2} + x\right) \circ \left(\dfrac{1}{2} + x^2\right) = \dfrac{1}{2} - x^2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 1∘1=1⋅1+2⋅1+2⋅1−141 \circ 1 = 1 \cdot 1 + \dfrac{2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 1}{4}
2
2 puncte
=1+34=74= 1 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{7}{4}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∘12=x⋅12+2x+2⋅12−14=x2+x2=xx \circ \dfrac{1}{2} = x \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{2x + 2 \cdot \dfrac{1}{2} - 1}{4} = \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} = x, pentru orice număr real xx
4
3 puncte
12∘x=12⋅x+2⋅12+2x−14=x2+x2=x\dfrac{1}{2} \circ x = \dfrac{1}{2} \cdot x + \dfrac{2 \cdot \dfrac{1}{2} + 2x - 1}{4} = \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} = x, pentru orice număr real xx, deci e=12e = \dfrac{1}{2} este elementul neutru al legii de compoziție ∘\circ
c)5 puncte
5
2 puncte
c) (12−x)∘(12+x)=12−x2\left(\dfrac{1}{2} - x\right) \circ \left(\dfrac{1}{2} + x\right) = \dfrac{1}{2} - x^2, (12−x)∘(12+x)∘(12+x2)=12−x4\left(\dfrac{1}{2} - x\right) \circ \left(\dfrac{1}{2} + x\right) \circ \left(\dfrac{1}{2} + x^2\right) = \dfrac{1}{2} - x^4, pentru orice număr real xx
6
3 puncte
12−x4=12−x2\dfrac{1}{2} - x^4 = \dfrac{1}{2} - x^2, de unde obținem x=−1x = -1 sau x=0x = 0 sau x=1x = 1

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(1,+∞)→Rf : (1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=4x3(x−1)2f(x) = \dfrac{4x^3}{(x - 1)^2}. a) Arătați că f′(x)=4x2(x−3)(x−1)3f'(x) = \dfrac{4x^2(x - 3)}{(x - 1)^3}, x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty). b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Arătați că ecuația f(x)=mf(x) = m are exact două soluții, pentru orice m∈(27,+∞)m \in (27, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=12x2(x−1)2−4x3⋅2(x−1)(x−1)4f'(x) = \dfrac{12x^2(x - 1)^2 - 4x^3 \cdot 2(x - 1)}{(x - 1)^4}
2
2 puncte
=12x3−12x2−8x3(x−1)3=4x2(x−3)(x−1)3= \dfrac{12x^3 - 12x^2 - 8x^3}{(x - 1)^3} = \dfrac{4x^2(x - 3)}{(x - 1)^3}, x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞4x2(x−1)2=4\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{4x^2}{(x - 1)^2} = 4
4
3 puncte
lim⁡x→+∞(f(x)−4x)=lim⁡x→+∞8x2−4x(x−1)2=8\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (f(x) - 4x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{8x^2 - 4x}{(x - 1)^2} = 8, deci dreapta de ecuație y=4x+8y = 4x + 8 este asimptota oblică spre +∞+\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)=0⇒x=3f'(x) = 0 \Rightarrow x = 3; f′(x)<0f'(x) < 0, pentru orice x∈(1,3)x \in (1, 3), deci ff este strict descrescătoare pe (1,3)(1, 3) și f′(x)>0f'(x) > 0, pentru orice x∈(3,+∞)x \in (3, +\infty), deci ff este strict crescătoare pe (3,+∞)(3, +\infty)
6
3 puncte
lim⁡x→1f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = +\infty, f(3)=27f(3) = 27, lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty și ff este continuă, deci ecuația f(x)=mf(x) = m are exact două soluții pentru orice m∈(27,+∞)m \in (27, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x+1+xln⁡xf(x) = x + 1 + x \ln x. a) Arătați că ∫13(f(x)−xln⁡x) dx=6\displaystyle\int_1^3 (f(x) - x \ln x)\, dx = 6. b) Arătați că ∫1e(f(x)−x−1) dx=e2+14\displaystyle\int_1^e (f(x) - x - 1)\, dx = \dfrac{e^2 + 1}{4}. c) Determinați numărul real nenul aa pentru care volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[1,3]→Rg : [1, 3] \to \mathbb{R}, g(x)=1(f(x)−xln⁡x)2g(x) = \dfrac{1}{(f(x) - x \ln x)^2} este egal cu 7π24a\dfrac{7\pi}{24a}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫13(f(x)−xln⁡x) dx=∫13(x+1) dx=(x22+x)∣13\displaystyle\int_1^3 (f(x) - x \ln x)\, dx = \int_1^3 (x + 1)\, dx = \left.\left(\dfrac{x^2}{2} + x\right)\right|_1^3
2
2 puncte
=152−32=6= \dfrac{15}{2} - \dfrac{3}{2} = 6
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫1e(f(x)−x−1) dx=∫1e(x22)′ln⁡x dx=x22ln⁡x∣1e−x24∣1e\displaystyle\int_1^e (f(x) - x - 1)\, dx = \int_1^e \left(\dfrac{x^2}{2}\right)' \ln x\, dx = \left.\dfrac{x^2}{2} \ln x\right|_1^e - \left.\dfrac{x^2}{4}\right|_1^e
4
2 puncte
=e22−e24+14=e2+14= \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{e^2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{e^2 + 1}{4}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) g(x)=1(x+1)2g(x) = \dfrac{1}{(x + 1)^2}, x∈[1,3]x \in [1, 3], deci V=π∫13g2(x) dx=π∫131(x+1)4 dx=π(−13(x+1)3)∣13=7π192V = \pi \displaystyle\int_1^3 g^2(x)\, dx = \pi \int_1^3 \dfrac{1}{(x + 1)^4}\, dx = \pi \left.\left(-\dfrac{1}{3(x + 1)^3}\right)\right|_1^3 = \dfrac{7\pi}{192}
6
2 puncte
7π192=7π24a\dfrac{7\pi}{192} = \dfrac{7\pi}{24a}, de unde obținem a=8a = 8

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2024 — Tehnologic

Următor →

Bac Specială 2024 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac