BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2025 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați termenul b1b_1 al progresiei geometrice (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1}, în care b2=20b_2 = 20 și b3=100b_3 = 100.

Rezolvare

1
3 puncte
q=b3b2=5q = \dfrac{b_3}{b_2} = 5, unde qq este rația progresiei geometrice
2
2 puncte
b1=b2q=4b_1 = \dfrac{b_2}{q} = 4
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=4x+3f(x) = 4x + 3 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=x−3g(x) = x - 3. Determinați numărul real aa pentru care f(a)=g(a)f(a) = g(a).

Rezolvare

1
3 puncte
f(a)=4a+3f(a) = 4a + 3, g(a)=a−3g(a) = a - 3, pentru orice număr real aa
2
2 puncte
4a+3=a−34a + 3 = a - 3, de unde obținem a=−2a = -2
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9x⋅33=3x+29^x \cdot 3^3 = 3^{x+2}.

Rezolvare

1
3 puncte
32x+3=3x+23^{2x+3} = 3^{x+2}, de unde obținem 2x+3=x+22x + 3 = x + 2
2
2 puncte
x=−1x = -1
Exercițiul 4
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea numerelor naturale de două cifre, n\sqrt{n} să fie număr natural par.

Rezolvare

1
2 puncte
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile
2
3 puncte
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 33 numere nn pentru care n\sqrt{n} este număr natural par, deci sunt 33 cazuri favorabile, de unde obținem p=390=130p = \dfrac{3}{90} = \dfrac{1}{30}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,3)A(1, 3), B(6,2)B(6, 2) și C(4,a)C(4, a), unde aa este număr real. Determinați numărul real aa pentru care dreptele ACAC și OBOB sunt paralele.

Rezolvare

1
2 puncte
mOB=13m_{OB} = \dfrac{1}{3}
2
3 puncte
mAC=a−33m_{AC} = \dfrac{a - 3}{3} și, cum mOB=mACm_{OB} = m_{AC}, obținem a=4a = 4
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu aria egală cu 3232 și BC=AB2BC = AB\sqrt{2}. Arătați că AC=8AC = 8.

Rezolvare

1
3 puncte
ABBC=12\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}, de unde obținem B=π4B = \dfrac{\pi}{4}, deci AB=ACAB = AC
2
2 puncte
AB⋅AC2=32\dfrac{AB \cdot AC}{2} = 32, de unde obținem AC=8AC = 8

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I3=(100010001)I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} și M(x)=(2x3x−3−x−2x100x+1)M(x) = \begin{pmatrix} 2x & 3x & -3 \\ -x & -2x & 1 \\ 0 & 0 & x+1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(M(0))=0\det(M(0)) = 0. b) Arătați că M(x)⋅M(y)−xyI3=(x+y+1)M(0)M(x) \cdot M(y) - xyI_3 = (x + y + 1)M(0), pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numărul real xx pentru care M(1)⋅M(x)−M(2)⋅M(x2)=2M(0)M(1) \cdot M(x) - M(2) \cdot M\left(\dfrac{x}{2}\right) = 2M(0).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) M(0)=(00−3001001)M(0) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, deci det⁡(M(0))=∣00−3001001∣\det(M(0)) = \begin{vmatrix} 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=0+0+0−0−0−0=0= 0 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
b) M(x)⋅M(y)−xyI3=(xy0−3x−3y−30xyx+y+100xy+x+y+1)−(xy000xy000xy)M(x) \cdot M(y) - xyI_3 = \begin{pmatrix} xy & 0 & -3x - 3y - 3 \\ 0 & xy & x + y + 1 \\ 0 & 0 & xy + x + y + 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} xy & 0 & 0 \\ 0 & xy & 0 \\ 0 & 0 & xy \end{pmatrix}
4
2 puncte
=(00−3(x+y+1)00x+y+100x+y+1)=(x+y+1)M(0)= \begin{pmatrix} 0 & 0 & -3(x + y + 1) \\ 0 & 0 & x + y + 1 \\ 0 & 0 & x + y + 1 \end{pmatrix} = (x + y + 1)M(0), pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
3 puncte
c) M(1)⋅M(x)−M(2)⋅M(x2)=xI3+(x+2)M(0)−xI3−(x2+3)M(0)=(x2−1)M(0)M(1) \cdot M(x) - M(2) \cdot M\left(\dfrac{x}{2}\right) = xI_3 + (x + 2)M(0) - xI_3 - \left(\dfrac{x}{2} + 3\right)M(0) = \left(\dfrac{x}{2} - 1\right)M(0), pentru orice număr real xx
6
2 puncte
(x2−1)M(0)=2M(0)\left(\dfrac{x}{2} - 1\right)M(0) = 2M(0), de unde obținem x=6x = 6
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=5(x−1)(y−1)+1x * y = 5(x - 1)(y - 1) + 1. a) Arătați că 1∗3=11 * 3 = 1. b) Arătați că e=65e = \dfrac{6}{5} este elementul neutru al legii de compoziție ∗*. c) Determinați perechile (m,n)(m, n) de numere naturale pentru care m25\dfrac{m}{25} este simetricul elementului nn în raport cu legea de compoziție ∗*.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 1∗3=5(1−1)(3−1)+11 * 3 = 5(1 - 1)(3 - 1) + 1
2
2 puncte
=0+1=1= 0 + 1 = 1
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗65=5(x−1)(65−1)+1=x−1+1=xx * \dfrac{6}{5} = 5(x - 1)\left(\dfrac{6}{5} - 1\right) + 1 = x - 1 + 1 = x, pentru orice număr real xx
4
3 puncte
65∗x=5(65−1)(x−1)+1=x−1+1=x\dfrac{6}{5} * x = 5\left(\dfrac{6}{5} - 1\right)(x - 1) + 1 = x - 1 + 1 = x, pentru orice număr real xx, deci e=65e = \dfrac{6}{5} este elementul neutru al legii de compoziție ∗*
c)5 puncte
5
3 puncte
c) m25∗n=65\dfrac{m}{25} * n = \dfrac{6}{5}, de unde obținem 5(m25−1)(n−1)+1=655\left(\dfrac{m}{25} - 1\right)(n - 1) + 1 = \dfrac{6}{5}, adică (m−25)(n−1)=1(m - 25)(n - 1) = 1
6
2 puncte
Cum mm și nn sunt numere naturale, obținem perechile (24,0)(24, 0) și (26,2)(26, 2)

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=2x−2+ln⁡xxf(x) = \dfrac{2x - 2 + \ln x}{x}. a) Arătați că f′(x)=3−ln⁡xx2f'(x) = \dfrac{3 - \ln x}{x^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Arătați că lim⁡x→1f(x)ln⁡x=3\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{\ln x} = 3. c) Determinați cel mai mare număr întreg mm pentru care ecuația f(x)=mf(x) = m are cel puțin o soluție.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=(2+1x)⋅x−(2x−2+ln⁡x)x2f'(x) = \dfrac{\left(2 + \dfrac{1}{x}\right) \cdot x - (2x - 2 + \ln x)}{x^2}
2
2 puncte
=2x+1−2x+2−ln⁡xx2=3−ln⁡xx2= \dfrac{2x + 1 - 2x + 2 - \ln x}{x^2} = \dfrac{3 - \ln x}{x^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→1f(x)ln⁡x=lim⁡x→12x−2+ln⁡xxln⁡x=lim⁡x→1(2x−2+ln⁡x)′(xln⁡x)′\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{\ln x} = \lim_{x \to 1} \dfrac{2x - 2 + \ln x}{x \ln x} = \lim_{x \to 1} \dfrac{(2x - 2 + \ln x)'}{(x \ln x)'}
4
2 puncte
=lim⁡x→12+1xln⁡x+1=3= \displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{2 + \dfrac{1}{x}}{\ln x + 1} = 3
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)=0⇔x=e3f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = e^3; pentru orice x∈(0,e3]x \in (0, e^3], f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe (0,e3](0, e^3] și, pentru orice x∈[e3,+∞)x \in [e^3, +\infty), f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe [e3,+∞)[e^3, +\infty)
6
3 puncte
lim⁡x→0f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty, f(e3)=2+1e3∈(2,3)f(e^3) = 2 + \dfrac{1}{e^3} \in (2, 3) și ff este continuă, deci cel mai mare număr întreg mm pentru care ecuația f(x)=mf(x) = m are cel puțin o soluție este 22
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+4exf(x) = \dfrac{x + 4}{e^x}. a) Arătați că ∫02f(x)ex dx=10\displaystyle\int_0^2 f(x) e^x \, dx = 10. b) Arătați că ∫01f(x) dx=5−6e\displaystyle\int_0^1 f(x) \, dx = 5 - \dfrac{6}{e}. c) Pentru fiecare număr natural nenul nn se consideră numărul In=∫01xnf(x) dxI_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{f(x)} \, dx. Arătați că In+1+4In≤en+1I_{n+1} + 4I_n \leq \dfrac{e}{n+1}, pentru orice număr natural nenul nn.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫02f(x)ex dx=∫02(x+4) dx=(x22+4x)∣02\displaystyle\int_0^2 f(x) e^x \, dx = \int_0^2 (x + 4) \, dx = \left.\left(\dfrac{x^2}{2} + 4x\right)\right|_0^2
2
2 puncte
=2+8=10= 2 + 8 = 10
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫01f(x) dx=∫01(x+4)(−e−x)′ dx=(x+4)(−e−x)∣01−(−e−x)∣01\displaystyle\int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 (x + 4)(-e^{-x})' \, dx = \left.(x + 4)(-e^{-x})\right|_0^1 - \left.(-e^{-x})\right|_0^1
4
2 puncte
=−5e+4−1e+1=5−6e= -\dfrac{5}{e} + 4 - \dfrac{1}{e} + 1 = 5 - \dfrac{6}{e}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) In=∫01xnexx+4 dxI_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n e^x}{x + 4} \, dx, de unde obținem In+1+4In=∫01(xn+1+4xn)exx+4 dx=∫01xnex dxI_{n+1} + 4I_n = \int_0^1 \dfrac{(x^{n+1} + 4x^n) e^x}{x + 4} \, dx = \int_0^1 x^n e^x \, dx, pentru orice număr natural nenul nn
6
3 puncte
Cum ex≤ee^x \leq e, pentru orice x∈[0,1]x \in [0, 1], obținem In+1+4In≤e∫01xn dx=e⋅xn+1n+1∣01=en+1I_{n+1} + 4I_n \leq e \displaystyle\int_0^1 x^n \, dx = e \cdot \left.\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right|_0^1 = \dfrac{e}{n+1}, pentru orice număr natural nenul nn

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2025 — Tehnologic

Următor →

Bac Specială 2025 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac