BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2025 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 2⋅(1,1+0,3)−1,8=12 \cdot (1{,}1 + 0{,}3) - 1{,}8 = 1.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează 2⋅(1,1+0,3)−1,8=2⋅1,4−1,82 \cdot (1{,}1 + 0{,}3) - 1{,}8 = 2 \cdot 1{,}4 - 1{,}8
2
3 puncte
Se obține 2,8−1,8=12{,}8 - 1{,}8 = 1
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+4f(x) = 2x + 4. Determinați numărul real aa pentru care f(a)=a⋅f(0)f(a) = a \cdot f(0).

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează f(0)=4f(0) = 4, f(a)=2a+4f(a) = 2a + 4, pentru orice număr real aa
2
3 puncte
Se rezolvă 2a+4=4a2a + 4 = 4a, de unde se obține a=2a = 2
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2−x=x2+x−1\sqrt{2 - x} = x^2 + x - 1.

Rezolvare

1
2 puncte
Se ridică la pătrat și se obține 2−x=x2+x−12 - x = x^2 + x - 1, de unde x2+2x−3=0x^2 + 2x - 3 = 0
2
3 puncte
Se obține x=−3x = -3 sau x=1x = 1, care convin
Exercițiul 4
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea n3>10n^3 > 10.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de o cifră are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile
2
3 puncte
În mulțimea numerelor naturale de o cifră sunt 7 numere nn care verifică inegalitatea n3>10n^3 > 10, deci sunt 7 cazuri favorabile, de unde se obține p=710p = \frac{7}{10}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,4)A(1, 4), B(2,0)B(2, 0) și C(8,2)C(8, 2). Determinați distanța dintre punctul AA și mijlocul segmentului BCBC.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează M(5,1)M(5, 1), unde punctul MM este mijlocul segmentului BCBC
2
2 puncte
Se obține AM=(5−1)2+(1−4)2=16+9=5AM = \sqrt{(5-1)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu BC=10BC = 10 și sin⁡B=25\sin B = \frac{2}{5}. Arătați că AC=4AC = 4.

Rezolvare

1
3 puncte
Se scrie sin⁡B=ACBC\sin B = \frac{AC}{BC}, deci 25=AC10\frac{2}{5} = \frac{AC}{10}
2
2 puncte
Se obține AC=2⋅105=4AC = \frac{2 \cdot 10}{5} = 4

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x)=(2+2xx−x2−2x)A(x) = \begin{pmatrix} 2 + 2x & x \\ -x & 2 - 2x \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(1))=1\det(A(1)) = 1. b) Arătați că A(2)⋅A(1)+3A(−2)=16I2A(2) \cdot A(1) + 3A(-2) = 16I_2. c) Determinați numărul întreg nenul mm pentru care matricea B(m)=1mA(−m)B(m) = \frac{1}{m} A(-m) este inversa matricei A(m)A(m).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează A(1)=(41−10)A(1) = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(1))=4⋅0−1⋅(−1)\det(A(1)) = 4 \cdot 0 - 1 \cdot (-1)
2
2 puncte
Se obține det⁡(A(1))=0+1=1\det(A(1)) = 0 + 1 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează A(2)=(62−2−2)A(2) = \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}, A(2)⋅A(1)=(226−6−2)A(2) \cdot A(1) = \begin{pmatrix} 22 & 6 \\ -6 & -2 \end{pmatrix}
4
2 puncte
Cum A(−2)=(−2−226)A(-2) = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}, se obține A(2)⋅A(1)+3A(−2)=(160016)=16I2A(2) \cdot A(1) + 3A(-2) = \begin{pmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix} = 16I_2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) B(m)B(m) este inversa matricei A(m)A(m) dacă și numai dacă A(m)⋅B(m)=I2A(m) \cdot B(m) = I_2, echivalent cu 4−3m2m=1\frac{4 - 3m^2}{m} = 1
6
2 puncte
Se obține m=−43m = -\frac{4}{3}, care nu convine, sau m=1m = 1, care convine
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−3X2−3X+af = X^3 - 3X^2 - 3X + a, unde aa este număr real. a) Pentru a=1a = 1, arătați că f(−1)=0f(-1) = 0. b) Determinați numărul real aa pentru care 3x1+3x2+3x3−x1x2x3=33x_1 + 3x_2 + 3x_3 - x_1 x_2 x_3 = 3, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff. c) Pentru a=9a = 9, determinați rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează f(−1)=(−1)3−3⋅(−1)2−3⋅(−1)+1f(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 - 3 \cdot (-1) + 1
2
2 puncte
Se obține f(−1)=−1−3+3+1=0f(-1) = -1 - 3 + 3 + 1 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Din relațiile lui Viete: x1+x2+x3=3x_1 + x_2 + x_3 = 3, x1x2x3=−ax_1 x_2 x_3 = -a, deci 3(x1+x2+x3)−x1x2x3=9+a3(x_1 + x_2 + x_3) - x_1 x_2 x_3 = 9 + a, pentru orice număr real aa
4
2 puncte
Se rezolvă 9+a=39 + a = 3, de unde se obține a=−6a = -6
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se descompune f=X3−3X2−3X+9=(X−3)(X2−3)f = X^3 - 3X^2 - 3X + 9 = (X - 3)(X^2 - 3)
6
3 puncte
Rădăcinile polinomului sunt x1=3x_1 = 3, x2=−3x_2 = -\sqrt{3} și x3=3x_3 = \sqrt{3}

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−8exf(x) = \frac{x^2 - 8}{e^x}. a) Arătați că f′(x)=(x+2)(4−x)exf'(x) = \frac{(x + 2)(4 - x)}{e^x}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=0x = 0, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că −4e2≤f(x)≤e3-4e^2 \leq f(x) \leq e^3, pentru orice x∈[−3,4]x \in [-3, 4].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează f′(x)=2x⋅ex−(x2−8)⋅ex(ex)2f'(x) = \frac{2x \cdot e^x - (x^2 - 8) \cdot e^x}{(e^x)^2}
2
2 puncte
Se obține f′(x)=−x2+2x+8ex=(x+2)(4−x)exf'(x) = \frac{-x^2 + 2x + 8}{e^x} = \frac{(x + 2)(4 - x)}{e^x}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se calculează f(0)=−8f(0) = -8, f′(0)=8f'(0) = 8
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0)y - f(0) = f'(0)(x - 0), adică y=8x−8y = 8x - 8
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se rezolvă f′(x)=0f'(x) = 0, de unde x=−2x = -2 sau x=4x = 4; pentru orice x∈[−3,−2]x \in [-3, -2], f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe [−3,−2][-3, -2]; pentru orice x∈[−2,4]x \in [-2, 4], f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [−2,4][-2, 4]
6
2 puncte
Se calculează f(−3)=e3f(-3) = e^3, f(−2)=−4e2f(-2) = -4e^2 și f(4)=8e4<e3f(4) = \frac{8}{e^4} < e^3, de unde se obține −4e2≤f(x)≤e3-4e^2 \leq f(x) \leq e^3, pentru orice x∈[−3,4]x \in [-3, 4]
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=6x+2ln⁡xxf(x) = 6x + \frac{2 \ln x}{x}. a) Arătați că ∫23(f(x)−2ln⁡xx)dx=15\displaystyle\int_2^3 \left(f(x) - \frac{2 \ln x}{x}\right) dx = 15. b) Arătați că ∫1e(f(x)−6x) dx=1\displaystyle\int_1^e (f(x) - 6x) \, dx = 1. c) Determinați numărul real aa pentru care ∫1e2(f(x)x+f′(x)ln⁡x)dx=a⋅f(e2)\displaystyle\int_1^{e^2} \left(\frac{f(x)}{x} + f'(x) \ln x\right) dx = a \cdot f(e^2).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează ∫23(f(x)−2ln⁡xx)dx=∫236x dx=3x2∣23\displaystyle\int_2^3 \left(f(x) - \frac{2 \ln x}{x}\right) dx = \int_2^3 6x \, dx = 3x^2 \Big|_2^3
2
2 puncte
Se obține 27−12=1527 - 12 = 15
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează ∫1e(f(x)−6x) dx=∫1e2ln⁡xx dx=∫1e2ln⁡x⋅(ln⁡x)′ dx=ln⁡2x∣1e\displaystyle\int_1^e (f(x) - 6x) \, dx = \int_1^e \frac{2 \ln x}{x} \, dx = \int_1^e 2 \ln x \cdot (\ln x)' \, dx = \ln^2 x \Big|_1^e
4
2 puncte
Se obține ln⁡2e−ln⁡21=1\ln^2 e - \ln^2 1 = 1
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se observă că f(x)x+f′(x)ln⁡x=(f(x)ln⁡x)′\frac{f(x)}{x} + f'(x) \ln x = (f(x) \ln x)', deci ∫1e2(f(x)ln⁡x)′ dx=f(x)ln⁡x∣1e2=f(e2)ln⁡e2=2f(e2)\displaystyle\int_1^{e^2} (f(x) \ln x)' \, dx = f(x) \ln x \Big|_1^{e^2} = f(e^2) \ln e^2 = 2f(e^2)
6
2 puncte
Se obține 2f(e2)=a⋅f(e2)2f(e^2) = a \cdot f(e^2) și, cum f(e2)≠0f(e^2) \neq 0, rezultă a=2a = 2

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2025 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Specială 2025 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac