BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2025 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați termenul a3a_3 al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, în care a1=3a_1 = 3 și a2=9a_2 = 9.

Rezolvare

1
3 puncte
r=a2−a1=6r = a_2 - a_1 = 6, unde rr este rația progresiei aritmetice
2
2 puncte
a3=a2+r=15a_3 = a_2 + r = 15
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x−5f(x) = 3x - 5. Arătați că f(3)+f(2)+f(0)=0f(3) + f(2) + f(0) = 0.

Rezolvare

1
3 puncte
f(3)=4f(3) = 4, f(2)=1f(2) = 1, f(0)=−5f(0) = -5
2
2 puncte
f(3)+f(2)+f(0)=4+1−5=0f(3) + f(2) + f(0) = 4 + 1 - 5 = 0
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9x−5=2\sqrt{9x - 5} = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
9x−5=49x - 5 = 4
2
2 puncte
x=1x = 1, care convine
Exercițiul 4
După o ieftinire cu 30%30\%, un obiect costă 5656 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de ieftinire.

Rezolvare

1
3 puncte
x−30100⋅x=56x - \frac{30}{100} \cdot x = 56, unde xx este prețul obiectului înainte de ieftinire
2
2 puncte
x=80x = 80 de lei
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,1)A(0, 1), B(5,6)B(5, 6) și C(7,2)C(7, 2). Arătați că AB=ACAB = AC.

Rezolvare

1
2 puncte
AB=52+52=52AB = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}
2
3 puncte
AC=72+12=52AC = \sqrt{7^2 + 1^2} = 5\sqrt{2}, deci AB=ACAB = AC
Exercițiul 6
Arătați că (sin⁡30°+3cos⁡60°)⋅(sin⁡45°)2=1(\sin 30° + 3\cos 60°) \cdot (\sin 45°)^2 = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡30°=12\sin 30° = \frac{1}{2}, cos⁡60°=12\cos 60° = \frac{1}{2}, sin⁡45°=22\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}
2
2 puncte
(sin⁡30°+3cos⁡60°)⋅(sin⁡45°)2=(12+32)⋅(22)2=2⋅12=1(\sin 30° + 3\cos 60°) \cdot (\sin 45°)^2 = \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, A=(12−21)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} și B(x)=(2x−12x)B(x) = \begin{pmatrix} 2 & x \\ -1 & 2x \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡A=5\det A = 5. b) Arătați că A+3I2=2B(1)A + 3I_2 = 2B(1). c) Determinați numerele reale xx pentru care det⁡(B(2x)−B(x)⋅A)=x2\det\left(B(2x) - B(x) \cdot A\right) = x^2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡A=∣12−21∣=1⋅1−2⋅(−2)\det A = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 2 \cdot (-2)
2
2 puncte
=1+4=5= 1 + 4 = 5
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A+3I2=(12−21)+(3003)=(42−24)A + 3I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}
4
2 puncte
2B(1)=2(21−12)=(42−24)2B(1) = 2 \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}, deci A+3I2=2B(1)A + 3I_2 = 2B(1)
c)5 puncte
5
3 puncte
c) B(2x)=(22x−14x)B(2x) = \begin{pmatrix} 2 & 2x \\ -1 & 4x \end{pmatrix}, B(x)⋅A=(2−2x4+x−1−4x−2+2x)B(x) \cdot A = \begin{pmatrix} 2 - 2x & 4 + x \\ -1 - 4x & -2 + 2x \end{pmatrix}, B(2x)−B(x)⋅A=(2xx−44x2x+2)B(2x) - B(x) \cdot A = \begin{pmatrix} 2x & x - 4 \\ 4x & 2x + 2 \end{pmatrix}, de unde obținem det⁡(B(2x)−B(x)⋅A)=20x\det(B(2x) - B(x) \cdot A) = 20x, pentru orice număr real xx
6
2 puncte
20x=x220x = x^2, de unde obținem x=0x = 0 sau x=20x = 20
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−8x−8y+8x * y = xy - 8x - 8y + 8. a) Arătați că 0∗1=00 * 1 = 0. b) Determinați numărul real xx pentru care x∗2=2xx * 2 = 2x. c) Determinați perechile (m,n)(m, n) de numere naturale, cu m<nm < n, pentru care (8+m)∗(8+n)=2(8 + m) * (8 + n) = 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 0∗1=0⋅1−8⋅0−8⋅1+80 * 1 = 0 \cdot 1 - 8 \cdot 0 - 8 \cdot 1 + 8
2
2 puncte
=0−0−8+8=0= 0 - 0 - 8 + 8 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
b) x∗2=−6x−8x * 2 = -6x - 8, pentru orice număr real xx
4
2 puncte
−6x−8=2x-6x - 8 = 2x, de unde obținem x=−1x = -1
c)5 puncte
5
2 puncte
c) (8+m)∗(8+n)=mn−56(8 + m) * (8 + n) = mn - 56, pentru orice numere naturale mm și nn
6
3 puncte
mn−56=2⇔mn=58mn - 56 = 2 \Leftrightarrow mn = 58 și, cum mm și nn sunt numere naturale, cu m<nm < n, obținem perechile (1,58)(1, 58) și (2,29)(2, 29)

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(−4,+∞)→Rf : (-4, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=4x+7x+4f(x) = \frac{4x + 7}{x + 4}. a) Arătați că f′(x)=9(x+4)2f'(x) = \frac{9}{(x + 4)^2}, x∈(−4,+∞)x \in (-4, +\infty). b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Determinați a∈(−4,+∞)a \in (-4, +\infty), știind că panta tangentei la graficul funcției ff în punctul A(a,f(a))A(a, f(a)) este egală cu 11.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=4(x+4)−(4x+7)(x+4)2f'(x) = \frac{4(x + 4) - (4x + 7)}{(x + 4)^2}
2
2 puncte
=4x+16−4x−7(x+4)2=9(x+4)2= \frac{4x + 16 - 4x - 7}{(x + 4)^2} = \frac{9}{(x + 4)^2}, x∈(−4,+∞)x \in (-4, +\infty)
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞4x+7x+4=lim⁡x→+∞4+7x1+4x=4\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{4x + 7}{x + 4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4 + \frac{7}{x}}{1 + \frac{4}{x}} = 4
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=4y = 4 este asimptota orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(a)=1f'(a) = 1
6
3 puncte
9(a+4)2=1\frac{9}{(a + 4)^2} = 1, deci (a+4)2=9(a + 4)^2 = 9 și, cum a∈(−4,+∞)a \in (-4, +\infty), obținem a=−1a = -1
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→Rf : (-3, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=2x+x+3f(x) = 2x + \sqrt{x + 3}. a) Arătați că ∫12(f(x)−x+3)dx=3\displaystyle\int_1^2 \left(f(x) - \sqrt{x + 3}\right) dx = 3. b) Arătați că ∫161f(x)−2x dx=2\displaystyle\int_1^6 \frac{1}{f(x) - 2x}\, dx = 2. c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției g:[0,6]→Rg : [0, 6] \to \mathbb{R}, g(x)=xf(x)−2xg(x) = \frac{x}{f(x) - 2x}, în jurul axei OxOx este egal cu 9πln⁡39\pi \ln 3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫12(f(x)−x+3)dx=∫122x dx=x2∣12\displaystyle\int_1^2 \left(f(x) - \sqrt{x + 3}\right) dx = \int_1^2 2x\, dx = \left.x^2\right|_1^2
2
2 puncte
=4−1=3= 4 - 1 = 3
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫161f(x)−2x dx=∫161x+3 dx=2∫16(x+3)′2x+3 dx=2x+3∣16\displaystyle\int_1^6 \frac{1}{f(x) - 2x}\, dx = \int_1^6 \frac{1}{\sqrt{x + 3}}\, dx = 2\int_1^6 \frac{(x + 3)'}{2\sqrt{x + 3}}\, dx = \left.2\sqrt{x + 3}\right|_1^6
4
2 puncte
=6−4=2= 6 - 4 = 2
c)5 puncte
5
2 puncte
c) g(x)=xx+3g(x) = \frac{x}{\sqrt{x + 3}}, x∈[0,6]x \in [0, 6], deci V=π∫06(g(x))2dx=π∫06x2x+3 dxV = \pi \displaystyle\int_0^6 \left(g(x)\right)^2 dx = \pi \int_0^6 \frac{x^2}{x + 3}\, dx
6
3 puncte
=π∫06(x−3+9x+3)dx=π[x22∣06−3x∣06+9ln⁡(x+3)∣06]=9πln⁡3= \pi \displaystyle\int_0^6 \left(x - 3 + \frac{9}{x + 3}\right) dx = \pi \left[\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^6 - \left.3x\right|_0^6 + \left.9\ln(x + 3)\right|_0^6\right] = 9\pi \ln 3

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2025 — Științele Naturii

Următor →

Bac Vară Rezervă 2025 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac