BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2011 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Intr-o progresie aritmetica (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} se cunosc a2=6a_2 = 6 si a3=5a_3 = 5. Calculati a6a_6.

Rezolvare

1
2 puncte
a2=6a_2 = 6 si a3=5a_3 = 5, deci r=−1r = -1
2
3 puncte
a6=2a_6 = 2
Exercițiul 2
Determinati solutiile intregi ale inecuatiei 2x2−x−3≤02x^2 - x - 3 \leq 0.

Rezolvare

1
3 puncte
2x2−x−3≤0⇔x∈[−1,32]2x^2 - x - 3 \leq 0 \Leftrightarrow x \in \left[-1, \dfrac{3}{2}\right]
2
2 puncte
x∈Z⇒x1=−1x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x_1 = -1, x2=0x_2 = 0, x3=1x_3 = 1
Exercițiul 3
Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia log⁡3(x+2)−log⁡3(x−4)=1\log_3(x + 2) - \log_3(x - 4) = 1.

Rezolvare

1
1 punct
Conditii de existenta: x+2>0x + 2 > 0 si x−4>0x - 4 > 0, deci x∈(4,+∞)x \in (4, +\infty)
2
2 puncte
log⁡3x+2x−4=1⇒x+2x−4=3\log_3 \dfrac{x+2}{x-4} = 1 \Rightarrow \dfrac{x+2}{x-4} = 3
3
2 puncte
x=7∈(4,+∞)x = 7 \in (4, +\infty)
Exercițiul 4
Dupa o scumpire cu 5%5\%, pretul unui produs creste cu 1212 lei. Calculati pretul produsului inainte de scumpire.

Rezolvare

1
3 puncte
Se noteaza cu xx pretul initial; 5100⋅x=12\dfrac{5}{100} \cdot x = 12
2
2 puncte
x=240x = 240 lei
Exercițiul 5
In reperul cartezian xOyxOy se considera punctele A(1,4)A(1,4) si B(5,0)B(5,0). Determinati ecuatia mediatoarei segmentului [AB][AB].

Rezolvare

1
1 punct
M(3,2)M(3,2) este mijlocul lui [AB][AB]
2
2 puncte
mAB=−1m_{AB} = -1, deci md=1m_d = 1
3
2 puncte
d:y−2=1⋅(x−3)d: y - 2 = 1 \cdot (x - 3), adica d:y=x−1d: y = x - 1
Exercițiul 6
Calculati raza cercului circumscris triunghiului ABCABC, stiind ca BC=9BC = 9 si m(∡BAC)=120∘m(\measuredangle BAC) = 120^\circ.

Rezolvare

1
2 puncte
Din teorema sinusurilor R=BC2sin⁡AR = \dfrac{BC}{2\sin A}
2
2 puncte
sin⁡A=sin⁡120∘=sin⁡60∘=32\sin A = \sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
3
1 punct
R=33R = 3\sqrt{3}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se considera determinantul D(x,y)=∣1111xy1x+1y+1∣D(x, y) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & x & y \\ 1 & x+1 & y+1 \end{vmatrix}, unde x,y∈Zx, y \in \mathbb{Z}. a) Calculati D(−1,1)D(-1, 1). b) Determinati x∈Zx \in \mathbb{Z} pentru care D(x,2010)=1D(x, 2010) = 1. c) Demonstrati ca D(x,y)⋅D(x,−y)=D(x2,y2)D(x, y) \cdot D(x, -y) = D(x^2, y^2), oricare ar fi x,y∈Zx, y \in \mathbb{Z}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) D(−1,1)=∣1111−11102∣D(-1, 1) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=−2= -2
b)5 puncte
3
1 punct
b) D(x,2010)=∣1111x20101x+12011∣D(x, 2010) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & x & 2010 \\ 1 & x+1 & 2011 \end{vmatrix}
4
2 puncte
=x−2010= x - 2010
5
2 puncte
x−2010=1⇒x=2011∈Zx - 2010 = 1 \Rightarrow x = 2011 \in \mathbb{Z}
c)5 puncte
6
2 puncte
c) D(x,y)=x−yD(x, y) = x - y
7
2 puncte
D(x,−y)=x+yD(x, -y) = x + y si D(x2,y2)=x2−y2D(x^2, y^2) = x^2 - y^2
8
1 punct
(x−y)(x+y)=x2−y2(x - y)(x + y) = x^2 - y^2, deci egalitatea este verificata
Exercițiul 2
Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie x∗y=2xy−6x−6y+21x * y = 2xy - 6x - 6y + 21. a) Aratati ca x∗y=2(x−3)(y−3)+3x * y = 2(x - 3)(y - 3) + 3, oricare ar fi x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. b) Aratati ca legea „∗*" este asociativa. c) Calculati 1∗2∗…∗20111 * 2 * \ldots * 2011.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) x∗y=2xy−6x−6y+21=2x(y−3)−6(y−3)+3x * y = 2xy - 6x - 6y + 21 = 2x(y - 3) - 6(y - 3) + 3
2
2 puncte
=(y−3)(2x−6)+3=2(x−3)(y−3)+3= (y - 3)(2x - 6) + 3 = 2(x - 3)(y - 3) + 3
b)5 puncte
3
2 puncte
b) (x∗y)∗z=4(x−3)(y−3)(z−3)+3(x * y) * z = 4(x - 3)(y - 3)(z - 3) + 3
4
2 puncte
x∗(y∗z)=4(x−3)(y−3)(z−3)+3x * (y * z) = 4(x - 3)(y - 3)(z - 3) + 3
5
1 punct
Deci legea este asociativa
c)5 puncte
6
3 puncte
c) x∗3=3∗x=3x * 3 = 3 * x = 3, pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}
7
2 puncte
(1∗2)∗3∗(4∗…∗2011)=3(1 * 2) * 3 * (4 * \ldots * 2011) = 3

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se considera functia f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3+x2+x+3xf(x) = x^3 + x^2 + x + 3^x. a) Calculati f′(0)f'(0). b) Aratati ca functia ff este crescatoare pe R\mathbb{R}. c) Aratati ca a3+a2+a−b3−b2−b≤3b−3aa^3 + a^2 + a - b^3 - b^2 - b \leq 3^b - 3^a, oricare ar fi numerele reale aa, bb cu a≤ba \leq b.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=3x2+2x+1+3xln⁡3f'(x) = 3x^2 + 2x + 1 + 3^x \ln 3
2
2 puncte
f′(0)=1+ln⁡3f'(0) = 1 + \ln 3
b)5 puncte
3
3 puncte
b) f′(x)=3x2+2x+1+3xln⁡3=2x2+(x+1)2+3xln⁡3>0f'(x) = 3x^2 + 2x + 1 + 3^x \ln 3 = 2x^2 + (x+1)^2 + 3^x \ln 3 > 0, oricare ar fi x∈Rx \in \mathbb{R}
4
2 puncte
ff este crescatoare pe R\mathbb{R}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ff crescatoare pe R\mathbb{R} si a≤b⇒f(a)≤f(b)a \leq b \Rightarrow f(a) \leq f(b)
6
1 punct
a3+a2+a+3a≤b3+b2+b+3ba^3 + a^2 + a + 3^a \leq b^3 + b^2 + b + 3^b
7
1 punct
a3+a2+a−b3−b2−b≤3b−3aa^3 + a^2 + a - b^3 - b^2 - b \leq 3^b - 3^a
Exercițiul 2
Pentru fiecare numar natural nenul nn se considera functia fn:[0,1]→Rf_n : [0, 1] \to \mathbb{R}, fn(x)=xnexf_n(x) = x^n e^x. a) Calculati ∫01f1(x)ex dx\displaystyle\int_0^1 \dfrac{f_1(x)}{e^x}\, dx. b) Calculati ∫01f1(x) dx\displaystyle\int_0^1 f_1(x)\, dx. c) Aratati ca ∫01fn(x2) dx≥12n+1\displaystyle\int_0^1 f_n(x^2)\, dx \geq \dfrac{1}{2n+1}, pentru orice n∈Nn \in \mathbb{N}, n≥1n \geq 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫01f1(x)ex dx=∫01x dx=(x22)∣01\displaystyle\int_0^1 \dfrac{f_1(x)}{e^x}\, dx = \int_0^1 x\, dx = \left(\dfrac{x^2}{2}\right)\bigg|_0^1
2
2 puncte
=12= \dfrac{1}{2}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) ∫01x⋅ex dx=x⋅ex∣01−∫01ex dx\displaystyle\int_0^1 x \cdot e^x\, dx = x \cdot e^x\bigg|_0^1 - \int_0^1 e^x\, dx
4
2 puncte
=e−ex∣01= e - e^x\bigg|_0^1
5
1 punct
=1= 1
c)5 puncte
6
1 punct
c) ∫01fn(x2) dx=∫01x2nex2 dx\displaystyle\int_0^1 f_n(x^2)\, dx = \int_0^1 x^{2n} e^{x^2}\, dx
7
2 puncte
ex2≥1⇒∫01x2nex2 dx≥∫01x2n dxe^{x^2} \geq 1 \Rightarrow \displaystyle\int_0^1 x^{2n} e^{x^2}\, dx \geq \int_0^1 x^{2n}\, dx
8
2 puncte
∫01x2n dx=12n+1\displaystyle\int_0^1 x^{2n}\, dx = \dfrac{1}{2n+1}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2011 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Toamnă Rezervă 2011 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac