BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2013 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că numărul a=3(2+5i)−5(1+3i)a = 3(2 + 5i) - 5(1 + 3i) este real.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează 3(2+5i)=6+15i3(2 + 5i) = 6 + 15i.
2
2 puncte
Se calculează 5(1+3i)=5+15i5(1 + 3i) = 5 + 15i.
3
1 punct
a=6+15i−5−15i=1∈Ra = 6 + 15i - 5 - 15i = 1 \in \mathbb{R}.
Exercițiul 2
Determinați coordonatele punctului de intersecție cu axa OxOx a graficului funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+10x+25f(x) = x^2 + 10x + 25.

Rezolvare

1
2 puncte
f(x)=0⇒(x+5)2=0f(x) = 0 \Rightarrow (x + 5)^2 = 0.
2
3 puncte
x=−5x = -5 și y=0y = 0.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(x2+x+1)=log⁡5(x+2)\log_5(x^2 + x + 1) = \log_5(x + 2).

Rezolvare

1
3 puncte
x2+x+1=x+2x^2 + x + 1 = x + 2, deci x2=1x^2 = 1.
2
2 puncte
Rezultă x=−1x = -1 sau x=1x = 1, care verifică ecuația.
Exercițiul 4
După o ieftinire cu 10%10\% prețul unui produs este 9090 de lei. Calculați prețul produsului înainte de ieftinire.

Rezolvare

1
3 puncte
Se notează cu xx prețul înainte de ieftinire: x−10100⋅x=90x - \frac{10}{100} \cdot x = 90.
2
2 puncte
x=100x = 100.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră dreapta hh de ecuație y=x−1y = x - 1 și punctul A(2,2)A(2, 2). Determinați ecuația dreptei dd care trece prin AA și este paralelă cu hh.

Rezolvare

1
3 puncte
d∥h⇒md=mh=1d \| h \Rightarrow m_d = m_h = 1.
2
2 puncte
d:y−2=1⋅(x−2)d: y - 2 = 1 \cdot (x - 2), deci d:y=xd: y = x.
Exercițiul 6
Calculați cosinusul unghiului AA al triunghiului ABCABC în care AB=5AB = 5, AC=6AC = 6 și BC=7BC = 7.

Rezolvare

1
3 puncte
cos⁡A=AB2+AC2−BC22⋅AB⋅AC=25+36−492⋅5⋅6\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{25 + 36 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 6}.
2
2 puncte
cos⁡A=15\cos A = \frac{1}{5}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Pentru fiecare număr real xx se consideră matricea A(x)=(110x111−11)A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ x & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}. a) Arătați că A(2)+A(6)=2A(4)A(2) + A(6) = 2A(4). b) Determinați numărul real xx pentru care det⁡(A(x))=0\det(A(x)) = 0. c) Determinați inversa matricei A(2)A(2).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) A(2)+A(6)=(2208222−22)A(2) + A(6) = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 8 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 2 \end{pmatrix}.
2
2 puncte
=2A(4)= 2A(4).
b)5 puncte
3
3 puncte
b) det⁡(A(x))=3−x\det(A(x)) = 3 - x.
4
2 puncte
3−x=0⇒x=33 - x = 0 \Rightarrow x = 3.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) det⁡(A(2))=1\det(A(2)) = 1.
6
3 puncte
(A(2))−1=(2−11−11−1−32−1)(A(2))^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -3 & 2 & -1 \end{pmatrix}.
Exercițiul 2
Se consideră x1x_1, x2x_2 și x3x_3 rădăcinile complexe ale polinomului f=X3+X2+mX+mf = X^3 + X^2 + mX + m, unde mm este un număr real. a) Arătați că ff este divizibil cu X+1X + 1, pentru orice număr real mm. b) Determinați numărul real mm pentru care x12+x22+x32=11x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 11. c) Determinați valorile reale ale lui mm știind că ∣x1∣=∣x2∣=∣x3∣|x_1| = |x_2| = |x_3|.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f(−1)=−1+1−m+m=0f(-1) = -1 + 1 - m + m = 0.
2
3 puncte
Rezultă X+1X + 1 divide polinomul ff.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x1+x2+x3=−1x_1 + x_2 + x_3 = -1, x1x2+x1x3+x2x3=mx_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = m.
4
2 puncte
x12+x22+x32=1−2mx_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1 - 2m.
5
1 punct
1−2m=11⇒m=−51 - 2m = 11 \Rightarrow m = -5.
c)5 puncte
6
2 puncte
c) x1=−1⇒∣x2∣=∣x3∣=1x_1 = -1 \Rightarrow |x_2| = |x_3| = 1.
7
1 punct
x1x2x3=−mx_1x_2x_3 = -m.
8
2 puncte
∣m∣=1⇒m=−1|m| = 1 \Rightarrow m = -1 sau m=1m = 1; ambele valori verifică cerința.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡xf(x) = x - \ln x. a) Calculați f′(x)f'(x), x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x0=1x_0 = 1, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că x≥ln⁡x+1x \geq \ln x + 1, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(x)′−(ln⁡x)′f'(x) = (x)' - (\ln x)'.
2
3 puncte
=1−1x= 1 - \frac{1}{x}, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
b)5 puncte
3
2 puncte
b) y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x - 1).
4
3 puncte
f(1)=1f(1) = 1, f′(1)=0f'(1) = 0, deci ecuația tangentei este y=1y = 1.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(1)=0f'(1) = 0, f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(0,1)x \in (0, 1) și f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty).
6
2 puncte
f(x)≥f(1)⇒x≥ln⁡x+1f(x) \geq f(1) \Rightarrow x \geq \ln x + 1, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x(x+1)(x−1)f(x) = x(x+1)(x-1). a) Arătați că ∫23f(x)x(x−1)dx=72\int_2^3 \frac{f(x)}{x(x-1)} dx = \frac{7}{2}. b) Determinați primitiva F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R} a funcției ff știind că F(1)=−1F(1) = -1. c) Arătați că ∫2ef(x)ln⁡xx2−1dx=e24−2ln⁡2+1\int_2^e \frac{f(x) \ln x}{x^2 - 1} dx = \frac{e^2}{4} - 2\ln 2 + 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫23f(x)x(x−1)dx=∫23(x+1) dx=(x22+x)∣23\int_2^3 \frac{f(x)}{x(x-1)} dx = \int_2^3 (x+1)\,dx = \left(\frac{x^2}{2} + x\right)\Big|_2^3.
2
2 puncte
=152−4=72= \frac{15}{2} - 4 = \frac{7}{2}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x, deci primitiva FF este F(x)=14x4−12x2+cF(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + c, unde c∈Rc \in \mathbb{R}.
4
2 puncte
F(1)=−1⇒c=−34F(1) = -1 \Rightarrow c = -\frac{3}{4}, deci F(x)=14x4−12x2−34F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) ∫2ef(x)ln⁡xx2−1dx=∫2exln⁡x dx\int_2^e \frac{f(x) \ln x}{x^2 - 1} dx = \int_2^e x \ln x\,dx.
6
3 puncte
=(x22ln⁡x)∣2e−12∫2ex dx=e24−2ln⁡2+1= \left(\frac{x^2}{2} \ln x\right)\Big|_2^e - \frac{1}{2}\int_2^e x\,dx = \frac{e^2}{4} - 2\ln 2 + 1.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2013 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Toamnă 2013 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac