BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2014 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați partea reală a numărului complex z=1+2i+3i2z = 1 + 2i + 3i^2.

Rezolvare

1
2 puncte
z=1+2i+3(−1)=−2+2iz = 1 + 2i + 3(-1) = -2 + 2i
2
3 puncte
Partea reală a numărului zz este egală cu −2-2
Exercițiul 2
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x−1f(x) = x - 1 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=3x−5g(x) = 3x - 5.

Rezolvare

1
3 puncte
f(x)=g(x)⇔x−1=3x−5f(x) = g(x) \Leftrightarrow x - 1 = 3x - 5
2
2 puncte
x=2x = 2 și y=1y = 1
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x2−x=32x3^{x^2 - x} = 3^{2x}.

Rezolvare

1
3 puncte
x2−x=2x⇔x2−3x=0x^2 - x = 2x \Leftrightarrow x^2 - 3x = 0
2
2 puncte
x1=0x_1 = 0 și x2=3x_2 = 3
Exercițiul 4
Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, se pot forma cu cifrele 00, 11, 22 și 33.

Rezolvare

1
2 puncte
Cifra unităților poate fi 00 sau 22
2
3 puncte
Cifra zecilor poate fi aleasă în câte 33 moduri, deci se pot forma 3⋅2=63 \cdot 2 = 6 numere
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră vectorii AB→=3i⃗+2j⃗\overrightarrow{AB} = 3\vec{i} + 2\vec{j} și AC→=(m+1)i⃗+4j⃗\overrightarrow{AC} = (m+1)\vec{i} + 4\vec{j}, unde mm este număr real. Determinați numărul real mm știind că AC→=2AB→\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}.

Rezolvare

1
2 puncte
(m+1)i⃗+4j⃗=2(3i⃗+2j⃗)(m+1)\vec{i} + 4\vec{j} = 2(3\vec{i} + 2\vec{j})
2
3 puncte
m+1=6m + 1 = 6, deci m=5m = 5
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC cu AB=AC=3AB = AC = 3 și BC=32BC = 3\sqrt{2}. Determinați cos⁡C\cos C.

Rezolvare

1
3 puncte
ΔABC\Delta ABC este dreptunghic isoscel
2
2 puncte
cos⁡C=22\cos C = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(100x102x2−2x4x1)A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 0 \\ 2x^2 - 2x & 4x & 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=1\det(A(0)) = 1. b) Arătați că A(x+y)=A(x)⋅A(y)A(x+y) = A(x) \cdot A(y) pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numerele reale xx știind că A(x2+2)=A(x)⋅A(x)⋅A(x)A(x^2 + 2) = A(x) \cdot A(x) \cdot A(x).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(0)=(100010001)A(0) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(0))=∣100010001∣\det(A(0)) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=1+0+0−0−0−0=1= 1 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A(x+y)=(100x+y102(x+y)2−2(x+y)4(x+y)1)A(x+y) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x+y & 1 & 0 \\ 2(x+y)^2 - 2(x+y) & 4(x+y) & 1 \end{pmatrix}
4
3 puncte
A(x)⋅A(y)=(100x+y102x2+4xy+2y2−2x−2y4x+4y1)=A(x+y)A(x) \cdot A(y) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x+y & 1 & 0 \\ 2x^2 + 4xy + 2y^2 - 2x - 2y & 4x + 4y & 1 \end{pmatrix} = A(x+y) pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
2 puncte
c) A(x)⋅A(x)⋅A(x)=A(3x)A(x) \cdot A(x) \cdot A(x) = A(3x)
6
3 puncte
x2+2=3x⇒x1=1x^2 + 2 = 3x \Rightarrow x_1 = 1 și x2=2x_2 = 2
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−3X2+aX−2f = X^3 - 3X^2 + aX - 2, unde aa este număr real. a) Arătați că f(2)=2(a−3)f(2) = 2(a - 3). b) Determinați numărul real aa știind că polinomul ff este divizibil prin X2−X+1X^2 - X + 1. c) Pentru a=3a = 3, rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația f(2x)=0f(2^x) = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f(2)=23−3⋅22+a⋅2−2f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + a \cdot 2 - 2
2
3 puncte
=8−12+2a−2=2a−6=2(a−3)= 8 - 12 + 2a - 2 = 2a - 6 = 2(a - 3)
b)5 puncte
3
3 puncte
b) f=(X−2)(X2−X+1)+(a−3)Xf = (X - 2)(X^2 - X + 1) + (a - 3)X
4
2 puncte
ff este divizibil prin X2−X+1⇔a=3X^2 - X + 1 \Leftrightarrow a = 3
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f=(X−2)(X2−X+1)f = (X - 2)(X^2 - X + 1)
6
3 puncte
(2x−2)(22x−2x+1)=0⇔2x=2⇔x=1(2^x - 2)(2^{2x} - 2^x + 1) = 0 \Leftrightarrow 2^x = 2 \Leftrightarrow x = 1

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→Rf : (-2, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xexx+2f(x) = \dfrac{xe^x}{x+2}. a) Arătați că f′(x)=(x2+2x+2)ex(x+2)2f'(x) = \dfrac{(x^2 + 2x + 2)e^x}{(x+2)^2}, x∈(−2,+∞)x \in (-2, +\infty). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x0=0x_0 = 0, situat pe graficul funcției ff. c) Arătați că ecuația f(x)=1f(x) = 1 are cel puțin o soluție în intervalul (1,2)(1, 2).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(xex)′⋅(x+2)−xex⋅(x+2)′(x+2)2f'(x) = \dfrac{(xe^x)' \cdot (x+2) - xe^x \cdot (x+2)'}{(x+2)^2}
2
3 puncte
=(ex+xex)(x+2)−xex(x+2)2=(x2+2x+2)ex(x+2)2= \dfrac{(e^x + xe^x)(x+2) - xe^x}{(x+2)^2} = \dfrac{(x^2 + 2x + 2)e^x}{(x+2)^2}, x∈(−2,+∞)x \in (-2, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
b) y−f(0)=f′(0)(x−0)y - f(0) = f'(0)(x - 0)
4
3 puncte
f(0)=0f(0) = 0, f′(0)=12f'(0) = \dfrac{1}{2}, deci ecuația tangentei este y=12xy = \dfrac{1}{2}x
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Funcția g:[1,2]→Rg : [1, 2] \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)−1g(x) = f(x) - 1 este continuă pe [1,2][1, 2]
6
3 puncte
g(1)⋅g(2)=e−33⋅e2−22<0g(1) \cdot g(2) = \dfrac{e - 3}{3} \cdot \dfrac{e^2 - 2}{2} < 0, deci există c∈(1,2)c \in (1, 2) astfel încât g(c)=0g(c) = 0, adică f(c)=1f(c) = 1
Exercițiul 2
Pentru fiecare număr natural nenul nn se consideră numărul In=∫01xn1+xn dxI_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + x^n}\, dx. a) Arătați că I1=1−ln⁡2I_1 = 1 - \ln 2. b) Arătați că In+1≤InI_{n+1} \leq I_n pentru orice număr natural nenul nn. c) Demonstrați că lim⁡n→+∞In=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) I1=∫01x1+x dx=∫01(1−11+x)dxI_1 = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x}{1+x}\, dx = \int_0^1 \left(1 - \dfrac{1}{1+x}\right) dx
2
3 puncte
=(x−ln⁡(1+x))∣01=1−ln⁡2= \left(x - \ln(1+x)\right)\bigg|_0^1 = 1 - \ln 2
b)5 puncte
3
2 puncte
b) In+1−In=∫01xn(x1+xn+1−11+xn)dx=∫01xn(x−1)(1+xn)(1+xn+1) dxI_{n+1} - I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \left(\dfrac{x}{1+x^{n+1}} - \dfrac{1}{1+x^n}\right) dx = \int_0^1 \dfrac{x^n(x-1)}{(1+x^n)(1+x^{n+1})}\, dx
4
3 puncte
Pentru orice x∈[0,1]x \in [0, 1] avem x−1≤0x - 1 \leq 0, xn≥0x^n \geq 0, 1+xn>01 + x^n > 0 și 1+xn+1>01 + x^{n+1} > 0, deci In+1−In≤0I_{n+1} - I_n \leq 0
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Pentru orice x∈[0,1]x \in [0, 1] și orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^* avem 0≤xn1+xn≤xn0 \leq \dfrac{x^n}{1+x^n} \leq x^n
6
3 puncte
0≤∫01xn1+xn dx≤∫01xn dx=1n+10 \leq \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1+x^n}\, dx \leq \int_0^1 x^n\, dx = \dfrac{1}{n+1}, deci lim⁡n→+∞In=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n = 0

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară Rezervă 2014 — Tehnologic

Următor →

Bac Toamnă 2014 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac