BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2014 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Pentru a=3a = 3 arătați că a2−2a=56\dfrac{a}{2} - \dfrac{2}{a} = \dfrac{5}{6}.

Rezolvare

1
2 puncte
a2−2a=32−23\dfrac{a}{2} - \dfrac{2}{a} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{3}
2
3 puncte
=9−46=56= \dfrac{9 - 4}{6} = \dfrac{5}{6}
Exercițiul 2
Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x−3f(x) = 2x - 3 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=x+1g(x) = x + 1.

Rezolvare

1
3 puncte
2x−3=x+12x - 3 = x + 1
2
2 puncte
x=4x = 4
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+5=3\sqrt{x^2 + 5} = 3.

Rezolvare

1
2 puncte
x2+5=9x^2 + 5 = 9
2
3 puncte
x1=−2x_1 = -2 și x2=2x_2 = 2, care verifică ecuația
Exercițiul 4
Prețul unei imprimante este 120120 de lei. Determinați prețul imprimantei după o scumpire cu 10%10\%.

Rezolvare

1
3 puncte
10100⋅120=12\dfrac{10}{100} \cdot 120 = 12
2
2 puncte
După scumpire prețul imprimantei este 120+12=132120 + 12 = 132 de lei
Exercițiul 5
În sistemul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,2)A(2, 2), B(2,5)B(2, 5) și C(6,5)C(6, 5). Determinați perimetrul triunghiului ABCABC.

Rezolvare

1
3 puncte
AB=3AB = 3, BC=4BC = 4 și AC=5AC = 5
2
2 puncte
PΔABC=3+4+5=12P_{\Delta ABC} = 3 + 4 + 5 = 12
Exercițiul 6
Calculați cos⁡A\cos A știind că sin⁡A=32\sin A = \dfrac{\sqrt{3}}{2} și unghiul AA este ascuțit.

Rezolvare

1
3 puncte
cos⁡A=1−34\cos A = \sqrt{1 - \dfrac{3}{4}}
2
2 puncte
cos⁡A=12\cos A = \dfrac{1}{2}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(1210)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, B=(bb01)B = \begin{pmatrix} b & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și C=(1000)C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, unde bb este număr real. a) Arătați că det⁡A=−2\det A = -2. b) Determinați numărul real bb pentru care A+B=AB+CA + B = AB + C. c) Arătați că det⁡(B+2C)=det⁡B−det⁡A\det(B + 2C) = \det B - \det A pentru orice număr real bb.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) det⁡A=∣1210∣\det A = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=1⋅0−1⋅2=−2= 1 \cdot 0 - 1 \cdot 2 = -2
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A+B=(b+1b+211)A + B = \begin{pmatrix} b+1 & b+2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, AB=(bb+2bb)AB = \begin{pmatrix} b & b+2 \\ b & b \end{pmatrix}, AB+C=(b+1b+2bb)AB + C = \begin{pmatrix} b+1 & b+2 \\ b & b \end{pmatrix}
4
2 puncte
(b+1b+211)=(b+1b+2bb)⇔b=1\begin{pmatrix} b+1 & b+2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b+1 & b+2 \\ b & b \end{pmatrix} \Leftrightarrow b = 1
c)5 puncte
5
3 puncte
c) det⁡(B+2C)=∣b+2b01∣=b+2\det(B + 2C) = \begin{vmatrix} b+2 & b \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = b + 2
6
2 puncte
det⁡B=b\det B = b, deci det⁡B−det⁡A=b+2=det⁡(B+2C)\det B - \det A = b + 2 = \det(B + 2C) pentru orice număr real bb
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−4X2+X+2f = X^3 - 4X^2 + X + 2. a) Arătați că f(1)=0f(1) = 0. b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului ff prin X−1X - 1. c) Arătați că (x1+x2+x3)(1x1+1x2+1x3)=−2(x_1 + x_2 + x_3)\left(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \dfrac{1}{x_3}\right) = -2 știind că x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f(1)=13−4⋅12+1+2f(1) = 1^3 - 4 \cdot 1^2 + 1 + 2
2
2 puncte
=1−4+1+2=0= 1 - 4 + 1 + 2 = 0
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Câtul este X2−3X−2X^2 - 3X - 2
4
3 puncte
Restul este 00
c)5 puncte
5
3 puncte
c) x1+x2+x3=4x_1 + x_2 + x_3 = 4, x1x2+x2x3+x1x3=1x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_1 x_3 = 1, x1x2x3=−2x_1 x_2 x_3 = -2
6
2 puncte
(x1+x2+x3)(1x1+1x2+1x3)=(x1+x2+x3)(x1x2+x2x3+x1x3)x1x2x3=4⋅1−2=−2(x_1 + x_2 + x_3)\left(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \dfrac{1}{x_3}\right) = \dfrac{(x_1 + x_2 + x_3)(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_1 x_3)}{x_1 x_2 x_3} = \dfrac{4 \cdot 1}{-2} = -2

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2−ln⁡xf(x) = x^2 - \ln x. a) Arătați că lim⁡x→1f(x)=1\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 1. b) Arătați că f′(x)=2x−1xf'(x) = 2x - \dfrac{1}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). c) Arătați că funcția ff este convexă pe intervalul (0,+∞)(0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→1(x2−ln⁡x)\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x^2 - \ln x)
2
3 puncte
=12−ln⁡1=1= 1^2 - \ln 1 = 1
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f′(x)=(x2−ln⁡x)′=f'(x) = (x^2 - \ln x)' =
4
3 puncte
=(x2)′−(ln⁡x)′=2x−1x= (x^2)' - (\ln x)' = 2x - \dfrac{1}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′′(x)=(2x)′−(1x)′=f''(x) = (2x)' - \left(\dfrac{1}{x}\right)' =
6
3 puncte
=2+1x2>0= 2 + \dfrac{1}{x^2} > 0 pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), deci funcția ff este convexă pe intervalul (0,+∞)(0, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→Rf : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2x+1f(x) = \dfrac{x^2}{x+1}. a) Arătați că ∫01x2 dx=13\displaystyle\int_0^1 x^2\, dx = \dfrac{1}{3}. b) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x = 0 și x=1x = 1. c) Arătați că orice primitivă a funcției ff este funcție crescătoare pe intervalul (−1,+∞)(-1, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫01x2 dx=x33∣01\displaystyle\int_0^1 x^2\, dx = \dfrac{x^3}{3}\bigg|_0^1
2
2 puncte
=13−0=13= \dfrac{1}{3} - 0 = \dfrac{1}{3}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A=∫01∣x2x+1∣dx=∫01x2x+1 dx=∫01(x−1+1x+1)dx\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 \left|\dfrac{x^2}{x+1}\right| dx = \int_0^1 \dfrac{x^2}{x+1}\, dx = \int_0^1 \left(x - 1 + \dfrac{1}{x+1}\right) dx
4
2 puncte
=(x22−x+ln⁡(x+1))∣01=ln⁡2−12= \left(\dfrac{x^2}{2} - x + \ln(x+1)\right)\bigg|_0^1 = \ln 2 - \dfrac{1}{2}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) FF este o primitivă a funcției f⇒F′(x)=f(x)f \Rightarrow F'(x) = f(x)
6
3 puncte
F′(x)=x2x+1≥0F'(x) = \dfrac{x^2}{x+1} \geq 0 pentru orice x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty), deci funcția FF este crescătoare pe (−1,+∞)(-1, +\infty)

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2014 — Științele Naturii

Următor →

Bac Toamnă Rezervă 2014 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac