BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2015 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați al treilea termen al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, știind că a1=2a_1 = 2 și a2=5a_2 = 5.

Rezolvare

1
3 puncte
r=a2−a1=5−2=3r = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3
2
2 puncte
a3=a2+r=5+3=8a_3 = a_2 + r = 5 + 3 = 8
Exercițiul 2
Determinați numărul real aa, știind că punctul A(3,5)A(3, 5) aparține graficului funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=a−xf(x) = a - x.

Rezolvare

1
3 puncte
f(3)=5⇔a−3=5f(3) = 5 \Leftrightarrow a - 3 = 5
2
2 puncte
a=8a = 8
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 84−x=22x+28^{4-x} = 2^{2x+2}.

Rezolvare

1
3 puncte
23(4−x)=22x+2⇔12−3x=2x+22^{3(4-x)} = 2^{2x+2} \Leftrightarrow 12 - 3x = 2x + 2
2
2 puncte
x=2x = 2
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 00.

Rezolvare

1
3 puncte
Sunt 9090 de numere naturale de două cifre (cazuri posibile) și 99 numere cu produsul cifrelor egal cu 00 (cazuri favorabile)
2
2 puncte
p=990=110p = \dfrac{9}{90} = \dfrac{1}{10}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctul M(1,1)M(1, 1). Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul MM și are panta egală cu 22.

Rezolvare

1
2 puncte
y−yM=2(x−xM)y - y_M = 2(x - x_M)
2
3 puncte
y=2x−1y = 2x - 1
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC cu AB=5AB = 5, AC=12AC = 12 și BC=13BC = 13. Arătați că sin⁡C=513\sin C = \dfrac{5}{13}.

Rezolvare

1
2 puncte
132=52+12213^2 = 5^2 + 12^2, deci triunghiul ABCABC este dreptunghic în AA
2
3 puncte
sin⁡C=ABBC=513\sin C = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{5}{13}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(1−x02x010−x01+2x)A(x) = \begin{pmatrix} 1-x & 0 & 2x \\ 0 & 1 & 0 \\ -x & 0 & 1+2x \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(1))=2\det(A(1)) = 2. b) Arătați că A(x)⋅A(y)=A(xy+x+y)A(x) \cdot A(y) = A(xy + x + y), pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numerele reale xx, știind că A(x)⋅A(x)⋅A(x)=A(7)A(x) \cdot A(x) \cdot A(x) = A(7).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(1)=(002010−103)A(1) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(1))=∣002010−103∣\det(A(1)) = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=0+0+0−(−2)−0−0=2= 0 + 0 + 0 - (-2) - 0 - 0 = 2
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(x)⋅A(y)=((1−x)(1−y)−2xy0(1−x)⋅2y+2x(1+2y)010−x(1−y)−(1+2x)y0−2xy+(1+2x)(1+2y))A(x) \cdot A(y) = \begin{pmatrix} (1-x)(1-y) - 2xy & 0 & (1-x) \cdot 2y + 2x(1+2y) \\ 0 & 1 & 0 \\ -x(1-y) - (1+2x)y & 0 & -2xy + (1+2x)(1+2y) \end{pmatrix}
4
2 puncte
=(1−(xy+x+y)02(xy+x+y)010−(xy+x+y)01+2(xy+x+y))=A(xy+x+y)= \begin{pmatrix} 1 - (xy+x+y) & 0 & 2(xy+x+y) \\ 0 & 1 & 0 \\ -(xy+x+y) & 0 & 1+2(xy+x+y) \end{pmatrix} = A(xy+x+y) pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(x)⋅A(x)⋅A(x)=A((x+1)3−1)A(x) \cdot A(x) \cdot A(x) = A((x+1)^3 - 1), pentru orice număr real xx
6
2 puncte
(x+1)3−1=7⇔(x+1)3=8⇔x=1(x+1)^3 - 1 = 7 \Leftrightarrow (x+1)^3 = 8 \Leftrightarrow x = 1
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3+2X2+X+mf = X^3 + 2X^2 + X + m, unde mm este număr real. a) Arătați că f(0)=mf(0) = m. b) Pentru m=1m = 1, arătați că x13+x23+x33=5x1x2x3x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 5x_1 x_2 x_3, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff. c) Determinați numărul natural prim mm, știind că polinomul ff are o rădăcină întreagă.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f(0)=03+2⋅02+0+mf(0) = 0^3 + 2 \cdot 0^2 + 0 + m
2
2 puncte
=0+0+0+m=m= 0 + 0 + 0 + m = m
b)5 puncte
3
3 puncte
b) x1+x2+x3=−2x_1 + x_2 + x_3 = -2, x1x2+x1x3+x2x3=1x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = 1, x1x2x3=−1x_1 x_2 x_3 = -1
4
2 puncte
x13+x23+x33=−2((−2)2−2⋅1)−(−2)−3=−2⋅2+2−3=−5=5x1x2x3x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = -2((-2)^2 - 2 \cdot 1) - (-2) - 3 = -2 \cdot 2 + 2 - 3 = -5 = 5 x_1 x_2 x_3
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x1∈Zx_1 \in \mathbb{Z} și f(x1)=0⇔m=−x1(x1+1)2f(x_1) = 0 \Leftrightarrow m = -x_1(x_1 + 1)^2
6
3 puncte
Deoarece mm este prim, obținem (x1+1)2=1⇔x1=0(x_1 + 1)^2 = 1 \Leftrightarrow x_1 = 0, care nu convine, sau x1=−2x_1 = -2, pentru care m=2m = 2

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x−x2+1f(x) = x - \sqrt{x^2 + 1}. a) Arătați că f′(x)=1−xx2+1f'(x) = 1 - \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Arătați că derivata funcției ff este descrescătoare pe R\mathbb{R}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=1−12x2+1⋅(x2+1)′=f'(x) = 1 - \dfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)' =
2
2 puncte
=1−2x2x2+1=1−xx2+1= 1 - \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = 1 - \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞(x−x2+1)=lim⁡x→+∞x2−(x2+1)x+x2+1=lim⁡x→+∞−1x+x2+1=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (x - \sqrt{x^2+1}) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 - (x^2+1)}{x + \sqrt{x^2+1}} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{-1}{x + \sqrt{x^2+1}} = 0
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=0y = 0 este asimptotă orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′′(x)=−x2+1−x2x2+1x2+1=−1(x2+1)x2+1f''(x) = -\dfrac{\sqrt{x^2+1} - \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} = -\dfrac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}, x∈Rx \in \mathbb{R}
6
2 puncte
f′′(x)<0f''(x) < 0, pentru orice număr real xx, deci funcția f′f' este descrescătoare pe R\mathbb{R}
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x. a) Arătați că ∫1e1x dx=1\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\, dx = 1. b) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=1x = 1 și x=ex = e. c) Determinați numărul natural nenul nn, știind că ∫1e1x(f(x))n dx=12015\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x} (f(x))^n\, dx = \dfrac{1}{2015}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫1e1x dx=ln⁡x∣1e\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\, dx = \ln x\bigg|_1^e
2
2 puncte
=ln⁡e−ln⁡1=1= \ln e - \ln 1 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A=∫1e∣f(x)∣ dx=∫1eln⁡x dx=(xln⁡x−x)∣1e\mathcal{A} = \displaystyle\int_1^e |f(x)|\, dx = \int_1^e \ln x\, dx = (x \ln x - x)\bigg|_1^e
4
2 puncte
=(e−e)−(0−1)=1= (e - e) - (0 - 1) = 1
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫1e1x(ln⁡x)n dx=1n+1(ln⁡x)n+1∣1e=1n+1\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x} (\ln x)^n\, dx = \dfrac{1}{n+1} (\ln x)^{n+1}\bigg|_1^e = \dfrac{1}{n+1}
6
2 puncte
1n+1=12015⇔n=2014\dfrac{1}{n+1} = \dfrac{1}{2015} \Leftrightarrow n = 2014

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară Rezervă 2015 — Tehnologic

Următor →

Bac Toamnă 2015 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac