BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2015 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați al doilea termen al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, știind că a1=1a_1 = 1 și rația r=2r = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează a2=a1+r=1+2a_2 = a_1 + r = 1 + 2.
2
2 puncte
Se obține a2=3a_2 = 3.
Exercițiul 2
Determinați numărul real mm, știind că punctul A(m,0)A(m, 0) aparține graficului funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+1f(x) = x + 1.

Rezolvare

1
3 puncte
Condiția f(m)=0f(m) = 0 implică m+1=0m + 1 = 0.
2
2 puncte
Se obține m=−1m = -1.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x2+4)=log⁡28\log_2(x^2 + 4) = \log_2 8.

Rezolvare

1
2 puncte
Din egalitatea logaritmilor se obține x2+4=8x^2 + 4 = 8, deci x2=4x^2 = 4.
2
3 puncte
Soluțiile sunt x1=−2x_1 = -2 și x2=2x_2 = 2, care verifică ecuația.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M={1,2,3,4,5,6,7,8}M = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}, acesta să fie divizibil cu 33.

Rezolvare

1
3 puncte
Mulțimea MM are 88 elemente, deci sunt 88 cazuri posibile. În MM sunt 22 numere divizibile cu 33 (adică 33 și 66), deci 22 cazuri favorabile.
2
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=28=14p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.
Exercițiul 5
Determinați numărul real aa, știind că vectorii u⃗=(a+1)i⃗+4j⃗\vec{u} = (a+1)\vec{i} + 4\vec{j} și v⃗=i⃗+2j⃗\vec{v} = \vec{i} + 2\vec{j} sunt coliniari.

Rezolvare

1
3 puncte
Condiția de coliniaritate: a+11=42\frac{a+1}{1} = \frac{4}{2}.
2
2 puncte
Se obține a=1a = 1.
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡2x=32\sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}, știind că sin⁡x=12\sin x = \frac{1}{2} și x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right).

Rezolvare

1
2 puncte
Cum x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right), se obține cos⁡x=32\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}.
2
3 puncte
sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x=2⋅12⋅32=32\sin 2x = 2 \sin x \cos x = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(a3a−12)A(a) = \begin{pmatrix} a & 3 \\ a - 1 & 2 \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că A(2014)+A(2016)=2A(2015)A(2014) + A(2016) = 2A(2015). b) Determinați numărul real aa pentru care det⁡(A(a))=0\det(A(a)) = 0. c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația det⁡(A(2)+xA(3))=0\det(A(2) + xA(3)) = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează A(2014)=(2014320132)A(2014) = \begin{pmatrix} 2014 & 3 \\ 2013 & 2 \end{pmatrix}, A(2016)=(2016320152)A(2016) = \begin{pmatrix} 2016 & 3 \\ 2015 & 2 \end{pmatrix} și A(2015)=(2015320142)A(2015) = \begin{pmatrix} 2015 & 3 \\ 2014 & 2 \end{pmatrix}.
2
2 puncte
A(2014)+A(2016)=(4030640284)=2(2015320142)=2A(2015)A(2014) + A(2016) = \begin{pmatrix} 4030 & 6 \\ 4028 & 4 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2015 & 3 \\ 2014 & 2 \end{pmatrix} = 2A(2015).
b)5 puncte
3
3 puncte
b) det⁡(A(a))=2a−3(a−1)=3−a\det(A(a)) = 2a - 3(a - 1) = 3 - a.
4
2 puncte
3−a=0⇔a=33 - a = 0 \Leftrightarrow a = 3.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(2)+xA(3)=(2+3x3+3x1+2x2+2x)A(2) + xA(3) = \begin{pmatrix} 2 + 3x & 3 + 3x \\ 1 + 2x & 2 + 2x \end{pmatrix}, deci det⁡(A(2)+xA(3))=x+1\det(A(2) + xA(3)) = x + 1.
6
2 puncte
x+1=0⇔x=−1x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = -1.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=−xy−x−y−2x * y = -xy - x - y - 2. a) Arătați că (−1)∗1=−1(-1) * 1 = -1. b) Arătați că x∗y=−(x+1)(y+1)−1x * y = -(x + 1)(y + 1) - 1, pentru orice numere reale xx și yy. c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (x+2)∗(2x−3)=5(x + 2) * (2x - 3) = 5.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) (−1)∗1=−(−1)⋅1−(−1)−1−2=1+1−1−2(-1) * 1 = -(-1) \cdot 1 - (-1) - 1 - 2 = 1 + 1 - 1 - 2.
2
2 puncte
=−1= -1.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗y=−xy−x−y−1−1=−x(y+1)−(y+1)−1x * y = -xy - x - y - 1 - 1 = -x(y + 1) - (y + 1) - 1.
4
3 puncte
=−(x+1)(y+1)−1= -(x + 1)(y + 1) - 1, pentru orice numere reale xx și yy.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) (x+2)∗(2x−3)=−(x+3)(2x−2)−1(x + 2) * (2x - 3) = -(x + 3)(2x - 2) - 1, deci ecuația devine −(x+3)(2x−2)−1=5-(x + 3)(2x - 2) - 1 = 5.
6
3 puncte
x2+2x=0⇔x1=−2x^2 + 2x = 0 \Leftrightarrow x_1 = -2 și x2=0x_2 = 0.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x4−8x2+16f(x) = x^4 - 8x^2 + 16. a) Arătați că f′(x)=4x(x−2)(x+2)f'(x) = 4x(x - 2)(x + 2), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Calculați lim⁡x→+∞f(x)−x4x2+1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x) - x^4}{x^2 + 1}. c) Determinați coordonatele punctelor situate pe graficul funcției ff, în care tangenta la graficul funcției ff este paralelă cu axa OxOx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=4x3−16x=4x(x2−4)f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4).
2
2 puncte
=4x(x−2)(x+2)= 4x(x - 2)(x + 2), x∈Rx \in \mathbb{R}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)−x4x2+1=lim⁡x→+∞−8x2+16x2+1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x) - x^4}{x^2 + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-8x^2 + 16}{x^2 + 1}.
4
3 puncte
=−8= -8.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)=0⇔x(x−2)(x+2)=0f'(x) = 0 \Leftrightarrow x(x - 2)(x + 2) = 0.
6
3 puncte
Coordonatele punctelor sunt (−2,0)(-2, 0), (0,16)(0, 16) și (2,0)(2, 0).
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x+2xf(x) = \frac{x + 2}{x}. a) Arătați că ∫12xf(x) dx=72\displaystyle\int_1^2 x f(x)\,dx = \frac{7}{2}. b) Demonstrați că funcția F:(0,+∞)→RF : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, F(x)=x+2ln⁡x+2015F(x) = x + 2\ln x + 2015 este o primitivă a funcției ff. c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:(0,+∞)→Rg : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, g(x)=(f(x)−1)ln⁡xg(x) = (f(x) - 1)\ln x, axa OxOx și dreptele de ecuații x=1x = 1 și x=ex = e are aria egală cu 11.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫12xf(x) dx=∫12(x+2) dx=(x22+2x)∣12\displaystyle\int_1^2 x f(x)\,dx = \int_1^2 (x + 2)\,dx = \left(\frac{x^2}{2} + 2x\right)\bigg|_1^2.
2
2 puncte
=6−52=72= 6 - \frac{5}{2} = \frac{7}{2}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) F′(x)=(x+2ln⁡x+2015)′=1+2xF'(x) = (x + 2\ln x + 2015)' = 1 + \frac{2}{x}.
4
2 puncte
=x+2x=f(x)= \frac{x + 2}{x} = f(x), pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), deci FF este o primitivă a funcției ff.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A=∫1e∣g(x)∣ dx=∫1e2xln⁡x dx=ln⁡2x∣1e\mathcal{A} = \displaystyle\int_1^e |g(x)|\,dx = \int_1^e \frac{2}{x} \ln x\,dx = \ln^2 x\bigg|_1^e.
6
2 puncte
=ln⁡2e−ln⁡21=1= \ln^2 e - \ln^2 1 = 1.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2015 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Toamnă 2015 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac