BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2015 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 12:0,5−1=0\frac{1}{2} : 0{,}5 - 1 = 0.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează 0,5=120{,}5 = \frac{1}{2}.
2
3 puncte
12:12−1=1−1=0\frac{1}{2} : \frac{1}{2} - 1 = 1 - 1 = 0.
Exercițiul 2
Calculați f(−1)+f(0)+f(1)f(-1) + f(0) + f(1), unde f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+xf(x) = x^2 + x.

Rezolvare

1
3 puncte
f(−1)=0f(-1) = 0, f(0)=0f(0) = 0 și f(1)=2f(1) = 2.
2
2 puncte
f(−1)+f(0)+f(1)=2f(-1) + f(0) + f(1) = 2.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+1=5\sqrt{3x + 1} = 5.

Rezolvare

1
3 puncte
Se ridică la pătrat: 3x+1=253x + 1 = 25.
2
2 puncte
x=8x = 8, care verifică ecuația.
Exercițiul 4
Un obiect costă 150150 lei. Calculați prețul obiectului după o scumpire cu 30%30\%.

Rezolvare

1
3 puncte
30%30\% din 150150 este 30100⋅150=45\frac{30}{100} \cdot 150 = 45.
2
2 puncte
Prețul după scumpire este 150+45=195150 + 45 = 195 de lei.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,5)A(1, 5) și B(3,5)B(3, 5). Determinați distanța de la punctul AA la punctul BB.

Rezolvare

1
3 puncte
AB=(3−1)2+(5−5)2AB = \sqrt{(3 - 1)^2 + (5 - 5)^2}.
2
2 puncte
=2= 2.
Exercițiul 6
Calculați lungimea laturii ABAB a triunghiului ABCABC dreptunghic în AA, știind că AC=5AC = 5 și m(∢B)=45°m(\sphericalangle B) = 45°.

Rezolvare

1
3 puncte
△ABC\triangle ABC este isoscel (unghiul B=45°B = 45° și unghiul A=90°A = 90° implică unghiul C=45°C = 45°).
2
2 puncte
AB=5AB = 5.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele M=(−22−1−1)M = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} și I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. a) Arătați că det⁡M=4\det M = 4. b) Arătați că M⋅M+3M+4I2=O2M \cdot M + 3M + 4I_2 = O_2, unde O2=(0000)O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. c) Determinați numerele reale aa și bb astfel încât M⋅M⋅M=aM+bI2M \cdot M \cdot M = aM + bI_2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡M=(−2)(−1)−2⋅(−1)=2−(−2)\det M = (-2)(-1) - 2 \cdot (-1) = 2 - (-2).
2
2 puncte
=4= 4.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) M⋅M=(2−63−1)M \cdot M = \begin{pmatrix} 2 & -6 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}, 3M=(−66−3−3)3M = \begin{pmatrix} -6 & 6 \\ -3 & -3 \end{pmatrix}, 4I2=(4004)4I_2 = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}.
4
2 puncte
M⋅M+3M+4I2=(0000)=O2M \cdot M + 3M + 4I_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O_2.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) M⋅M⋅M=(−210−57)M \cdot M \cdot M = \begin{pmatrix} -2 & 10 \\ -5 & 7 \end{pmatrix}, aM+bI2=(−2a+b2a−a−a+b)aM + bI_2 = \begin{pmatrix} -2a + b & 2a \\ -a & -a + b \end{pmatrix}, deci a=5a = 5.
6
2 puncte
b=12b = 12.
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−5X2+5X−1f = X^3 - 5X^2 + 5X - 1. a) Arătați că f(1)=0f(1) = 0. b) Arătați că f(a)+f(−a)+2≤0f(a) + f(-a) + 2 \leq 0, pentru orice număr real aa. c) Demonstrați că x12+x22+x32=15x1x2x3x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 15x_1 x_2 x_3, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f(1)=1−5+5−1f(1) = 1 - 5 + 5 - 1.
2
2 puncte
=0= 0.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(a)=a3−5a2+5a−1f(a) = a^3 - 5a^2 + 5a - 1, f(−a)=−a3−5a2−5a−1f(-a) = -a^3 - 5a^2 - 5a - 1.
4
3 puncte
f(a)+f(−a)+2=−10a2≤0f(a) + f(-a) + 2 = -10a^2 \leq 0, pentru orice număr real aa.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Din relațiile lui Viète: x1+x2+x3=5x_1 + x_2 + x_3 = 5, x1x2+x1x3+x2x3=5x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = 5, x1x2x3=1x_1 x_2 x_3 = 1.
6
2 puncte
x12+x22+x32=52−2⋅5=15=15⋅1=15x1x2x3x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 = 15 = 15 \cdot 1 = 15x_1 x_2 x_3.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x3−6x+1f(x) = 2x^3 - 6x + 1. a) Arătați că f′(x)=6(x−1)(x+1)f'(x) = 6(x - 1)(x + 1), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=1x = 1, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că f(2012)+f(2014)≤f(2013)+f(2015)f(2012) + f(2014) \leq f(2013) + f(2015).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=6x2−6=6(x2−1)f'(x) = 6x^2 - 6 = 6(x^2 - 1).
2
2 puncte
=6(x−1)(x+1)= 6(x - 1)(x + 1), x∈Rx \in \mathbb{R}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(1)=−3f(1) = -3, f′(1)=0f'(1) = 0.
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x - 1), deci y=−3y = -3.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru orice x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty), deci ff este crescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty).
6
2 puncte
f(2012)≤f(2013)f(2012) \leq f(2013) și f(2014)≤f(2015)f(2014) \leq f(2015), deci f(2012)+f(2014)≤f(2013)+f(2015)f(2012) + f(2014) \leq f(2013) + f(2015).
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−4f(x) = x^2 - 4. a) Arătați că ∫01(f(x)+4) dx=13\displaystyle\int_0^1 (f(x) + 4)\,dx = \frac{1}{3}. b) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=1f(x)+5g(x) = \frac{1}{f(x) + 5}, axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x = 0 și x=1x = 1. c) Determinați numărul real aa, a>1a > 1, pentru care ∫1af(x)+4x dx=12\displaystyle\int_1^a \frac{f(x) + 4}{x}\,dx = 12.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) ∫01(f(x)+4) dx=∫01x2 dx\displaystyle\int_0^1 (f(x) + 4)\,dx = \int_0^1 x^2\,dx.
2
3 puncte
=x33∣01=13= \frac{x^3}{3}\bigg|_0^1 = \frac{1}{3}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A=∫01∣g(x)∣ dx=∫011x2+1 dx=arctan⁡x∣01\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 |g(x)|\,dx = \int_0^1 \frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \arctan x\bigg|_0^1.
4
2 puncte
=arctan⁡1−arctan⁡0=π4= \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4}.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫1af(x)+4x dx=∫1ax dx=x22∣1a=a22−12\displaystyle\int_1^a \frac{f(x) + 4}{x}\,dx = \int_1^a x\,dx = \frac{x^2}{2}\bigg|_1^a = \frac{a^2}{2} - \frac{1}{2}.
6
2 puncte
a22−12=12⇔a2−25=0\frac{a^2}{2} - \frac{1}{2} = 12 \Leftrightarrow a^2 - 25 = 0 și, cum a>1a > 1, se obține a=5a = 5.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2015 — Științele Naturii

Următor →

Bac Toamnă Rezervă 2015 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac