BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2016 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați al treilea termen al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, știind că a1=2016a_1 = 2016 și rația r=2r = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează a3=a1+2r=2016+2⋅2a_3 = a_1 + 2r = 2016 + 2 \cdot 2.
2
2 puncte
Se obține a3=2020a_3 = 2020.
Exercițiul 2
Determinați numărul real mm, știind că punctul A(1,2)A(1, 2) aparține graficului funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+mf(x) = x + m.

Rezolvare

1
3 puncte
Condiția f(1)=2f(1) = 2 implică 1+m=21 + m = 2.
2
2 puncte
Se obține m=1m = 1.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 24x−6=43x−42^{4x - 6} = 4^{3x - 4}.

Rezolvare

1
3 puncte
Se scrie 24x−6=(22)3x−4=26x−82^{4x - 6} = (2^2)^{3x - 4} = 2^{6x - 8}, deci 4x−6=6x−84x - 6 = 6x - 8.
2
2 puncte
Se obține x=1x = 1.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={1,2,3,…,40}A = \{1, 2, 3, \ldots, 40\}, acesta să conțină cifra 44.

Rezolvare

1
1 punct
Mulțimea AA are 4040 de elemente, deci sunt 4040 de cazuri posibile.
2
2 puncte
Numerele din AA care conțin cifra 44 sunt 44, 1414, 2424, 3434 și 4040, deci sunt 55 cazuri favorabile.
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=540=18p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,2)A(1, 2) și B(4,5)B(4, 5). Determinați ecuația dreptei ABAB.

Rezolvare

1
3 puncte
Ecuația dreptei: y−2=5−24−1(x−1)y - 2 = \frac{5 - 2}{4 - 1}(x - 1).
2
2 puncte
Se obține y=x+1y = x + 1.
Exercițiul 6
Dacă x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) și sin⁡x=45\sin x = \frac{4}{5}, arătați că sin⁡2x=2425\sin 2x = \frac{24}{25}.

Rezolvare

1
3 puncte
Cum x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right), se obține cos⁡x=1−sin⁡2x=35\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \frac{3}{5}.
2
2 puncte
sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x=2⋅45⋅35=2425\sin 2x = 2 \sin x \cos x = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(1a1a1−111−2)A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+ay+z=1ax+y−z=−1x+y−2z=0\begin{cases} x + ay + z = 1 \\ ax + y - z = -1 \\ x + y - 2z = 0 \end{cases}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=−2\det(A(0)) = -2. b) Demonstrați că matricea A(a)A(a) este inversabilă, pentru orice număr real aa, a≠−1a \neq -1 și a≠1a \neq 1. c) Determinați numerele întregi aa, pentru care sistemul are soluție unică (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0), iar x0x_0, y0y_0 și z0z_0 sunt numere întregi.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(0)=(10101−111−2)A(0) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(0))=∣10101−111−2∣\det(A(0)) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix}.
2
3 puncte
=−2+0+0−1−(−1)−0=−2= -2 + 0 + 0 - 1 - (-1) - 0 = -2.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) det⁡(A(a))=2(a−1)(a+1)\det(A(a)) = 2(a - 1)(a + 1).
4
2 puncte
Pentru orice a≠−1a \neq -1 și a≠1a \neq 1, det⁡(A(a))≠0\det(A(a)) \neq 0, deci A(a)A(a) este inversabilă.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Sistemul are soluție unică, deci a≠±1a \neq \pm 1; soluția este (−1a−1,1a−1,0)\left(-\frac{1}{a-1}, \frac{1}{a-1}, 0\right).
6
2 puncte
Cum aa este întreg, 1a−1∈Z⇔a−1\frac{1}{a-1} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow a - 1 divide 11, deci a=0a = 0 sau a=2a = 2.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=3xy+3x+3y+2x \circ y = 3xy + 3x + 3y + 2. a) Arătați că x∘y=3(x+1)(y+1)−1x \circ y = 3(x + 1)(y + 1) - 1, pentru orice numere reale xx și yy. b) Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x+3f(x) = 3x + 3. Demonstrați că f(x∘y)=f(x)⋅f(y)f(x \circ y) = f(x) \cdot f(y), pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numerele reale aa, pentru care a∘a∘…∘a⏟de 2016 ori=32015−1\underbrace{a \circ a \circ \ldots \circ a}_{\text{de } 2016 \text{ ori}} = 3^{2015} - 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) x∘y=3xy+3x+3y+3−1=3x(y+1)+3(y+1)−1x \circ y = 3xy + 3x + 3y + 3 - 1 = 3x(y + 1) + 3(y + 1) - 1.
2
2 puncte
=3(x+1)(y+1)−1= 3(x + 1)(y + 1) - 1, pentru orice numere reale xx și yy.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) f(x∘y)=3(x∘y)+3=3(3(x+1)(y+1)−1)+3=9(x+1)(y+1)f(x \circ y) = 3(x \circ y) + 3 = 3(3(x+1)(y+1) - 1) + 3 = 9(x+1)(y+1).
4
2 puncte
=(3x+3)(3y+3)=f(x)⋅f(y)= (3x + 3)(3y + 3) = f(x) \cdot f(y), pentru orice numere reale xx și yy.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f(a∘…∘a⏟2016)=f(32015−1)⇔(f(a))2016=3⋅32015=32016f\left(\underbrace{a \circ \ldots \circ a}_{2016}\right) = f(3^{2015} - 1) \Leftrightarrow (f(a))^{2016} = 3 \cdot 3^{2015} = 3^{2016}, deci f(a)=−3f(a) = -3 sau f(a)=3f(a) = 3.
6
2 puncte
a=−2a = -2 sau a=0a = 0.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(1,+∞)→Rf : (1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡x+1x−1f(x) = \ln\frac{x + 1}{x - 1}. a) Arătați că f′(x)=1x+1−1x−1f'(x) = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1}, x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty). b) Demonstrați că funcția ff este convexă pe (1,+∞)(1, +\infty). c) Demonstrați că lim⁡n→+∞(f′(2)+f′(3)+f′(4)+…+f′(n))=−32\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(f'(2) + f'(3) + f'(4) + \ldots + f'(n)\right) = -\frac{3}{2}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) Cum x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty), f(x)=ln⁡(x+1)−ln⁡(x−1)f(x) = \ln(x + 1) - \ln(x - 1).
2
3 puncte
f′(x)=(ln⁡(x+1))′−(ln⁡(x−1))′=1x+1−1x−1f'(x) = (\ln(x + 1))' - (\ln(x - 1))' = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f′′(x)=4x(x−1)2(x+1)2f''(x) = \frac{4x}{(x - 1)^2(x + 1)^2}.
4
3 puncte
Pentru orice x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty), f′′(x)>0f''(x) > 0, deci ff este convexă pe (1,+∞)(1, +\infty).
c)5 puncte
5
3 puncte
c) lim⁡n→+∞(f′(2)+f′(3)+…+f′(n))=lim⁡n→+∞[(13−11)+(14−12)+…+(1n+1−1n−1)]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (f'(2) + f'(3) + \ldots + f'(n)) = \lim_{n \to +\infty} \left[\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{1}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1}\right)\right].
6
2 puncte
=lim⁡n→+∞(−11−12+1n+1n+1)=−32= \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(-\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}\right) = -\frac{3}{2}.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x+1xf(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}. a) Arătați că ∫12x f(x) dx=52\displaystyle\int_1^2 \sqrt{x}\,f(x)\,dx = \frac{5}{2}. b) Arătați că ∫1e2(f(x)−x)ln⁡x dx=4\displaystyle\int_1^{e^2} \left(f(x) - \sqrt{x}\right) \ln x\,dx = 4. c) Determinați numărul real aa, a>1a > 1, știind că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[1,a]→Rg : [1, a] \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)g(x) = f(x) este egal cu π(ln⁡a+72)\pi\left(\ln a + \frac{7}{2}\right).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫12x f(x) dx=∫12(x+1) dx=(x22+x)∣12\displaystyle\int_1^2 \sqrt{x}\,f(x)\,dx = \int_1^2 (x + 1)\,dx = \left(\frac{x^2}{2} + x\right)\bigg|_1^2.
2
2 puncte
=4−32=52= 4 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫1e2(f(x)−x)ln⁡x dx=∫1e21x⋅ln⁡x dx=2x⋅ln⁡x∣1e2−2∫1e21x dx\displaystyle\int_1^{e^2} \left(f(x) - \sqrt{x}\right) \ln x\,dx = \int_1^{e^2} \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \ln x\,dx = 2\sqrt{x} \cdot \ln x\bigg|_1^{e^2} - 2\int_1^{e^2} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx.
4
2 puncte
=(2x⋅ln⁡x−4x)∣1e2=4e−4e+4=4= \left(2\sqrt{x} \cdot \ln x - 4\sqrt{x}\right)\bigg|_1^{e^2} = 4e - 4e + 4 = 4.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) V=π∫1ag2(x) dx=π∫1a(x+2+1x)dx=π(x22+2x+ln⁡x)∣1a=π(a22+2a+ln⁡a−52)V = \pi \displaystyle\int_1^a g^2(x)\,dx = \pi \int_1^a \left(x + 2 + \frac{1}{x}\right)dx = \pi\left(\frac{x^2}{2} + 2x + \ln x\right)\bigg|_1^a = \pi\left(\frac{a^2}{2} + 2a + \ln a - \frac{5}{2}\right).
6
2 puncte
a22+2a+ln⁡a−52=ln⁡a+72⇔a2+4a−12=0\frac{a^2}{2} + 2a + \ln a - \frac{5}{2} = \ln a + \frac{7}{2} \Leftrightarrow a^2 + 4a - 12 = 0 și, cum a>1a > 1, se obține a=2a = 2.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară Rezervă 2016 — Tehnologic

Următor →

Bac Toamnă 2016 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac