BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2016 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați al doilea termen al progresiei geometrice (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1}, știind că b1=4b_1 = 4 și rația q=2q = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează b2=b1⋅q=4⋅2b_2 = b_1 \cdot q = 4 \cdot 2.
2
2 puncte
Se obține b2=8b_2 = 8.
Exercițiul 2
Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x.

Rezolvare

1
2 puncte
xV=1x_V = 1.
2
3 puncte
yV=−1y_V = -1.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(2x+1)=log⁡35\log_3(2x + 1) = \log_3 5.

Rezolvare

1
3 puncte
Din egalitatea logaritmilor: 2x+1=52x + 1 = 5, deci 2x=42x = 4.
2
2 puncte
x=2x = 2, care verifică ecuația.
Exercițiul 4
Determinați numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii {0,1,2,3,4}\{0, 1, 2, 3, 4\}.

Rezolvare

1
3 puncte
C52=5!2!⋅3!C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot 3!}.
2
2 puncte
=10= 10.
Exercițiul 5
Determinați numărul real mm, știind că punctul M(1,0)M(1, 0) aparține dreptei de ecuație y=mx−2y = mx - 2.

Rezolvare

1
3 puncte
Condiția: 0=m⋅1−20 = m \cdot 1 - 2.
2
2 puncte
Se obține m=2m = 2.
Exercițiul 6
Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABCABC, în care AB=2AB = \sqrt{2} și C=π4C = \frac{\pi}{4}.

Rezolvare

1
3 puncte
Din teorema sinusurilor: ABsin⁡C=2R\frac{AB}{\sin C} = 2R, deci R=22⋅22R = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}.
2
2 puncte
Se obține R=1R = 1.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(2−a112−a)A(a) = \begin{pmatrix} 2 - a & 1 \\ 1 & 2 - a \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(2))=−1\det(A(2)) = -1. b) Demonstrați că A(a)+A(−a)=2A(0)A(a) + A(-a) = 2A(0), pentru orice număr real aa. c) Determinați numărul real xx, știind că A(x)⋅A(x)=2A(1)A(x) \cdot A(x) = 2A(1).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(2)=(0110)A(2) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(2))=0−1\det(A(2)) = 0 - 1.
2
3 puncte
=−1= -1.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(a)+A(−a)=(2−a112−a)+(2+a112+a)=(4224)A(a) + A(-a) = \begin{pmatrix} 2 - a & 1 \\ 1 & 2 - a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 + a & 1 \\ 1 & 2 + a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}.
4
2 puncte
=2(2112)=2A(0)= 2\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 2A(0), pentru orice număr real aa.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(x)⋅A(x)=(x2−4x+54−2x4−2xx2−4x+5)A(x) \cdot A(x) = \begin{pmatrix} x^2 - 4x + 5 & 4 - 2x \\ 4 - 2x & x^2 - 4x + 5 \end{pmatrix}, 2A(1)=(2222)2A(1) = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
6
2 puncte
Din 4−2x=24 - 2x = 2 se obține x=1x = 1.
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−4X2+mX+4f = X^3 - 4X^2 + mX + 4, unde mm este număr real. a) Arătați că f(−1)+f(1)=0f(-1) + f(1) = 0, pentru orice număr real mm. b) Pentru m=−1m = -1, arătați că polinomul ff se divide cu polinomul X2−1X^2 - 1. c) Determinați numărul real mm, știind că x12+x22+x32−4(1x1+1x2+1x3)=0x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 4\left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}\right) = 0, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f(−1)=(−1)3−4(−1)2+m(−1)+4=−m−1f(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + m(-1) + 4 = -m - 1.
2
3 puncte
f(1)=1−4+m+4=m+1f(1) = 1 - 4 + m + 4 = m + 1, deci f(−1)+f(1)=−m−1+m+1=0f(-1) + f(1) = -m - 1 + m + 1 = 0, pentru orice număr real mm.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) m=−1⇒f(−1)=f(1)=0m = -1 \Rightarrow f(-1) = f(1) = 0.
4
2 puncte
X−1X - 1 divide ff și X+1X + 1 divide ff, deci polinomul ff se divide cu X2−1X^2 - 1.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Din relațiile lui Viète: x1+x2+x3=4x_1 + x_2 + x_3 = 4, x1x2+x2x3+x3x1=mx_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = m, x1x2x3=−4x_1x_2x_3 = -4, deci x12+x22+x32=16−2mx_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 16 - 2m.
6
2 puncte
Cum 1x1+1x2+1x3=m−4\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{m}{-4}, ecuația devine 16−2m−4m−4=16−m=016 - 2m - \frac{4m}{-4} = 16 - m = 0, deci m=16m = 16.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(1,+∞)→Rf : (1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2−x+1x−1f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}. a) Arătați că f′(x)=x(x−2)(x−1)2f'(x) = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}, x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=2x = 2, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că f(e)<72f(e) < \frac{7}{2}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=(2x−1)(x−1)−(x2−x+1)(x−1)2f'(x) = \frac{(2x - 1)(x - 1) - (x^2 - x + 1)}{(x - 1)^2}.
2
2 puncte
=x2−2x(x−1)2=x(x−2)(x−1)2= \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}, x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty).
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(2)=3f(2) = 3, f′(2)=0f'(2) = 0.
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(2)=f′(2)(x−2)y - f(2) = f'(2)(x - 2), adică y=3y = 3.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)>0f'(x) > 0 pentru orice x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty), deci ff este strict crescătoare pe (2,+∞)(2, +\infty).
6
3 puncte
Cum 2<e<32 < e < 3 și f(3)=72f(3) = \frac{7}{2}, se obține f(e)<72f(e) < \frac{7}{2}.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=exx2f(x) = \frac{e^x}{x^2}. a) Arătați că ∫12x2f(x) dx=e(e−1)\displaystyle\int_1^2 x^2 f(x)\,dx = e(e - 1). b) Demonstrați că orice primitivă a funcției ff este convexă pe intervalul [2,+∞)[2, +\infty). c) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=1x = 1 și x=2x = 2 are aria mai mică sau egală cu e(e−1)e(e - 1).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫12x2f(x) dx=∫12ex dx=ex∣12\displaystyle\int_1^2 x^2 f(x)\,dx = \int_1^2 e^x\,dx = e^x\bigg|_1^2.
2
2 puncte
=e2−e=e(e−1)= e^2 - e = e(e - 1).
b)5 puncte
3
2 puncte
b) FF este o primitivă a funcției ff, deci F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
4
3 puncte
F′′(x)=f′(x)=ex(x−2)x3≥0F''(x) = f'(x) = \frac{e^x(x - 2)}{x^3} \geq 0 pentru orice x∈[2,+∞)x \in [2, +\infty), deci FF este convexă pe [2,+∞)[2, +\infty).
c)5 puncte
5
2 puncte
c) A=∫12∣f(x)∣ dx=∫12exx2 dx\mathcal{A} = \displaystyle\int_1^2 |f(x)|\,dx = \int_1^2 \frac{e^x}{x^2}\,dx.
6
3 puncte
Cum x≥1⇒x2≥1⇒1x2≤1x \geq 1 \Rightarrow x^2 \geq 1 \Rightarrow \frac{1}{x^2} \leq 1, se obține exx2≤ex\frac{e^x}{x^2} \leq e^x, deci A≤∫12ex dx=e(e−1)\mathcal{A} \leq \displaystyle\int_1^2 e^x\,dx = e(e - 1).

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2016 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Toamnă 2016 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac