BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2016 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 1−12:0,5=01 - \frac{1}{2} : 0{,}5 = 0.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează 12:0,5=1\frac{1}{2} : 0{,}5 = 1.
2
2 puncte
1−1=01 - 1 = 0.
Exercițiul 2
Arătați că 2(x1+x2)−x1x2=12(x_1 + x_2) - x_1 x_2 = 1, unde x1x_1 și x2x_2 sunt soluțiile ecuației x2−8x+15=0x^2 - 8x + 15 = 0.

Rezolvare

1
2 puncte
Din relațiile lui Viète: x1+x2=8x_1 + x_2 = 8, x1x2=15x_1 x_2 = 15.
2
3 puncte
2(x1+x2)−x1x2=2⋅8−15=12(x_1 + x_2) - x_1 x_2 = 2 \cdot 8 - 15 = 1.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x+1=6\sqrt{5x + 1} = 6.

Rezolvare

1
3 puncte
Se ridică la pătrat: 5x+1=365x + 1 = 36.
2
2 puncte
x=7x = 7, care verifică ecuația.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={1,2,3,4,5,6,7,8}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}, acesta să fie divizibil cu 22.

Rezolvare

1
1 punct
Mulțimea AA are 88 elemente, deci sunt 88 cazuri posibile.
2
2 puncte
Numerele divizibile cu 22 din AA sunt 22, 44, 66 și 88, deci sunt 44 cazuri favorabile.
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=48=12p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(6,0)A(6, 0) și B(0,8)B(0, 8). Calculați lungimea segmentului ABAB.

Rezolvare

1
3 puncte
AB=(0−6)2+(8−0)2AB = \sqrt{(0 - 6)^2 + (8 - 0)^2}.
2
2 puncte
=10= 10.
Exercițiul 6
Calculați lungimea laturii ABAB a triunghiului ABCABC, dreptunghic în AA, știind că BC=32BC = 3\sqrt{2} și m(∢B)=45°m(\sphericalangle B) = 45°.

Rezolvare

1
3 puncte
cos⁡B=ABBC\cos B = \frac{AB}{BC}, deci 22=AB32\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{AB}{3\sqrt{2}}.
2
2 puncte
AB=3AB = 3.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(10−21)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} și I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. a) Arătați că det⁡A=1\det A = 1. b) Arătați că A⋅A+I2=2AA \cdot A + I_2 = 2A. c) Determinați numerele reale aa, bb și cc, pentru care A⋅(a−2bc+11)=I2A \cdot \begin{pmatrix} a - 2 & b \\ c + 1 & 1 \end{pmatrix} = I_2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡A=1⋅1−0⋅(−2)\det A = 1 \cdot 1 - 0 \cdot (-2).
2
2 puncte
=1= 1.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A⋅A=(10−41)A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}, deci A⋅A+I2=(10−41)+(1001)=(20−42)A \cdot A + I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -4 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}.
4
2 puncte
=2(10−21)=2A= 2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = 2A.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) (10−21)⋅(a−2bc+11)=(a−2b−2(a−2)+c+1−2b+1)=(1001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a-2 & b \\ c+1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-2 & b \\ -2(a-2)+c+1 & -2b+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
6
3 puncte
a=3a = 3, b=0b = 0, c=1c = 1.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+3x+3y+6x \circ y = xy + 3x + 3y + 6. a) Arătați că 1∘(−3)=−31 \circ (-3) = -3. b) Demonstrați că x∘y=(x+3)(y+3)−3x \circ y = (x + 3)(y + 3) - 3, pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați valorile reale ale lui xx, pentru care x∘x≤xx \circ x \leq x.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 1∘(−3)=1⋅(−3)+3⋅1+3⋅(−3)+61 \circ (-3) = 1 \cdot (-3) + 3 \cdot 1 + 3 \cdot (-3) + 6.
2
2 puncte
=−3+3−9+6=−3= -3 + 3 - 9 + 6 = -3.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∘y=xy+3x+3y+9−3=x(y+3)+3(y+3)−3x \circ y = xy + 3x + 3y + 9 - 3 = x(y + 3) + 3(y + 3) - 3.
4
3 puncte
=(x+3)(y+3)−3= (x + 3)(y + 3) - 3, pentru orice numere reale xx și yy.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) (x+3)(x+3)−3≤x⇔(x+3)(x+2)≤0(x + 3)(x + 3) - 3 \leq x \Leftrightarrow (x + 3)(x + 2) \leq 0.
6
2 puncte
x∈[−3,−2]x \in [-3, -2].

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x3−3x2+7f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 7. a) Arătați că f′(x)=6x(x−1)f'(x) = 6x(x - 1), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Arătați că lim⁡x→2f(x)−11x−2=12\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 11}{x - 2} = 12. c) Demonstrați că f(x)≥6f(x) \geq 6, pentru orice x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=6x2−6xf'(x) = 6x^2 - 6x.
2
3 puncte
=6x(x−1)= 6x(x - 1), x∈Rx \in \mathbb{R}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→2f(x)−11x−2=lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=f′(2)\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 11}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = f'(2).
4
2 puncte
=6⋅2⋅1=12= 6 \cdot 2 \cdot 1 = 12.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)=0⇔x=0f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 sau x=1x = 1.
6
3 puncte
x∈[0,1]⇒f′(x)≤0x \in [0, 1] \Rightarrow f'(x) \leq 0, deci ff descrescătoare pe [0,1][0, 1]; x∈[1,+∞)⇒f′(x)≥0x \in [1, +\infty) \Rightarrow f'(x) \geq 0, deci ff crescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty). Cum f(1)=6f(1) = 6, se obține f(x)≥6f(x) \geq 6 pentru orice x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty).
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+3xf(x) = x^2 + 3x. a) Arătați că ∫−11(f(x)−3x) dx=23\displaystyle\int_{-1}^1 (f(x) - 3x)\,dx = \frac{2}{3}. b) Arătați că ∫01(f(x)−x2)ex dx=3\displaystyle\int_0^1 (f(x) - x^2) e^x\,dx = 3. c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[1,2]→Rg : [1, 2] \to \mathbb{R}, g(x)=3f(x)xg(x) = \frac{3f(x)}{x}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) ∫−11(f(x)−3x) dx=∫−11x2 dx\displaystyle\int_{-1}^1 (f(x) - 3x)\,dx = \int_{-1}^1 x^2\,dx.
2
3 puncte
=x33∣−11=23= \frac{x^3}{3}\bigg|_{-1}^1 = \frac{2}{3}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫01(f(x)−x2)ex dx=∫013xex dx=3(xex∣01−∫01ex dx)\displaystyle\int_0^1 (f(x) - x^2) e^x\,dx = \int_0^1 3x e^x\,dx = 3\left(xe^x\bigg|_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx\right).
4
2 puncte
=3(x−1)ex∣01=3= 3(x - 1)e^x\bigg|_0^1 = 3.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) g(x)=3(x+3)g(x) = 3(x + 3), deci V=π∫12g2(x) dx=π∫129(x+3)2 dx=9π⋅(x+3)33∣12V = \pi\displaystyle\int_1^2 g^2(x)\,dx = \pi\int_1^2 9(x + 3)^2\,dx = 9\pi \cdot \frac{(x + 3)^3}{3}\bigg|_1^2.
6
2 puncte
=183π= 183\pi.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2016 — Științele Naturii

Următor →

Bac Toamnă Rezervă 2016 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac