BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2017 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră numerele complexe z1=2+3iz_1 = 2 + 3i și z2=1+2iz_2 = 1 + 2i. Arătați că 2z1−3z2=12z_1 - 3z_2 = 1.

Rezolvare

1
2 puncte
2z1−3z2=2(2+3i)−3(1+2i)=2z_1 - 3z_2 = 2(2 + 3i) - 3(1 + 2i) =
2
3 puncte
=4+6i−3−6i=1= 4 + 6i - 3 - 6i = 1
Exercițiul 2
Se consideră x1x_1 și x2x_2 soluțiile ecuației x2−3mx+2=0x^2 - 3mx + 2 = 0, unde mm este număr real. Determinați numărul real mm, știind că x1+x2+x1x2+1=0x_1 + x_2 + x_1 x_2 + 1 = 0.

Rezolvare

1
3 puncte
x1+x2=3mx_1 + x_2 = 3m, x1x2=2⇒x1+x2+x1x2+1=3m+3x_1 x_2 = 2 \Rightarrow x_1 + x_2 + x_1 x_2 + 1 = 3m + 3
2
2 puncte
3m+3=0⇔m=−13m + 3 = 0 \Leftrightarrow m = -1
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡4(x+3)+log⁡4(x−3)=2\log_4(x + 3) + \log_4(x - 3) = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
log⁡4((x+3)(x−3))=2⇒x2−9=42⇒x2−25=0\log_4((x + 3)(x - 3)) = 2 \Rightarrow x^2 - 9 = 4^2 \Rightarrow x^2 - 25 = 0
2
2 puncte
x=−5x = -5, care nu convine, x=5x = 5, care convine
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 66.

Rezolvare

1
2 puncte
Sunt 9090 de numere naturale de două cifre, deci sunt 9090 de cazuri posibile
2
2 puncte
Numerele naturale de două cifre care au produsul cifrelor egal cu 66 sunt 1616, 2323, 3232 și 6161, deci sunt 44 cazuri favorabile
3
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=490=245p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{4}{90} = \dfrac{2}{45}
Exercițiul 5
Determinați numărul real aa, pentru care vectorii u⃗=ai⃗+2j⃗\vec{u} = a\vec{i} + 2\vec{j} și v⃗=3i⃗−3j⃗\vec{v} = 3\vec{i} - 3\vec{j} sunt coliniari.

Rezolvare

1
3 puncte
a3=2−3\dfrac{a}{3} = \dfrac{2}{-3}
2
2 puncte
a=−2a = -2
Exercițiul 6
Arătați că (sin⁡x−cos⁡x)2+sin⁡2x=1(\sin x - \cos x)^2 + \sin 2x = 1, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
3 puncte
(sin⁡x−cos⁡x)2+sin⁡2x=sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=(\sin x - \cos x)^2 + \sin 2x = \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x =
2
2 puncte
=sin⁡2x+cos⁡2x=1= \sin^2 x + \cos^2 x = 1, pentru orice număr real xx

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(x11x+1111x1)A(x) = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ x+1 & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=−1\det(A(0)) = -1. b) Determinați numerele reale xx pentru care det⁡(A(x))⋅det⁡(A(x+1))=12\det(A(x)) \cdot \det(A(x+1)) = 12. c) Determinați matricea X∈M3(R)X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) pentru care A(2)⋅X=A(0)A(2) \cdot X = A(0).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(0)=(011111101)⇒det⁡(A(0))=∣011111101∣=A(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=0+0+1−1−0−1=−1= 0 + 0 + 1 - 1 - 0 - 1 = -1
b)5 puncte
3
3 puncte
b) det⁡(A(x))=∣x11x+1111x1∣=x−1\det(A(x)) = \begin{vmatrix} x & 1 & 1 \\ x+1 & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \end{vmatrix} = x - 1, det⁡(A(x+1))=x⇒(x−1)⋅x=12\det(A(x+1)) = x \Rightarrow (x-1) \cdot x = 12
4
2 puncte
x=−3x = -3 sau x=4x = 4
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(2)=(211311121)A(2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, det⁡(A(2))=1≠0\det(A(2)) = 1 \neq 0, (A(2))−1=(−110−2115−3−1)(A(2))^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \\ 5 & -3 & -1 \end{pmatrix}
6
2 puncte
X=(A(2))−1⋅A(0)⇒X=(1002−10−421)X = (A(2))^{-1} \cdot A(0) \Rightarrow X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -4 & 2 & 1 \end{pmatrix}
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−(m+2)X2+(m2+2)X−1f = X^3 - (m+2)X^2 + (m^2+2)X - 1, unde mm este număr real. a) Arătați că f(0)=−1f(0) = -1, pentru orice număr real mm. b) Demonstrați că (x1−x2)2+(x2−x3)2+(x3−x1)2=−4(m−1)2(x_1 - x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2 + (x_3 - x_1)^2 = -4(m-1)^2, pentru orice număr real mm, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff. c) Determinați numărul real mm pentru care toate rădăcinile polinomului ff sunt numere reale.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f(0)=03−(m+2)⋅02+(m2+2)⋅0−1=f(0) = 0^3 - (m+2) \cdot 0^2 + (m^2+2) \cdot 0 - 1 =
2
3 puncte
=0−0+0−1=−1= 0 - 0 + 0 - 1 = -1, pentru orice număr real mm
b)5 puncte
3
3 puncte
b) x1+x2+x3=m+2x_1 + x_2 + x_3 = m + 2, x1x2+x1x3+x2x3=m2+2⇒x12+x22+x32=−m2+4mx_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = m^2 + 2 \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = -m^2 + 4m
4
2 puncte
(x1−x2)2+(x2−x3)2+(x3−x1)2=2(x12+x22+x32)−2(x1x2+x1x3+x2x3)=2(−m2+4m−m2−2)=−4(m−1)2(x_1 - x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2 + (x_3 - x_1)^2 = 2(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) - 2(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) = 2(-m^2 + 4m - m^2 - 2) = -4(m-1)^2, pentru orice număr real mm
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x1,x2,x3∈R⇒(x1−x2)2+(x2−x3)2+(x3−x1)2≥0x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{R} \Rightarrow (x_1 - x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2 + (x_3 - x_1)^2 \geq 0, deci (m−1)2≤0(m-1)^2 \leq 0
6
3 puncte
m=1m = 1, caz în care toate rădăcinile polinomului ff sunt numere reale

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2ex−x2−2x−2f(x) = 2e^x - x^2 - 2x - 2. a) Arătați că f′(x)=2(ex−x−1)f'(x) = 2(e^x - x - 1), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff, în punctul de abscisă x=0x = 0, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că funcția ff este crescătoare pe R\mathbb{R}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(2ex)′−(x2)′−(2x)′−(2)′=f'(x) = (2e^x)' - (x^2)' - (2x)' - (2)' =
2
3 puncte
=2ex−2x−2=2(ex−x−1)= 2e^x - 2x - 2 = 2(e^x - x - 1), x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(0)=0f(0) = 0, f′(0)=0f'(0) = 0
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0)y - f(0) = f'(0)(x - 0), adică y=0y = 0
c)5 puncte
5
1 punct
c) f′′(x)=2(ex−1)f''(x) = 2(e^x - 1), x∈Rx \in \mathbb{R}
6
1 punct
x∈(−∞,0]⇒f′′(x)≤0x \in (-\infty, 0] \Rightarrow f''(x) \leq 0, deci f′f' este descrescătoare pe (−∞,0](-\infty, 0]
7
1 punct
x∈[0,+∞)⇒f′′(x)≥0x \in [0, +\infty) \Rightarrow f''(x) \geq 0, deci f′f' este crescătoare pe [0,+∞)[0, +\infty)
8
2 puncte
f′(x)≥f′(0)f'(x) \geq f'(0) și f′(0)=0f'(0) = 0 implică f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru orice număr real xx, deci funcția ff este crescătoare pe R\mathbb{R}
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(x+2)nf(x) = (x + 2)^n, unde nn este număr natural nenul. a) Arătați că ∫−21(x+2)2 dx=9\displaystyle\int_{-2}^{1} (x + 2)^2 \, dx = 9. b) Pentru n=1n = 1, arătați că ∫01f(x)ex dx=2e−1\displaystyle\int_0^1 f(x) e^x \, dx = 2e - 1. c) Determinați numărul natural nenul nn pentru care suprafața plană delimitată de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=−1x = -1 și x=1x = 1 are aria egală cu 242n+1\dfrac{242}{n+1}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫−21(x+2)2 dx=(x+2)33∣−21=\displaystyle\int_{-2}^{1} (x + 2)^2 \, dx = \left.\dfrac{(x + 2)^3}{3}\right|_{-2}^{1} =
2
2 puncte
=333−0=9= \dfrac{3^3}{3} - 0 = 9
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫01(x+2)ex dx=(x+2)ex∣01−ex∣01=\displaystyle\int_0^1 (x + 2) e^x \, dx = \left.(x + 2)e^x\right|_0^1 - \left.e^x\right|_0^1 =
4
2 puncte
=3e−2−e+1=2e−1= 3e - 2 - e + 1 = 2e - 1
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A=∫−11∣f(x)∣ dx=∫−11(x+2)n dx=(x+2)n+1n+1∣−11=3n+1−1n+1\mathcal{A} = \displaystyle\int_{-1}^{1} |f(x)| \, dx = \int_{-1}^{1} (x + 2)^n \, dx = \left.\dfrac{(x + 2)^{n+1}}{n+1}\right|_{-1}^{1} = \dfrac{3^{n+1} - 1}{n+1}
6
2 puncte
3n+1−1n+1=242n+1⇔3n+1=243⇔3n+1=35⇔n=4\dfrac{3^{n+1} - 1}{n+1} = \dfrac{242}{n+1} \Leftrightarrow 3^{n+1} = 243 \Leftrightarrow 3^{n+1} = 3^5 \Leftrightarrow n = 4

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară Rezervă 2017 — Tehnologic

Următor →

Bac Toamnă 2017 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac