BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2017 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (4−14)⋅815=2\left(4 - \dfrac{1}{4}\right) \cdot \dfrac{8}{15} = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
4−14=1544 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{15}{4}
2
2 puncte
154⋅815=2\dfrac{15}{4} \cdot \dfrac{8}{15} = 2
Exercițiul 2
Determinați numărul real mm, știind că punctul A(1,5)A(1, 5) aparține graficului funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+mf(x) = x^2 + m.

Rezolvare

1
3 puncte
f(1)=5⇔1+m=5f(1) = 5 \Leftrightarrow 1 + m = 5
2
2 puncte
m=4m = 4
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+x+1=1\sqrt{x^2 + x + 1} = 1.

Rezolvare

1
2 puncte
x2+x+1=1⇔x2+x=0x^2 + x + 1 = 1 \Leftrightarrow x^2 + x = 0
2
3 puncte
x=−1x = -1 sau x=0x = 0, care convin
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}, acesta să verifice egalitatea (n−2)(n−4)=0(n - 2)(n - 4) = 0.

Rezolvare

1
1 punct
Mulțimea AA are 99 elemente, deci sunt 99 cazuri posibile
2
2 puncte
Numerele din mulțimea AA care verifică egalitatea dată sunt 22 și 44, deci sunt 22 cazuri favorabile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=29p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{2}{9}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele M(0,3)M(0, 3), N(4,3)N(4, 3) și P(4,0)P(4, 0). Calculați perimetrul triunghiului MNPMNP.

Rezolvare

1
3 puncte
MN=4MN = 4, NP=3NP = 3, MP=5MP = 5
2
2 puncte
P△MNP=4+3+5=12\mathcal{P}_{\triangle MNP} = 4 + 3 + 5 = 12
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡2120°−cos⁡230°=0\sin^2 120° - \cos^2 30° = 0.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡120°=32\sin 120° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡30°=32\cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
2
3 puncte
sin⁡2120°−cos⁡230°=(32)2−(32)2=0\sin^2 120° - \cos^2 30° = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 0

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(133−4)A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} și B=(2222)B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}. a) Arătați că det⁡A=−13\det A = -13. b) Arătați că A⋅B−B⋅A=(010−100)A \cdot B - B \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 10 \\ -10 & 0 \end{pmatrix}. c) Determinați numerele reale xx pentru care det⁡(B⋅B−xI2)=0\det(B \cdot B - xI_2) = 0, unde I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡A=∣133−4∣=1⋅(−4)−3⋅3=\det A = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-4) - 3 \cdot 3 =
2
2 puncte
=−4−9=−13= -4 - 9 = -13
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A⋅B=(88−2−2)A \cdot B = \begin{pmatrix} 8 & 8 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}
4
3 puncte
B⋅A=(8−28−2)⇒A⋅B−B⋅A=(010−100)B \cdot A = \begin{pmatrix} 8 & -2 \\ 8 & -2 \end{pmatrix} \Rightarrow A \cdot B - B \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 10 \\ -10 & 0 \end{pmatrix}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) B⋅B=(8888)B \cdot B = \begin{pmatrix} 8 & 8 \\ 8 & 8 \end{pmatrix}, B⋅B−xI2=(8−x888−x)⇒det⁡(B⋅B−xI2)=∣8−x888−x∣=x2−16xB \cdot B - xI_2 = \begin{pmatrix} 8 - x & 8 \\ 8 & 8 - x \end{pmatrix} \Rightarrow \det(B \cdot B - xI_2) = \begin{vmatrix} 8 - x & 8 \\ 8 & 8 - x \end{vmatrix} = x^2 - 16x
6
2 puncte
x2−16x=0⇔x=0x^2 - 16x = 0 \Leftrightarrow x = 0 sau x=16x = 16
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3+3X2−X−3f = X^3 + 3X^2 - X - 3. a) Arătați că f(1)=0f(1) = 0. b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului ff la polinomul X−2X - 2. c) Demonstrați că x12+x22+x32=11x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 11, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f(1)=13+3⋅12−1−3=f(1) = 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 1 - 3 =
2
2 puncte
=1+3−1−3=0= 1 + 3 - 1 - 3 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Câtul este X2+5X+9X^2 + 5X + 9
4
2 puncte
Restul este 1515
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x1+x2+x3=−3x_1 + x_2 + x_3 = -3, x1x2+x2x3+x3x1=−1x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = -1
6
3 puncte
x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x2x3+x3x1)=9−2⋅(−1)=11x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1) = 9 - 2 \cdot (-1) = 11

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x3−6x+4f(x) = 2x^3 - 6x + 4. a) Arătați că f′(x)=6(x−1)(x+1)f'(x) = 6(x - 1)(x + 1), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Arătați că lim⁡x→1f(x)x−1=0\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 0. c) Demonstrați că 0≤f(x)≤80 \leq f(x) \leq 8, pentru orice x∈[−1,1]x \in [-1, 1].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=6x2−6=f'(x) = 6x^2 - 6 =
2
2 puncte
=6(x2−1)=6(x−1)(x+1)= 6(x^2 - 1) = 6(x - 1)(x + 1), x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→1f(x)x−1=lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1=\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1} =
4
3 puncte
=f′(1)=0= f'(1) = 0
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x∈[−1,1]⇒f′(x)≤0x \in [-1, 1] \Rightarrow f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe [−1,1][-1, 1]
6
3 puncte
Cum f(−1)=8f(-1) = 8 și f(1)=0f(1) = 0, obținem 0≤f(x)≤80 \leq f(x) \leq 8, pentru orice x∈[−1,1]x \in [-1, 1]
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+5xf(x) = x^2 + 5x. a) Arătați că ∫01(f(x)−5x)dx=13\displaystyle\int_0^1 \left(f(x) - 5x\right) dx = \dfrac{1}{3}. b) Arătați că funcția F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, F(x)=13x3+52x2+2017F(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{5}{2}x^2 + 2017 este o primitivă a funcției ff. c) Demonstrați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[1,2]→Rg : [1, 2] \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)xg(x) = \dfrac{f(x)}{x} este egal cu 127π3\dfrac{127\pi}{3}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) ∫01(f(x)−5x)dx=∫01(x2+5x−5x) dx=∫01x2 dx=\displaystyle\int_0^1 \left(f(x) - 5x\right) dx = \int_0^1 (x^2 + 5x - 5x) \, dx = \int_0^1 x^2 \, dx =
2
3 puncte
=x33∣01=13−0=13= \left.\dfrac{x^3}{3}\right|_0^1 = \dfrac{1}{3} - 0 = \dfrac{1}{3}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) F′(x)=(13x3+52x2+2017)′=13⋅3x2+52⋅2x=F'(x) = \left(\dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{5}{2}x^2 + 2017\right)' = \dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 + \dfrac{5}{2} \cdot 2x =
4
2 puncte
=x2+5x=f(x)= x^2 + 5x = f(x), x∈Rx \in \mathbb{R}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) g(x)=x+5⇒V=π∫12g2(x) dx=π∫12(x2+10x+25) dx=g(x) = x + 5 \Rightarrow V = \pi \displaystyle\int_1^2 g^2(x) \, dx = \pi \int_1^2 (x^2 + 10x + 25) \, dx =
6
2 puncte
=π(x33+5x2+25x)∣12=127π3= \pi \left.\left(\dfrac{x^3}{3} + 5x^2 + 25x\right)\right|_1^2 = \dfrac{127\pi}{3}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2017 — Științele Naturii

Următor →

Bac Toamnă Rezervă 2017 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac