BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2019 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că suma elementelor mulțimii A={n∈N∣n−1≤4}A = \{n \in \mathbb{N} \mid n - 1 \leq 4\} este egală cu 1515.

Rezolvare

1
3 puncte
n≤5⇒A={0,1,2,3,4,5}n \leq 5 \Rightarrow A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}
2
2 puncte
Suma elementelor mulțimii AA este 0+1+2+3+4+5=150 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−2x+mf(x) = x^2 - 2x + m, unde mm este număr real. Determinați numărul real mm, știind că vârful parabolei asociate funcției ff are ordonata egală cu 22.

Rezolvare

1
2 puncte
Δ=4−4m\Delta = 4 - 4m
2
3 puncte
4m−44=2\dfrac{4m - 4}{4} = 2, de unde obținem m=3m = 3
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x+3=9−x3\sqrt{x + 3} = \sqrt[3]{9 - x}.

Rezolvare

1
3 puncte
x+3=9−x⇒2x=6x + 3 = 9 - x \Rightarrow 2x = 6
2
2 puncte
x=3x = 3, care convine
Exercițiul 4
Determinați numărul submulțimilor cu cel puțin 88 elemente ale unei mulțimi cu exact 1010 elemente.

Rezolvare

1
3 puncte
O mulțime cu 1010 elemente are C108+C109+C1010C_{10}^{8} + C_{10}^{9} + C_{10}^{10} submulțimi cu cel puțin 88 elemente
2
2 puncte
C108+C109+C1010=45+10+1=56C_{10}^{8} + C_{10}^{9} + C_{10}^{10} = 45 + 10 + 1 = 56
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(5,1)A(5, 1), B(−1,3)B(-1, 3) și C(8,10)C(8, 10). Determinați lungimea segmentului CDCD, unde punctul DD este mijlocul segmentului ABAB.

Rezolvare

1
2 puncte
D(2,2)D(2, 2)
2
3 puncte
CD=(8−2)2+(10−2)2=36+64=10CD = \sqrt{(8 - 2)^2 + (10 - 2)^2} = \sqrt{36 + 64} = 10
Exercițiul 6
Arătați că 1+cos⁡π+cos⁡2π+cos⁡3π+…+cos⁡2019π=01 + \cos\pi + \cos 2\pi + \cos 3\pi + \ldots + \cos 2019\pi = 0.

Rezolvare

1
2 puncte
cos⁡2kπ=1\cos 2k\pi = 1 și cos⁡(2k+1)π=−1\cos(2k + 1)\pi = -1, unde k∈Zk \in \mathbb{Z}
2
3 puncte
1+cos⁡π+cos⁡2π+cos⁡3π+…+cos⁡2019π=1+(−1)+1+(−1)+…+1+(−1)=01 + \cos\pi + \cos 2\pi + \cos 3\pi + \ldots + \cos 2019\pi = 1 + (-1) + 1 + (-1) + \ldots + 1 + (-1) = 0

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I3=(100010001)I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} și A(a)=(a+1001a100a+1)A(a) = \begin{pmatrix} a + 1 & 0 & 0 \\ 1 & a & 1 \\ 0 & 0 & a + 1 \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(1))=4\det(A(1)) = 4. b) Demonstrați că A(a)⋅A(b)=ab⋅I3+(a+b+1)⋅A(0)A(a) \cdot A(b) = ab \cdot I_3 + (a + b + 1) \cdot A(0), pentru orice numere reale aa și bb. c) Determinați numărul natural nn pentru care A(0)⋅A(1)⋅A(2)⋯A(2019)=n!⋅A(0)A(0) \cdot A(1) \cdot A(2) \cdots A(2019) = n! \cdot A(0).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(1)=(200111002)⇒det⁡(A(1))=∣200111002∣=A(1) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=4+0+0−0−0−0=4= 4 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 4
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(a)⋅A(b)=(ab+a+b+100a+b+1aba+b+100ab+a+b+1)=ab⋅I3+(a+b+1)⋅A(0)A(a) \cdot A(b) = \begin{pmatrix} ab + a + b + 1 & 0 & 0 \\ a + b + 1 & ab & a + b + 1 \\ 0 & 0 & ab + a + b + 1 \end{pmatrix} = ab \cdot I_3 + (a + b + 1) \cdot A(0), pentru orice numere reale aa și bb
4
2 puncte
=ab(100010001)+(a+b+1)(100101001)=ab⋅I3+(a+b+1)⋅A(0)= ab \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + (a + b + 1) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = ab \cdot I_3 + (a + b + 1) \cdot A(0)
c)5 puncte
5
2 puncte
c) A(0)⋅A(a)=(a+1)⋅A(0)A(0) \cdot A(a) = (a + 1) \cdot A(0), pentru orice număr real aa
6
3 puncte
A(0)⋅A(1)⋅A(2)⋯A(2019)=2⋅3⋅4⋯2020⋅A(0)A(0) \cdot A(1) \cdot A(2) \cdots A(2019) = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots 2020 \cdot A(0), de unde obținem n=2020n = 2020
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−mX2+2X+3−mf = X^3 - mX^2 + 2X + 3 - m, unde mm este număr real. a) Determinați numărul real mm, știind că f(1)=0f(1) = 0. b) Pentru m=3m = 3, determinați rădăcinile polinomului ff. c) Determinați numărul real mm pentru care x13+x23+x33=(x1+x2+x3)3−12x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = (x_1 + x_2 + x_3)^3 - 12, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f(1)=6−2mf(1) = 6 - 2m
2
2 puncte
6−2m=0⇒m=36 - 2m = 0 \Rightarrow m = 3
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f=X3−3X2+2X=X(X2−3X+2)f = X^3 - 3X^2 + 2X = X(X^2 - 3X + 2)
4
3 puncte
Rădăcinile sunt x1=0x_1 = 0, x2=1x_2 = 1, x3=2x_3 = 2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) x1+x2+x3=mx_1 + x_2 + x_3 = m, x1x2+x1x3+x2x3=2x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = 2, deci x13+x23+x33=m3−3m⋅2+3(m−3)=m3−3m−9x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = m^3 - 3m \cdot 2 + 3(m - 3) = m^3 - 3m - 9
6
2 puncte
m3−3m−9=m3−12m^3 - 3m - 9 = m^3 - 12, de unde obținem m=1m = 1

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=1−2x+1−ln⁡xx+1f(x) = 1 - \dfrac{2}{x + 1} - \ln\dfrac{x}{x + 1}. a) Arătați că f′(x)=x−1x(x+1)2f'(x) = \dfrac{x - 1}{x(x + 1)^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Se consideră funcțiile g:(0,+∞)→Rg : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, g(x)=x−1x+1g(x) = \dfrac{x - 1}{x + 1} și h:(0,+∞)→Rh : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, h(x)=ln⁡xx+1h(x) = \ln\dfrac{x}{x + 1}. Demonstrați că graficele funcțiilor gg și hh nu au niciun punct comun.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=−2⋅(−1(x+1)2)−x+1x⋅x+1−x(x+1)2=f'(x) = -2 \cdot \left(-\dfrac{1}{(x + 1)^2}\right) - \dfrac{x + 1}{x} \cdot \dfrac{x + 1 - x}{(x + 1)^2} =
2
3 puncte
=2(x+1)2−1x(x+1)=2x−(x+1)x(x+1)2=x−1x(x+1)2= \dfrac{2}{(x + 1)^2} - \dfrac{1}{x(x + 1)} = \dfrac{2x - (x + 1)}{x(x + 1)^2} = \dfrac{x - 1}{x(x + 1)^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞(1−2x+1−ln⁡xx+1)=1−0−0=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \dfrac{2}{x + 1} - \ln\dfrac{x}{x + 1}\right) = 1 - 0 - 0 = 1
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=1y = 1 este asimptotă orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈(0,1]x \in (0, 1], deci ff este descrescătoare pe (0,1](0, 1] și f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty), deci ff este crescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty), deci f(x)≥f(1)f(x) \geq f(1), pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
6
2 puncte
f(1)=ln⁡2>0f(1) = \ln 2 > 0, deci f(x)>0f(x) > 0, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty) și, cum g(x)=h(x)⇔f(x)=0g(x) = h(x) \Leftrightarrow f(x) = 0, ecuația g(x)=h(x)g(x) = h(x) nu are soluție în (0,+∞)(0, +\infty), deci graficele funcțiilor gg și hh nu au niciun punct comun
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+4f(x) = \sqrt{x^2 + 4}. a) Arătați că ∫01f2(x) dx=133\displaystyle\int_0^1 f^2(x) \, dx = \dfrac{13}{3}. b) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=x⋅f(x)g(x) = x \cdot f(x), axa OxOx și dreptele de ecuații x=−1x = -1 și x=1x = 1, are aria egală cu 105−163\dfrac{10\sqrt{5} - 16}{3}. c) Calculați lim⁡x→01x4∫0xt3f(t) dt\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^4} \int_0^x t^3 f(t) \, dt.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫01f2(x) dx=∫01(x2+4) dx=(x33+4x)∣01=\displaystyle\int_0^1 f^2(x) \, dx = \int_0^1 (x^2 + 4) \, dx = \left.\left(\dfrac{x^3}{3} + 4x\right)\right|_0^1 =
2
2 puncte
=13+4−0=133= \dfrac{1}{3} + 4 - 0 = \dfrac{13}{3}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) g(x)=xx2+4⇒A=∫−11∣g(x)∣ dx=−∫−10xx2+4 dx+∫01xx2+4 dx=g(x) = x\sqrt{x^2 + 4} \Rightarrow \mathcal{A} = \displaystyle\int_{-1}^{1} |g(x)| \, dx = -\int_{-1}^{0} x\sqrt{x^2 + 4} \, dx + \int_0^1 x\sqrt{x^2 + 4} \, dx =
4
3 puncte
=−13(x2+4)3/2∣−10+13(x2+4)3/2∣01=−13(8−55)+13(55−8)=105−163= -\dfrac{1}{3}(x^2 + 4)^{3/2}\Big|_{-1}^{0} + \dfrac{1}{3}(x^2 + 4)^{3/2}\Big|_0^1 = -\dfrac{1}{3}(8 - 5\sqrt{5}) + \dfrac{1}{3}(5\sqrt{5} - 8) = \dfrac{10\sqrt{5} - 16}{3}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Din teorema lui l'Hôpital, lim⁡x→01x4∫0xt3f(t) dt=lim⁡x→0x3f(x)4x3=\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^4} \int_0^x t^3 f(t) \, dt = \lim_{x \to 0} \dfrac{x^3 f(x)}{4x^3} =
6
2 puncte
=lim⁡x→0x2+44=12= \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x^2 + 4}}{4} = \dfrac{1}{2}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară Rezervă 2019 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Toamnă 2019 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac