BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2019 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, dacă a1=2a_1 = 2 și rația r=2r = 2.

Rezolvare

1
2 puncte
a2=4a_2 = 4, a3=6a_3 = 6
2
3 puncte
a1+a2+a3=2+4+6=12a_1 + a_2 + a_3 = 2 + 4 + 6 = 12
Exercițiul 2
Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−10x+9f(x) = x^2 - 10x + 9 cu axa OxOx.

Rezolvare

1
3 puncte
f(x)=0⇔x2−10x+9=0f(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 - 10x + 9 = 0
2
2 puncte
Abscisele sunt x=1x = 1 și x=9x = 9
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x+1−3⋅5x=25^{x+1} - 3 \cdot 5^x = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
5x(5−3)=2⇔5x⋅2=2⇔5x=15^x(5 - 3) = 2 \Leftrightarrow 5^x \cdot 2 = 2 \Leftrightarrow 5^x = 1
2
2 puncte
x=0x = 0
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr xx din mulțimea A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}, acesta să fie soluție a ecuației x2−4x+4=0x^2 - 4x + 4 = 0.

Rezolvare

1
1 punct
Mulțimea AA are 1010 elemente, deci sunt 1010 cazuri posibile
2
2 puncte
În mulțimea AA este un singur număr care verifică ecuația, deci este un caz favorabil
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=110p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{1}{10}
Exercițiul 5
Determinați lungimea vectorului AB→+AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}, știind că triunghiul ABCABC este echilateral și AB=2AB = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
AB→+AC→=2AM→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AM}, unde MM este mijlocul laturii BCBC
2
2 puncte
AM=3AM = \sqrt{3}, deci lungimea vectorului AB→+AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} este egală cu 232\sqrt{3}
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡2(π2−x)+sin⁡2(x+π)=1\sin^2\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) + \sin^2(x + \pi) = 1, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡(π2−x)=cos⁡x\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x, sin⁡(x+π)=−sin⁡x\sin(x + \pi) = -\sin x
2
3 puncte
sin⁡2(π2−x)+sin⁡2(x+π)=cos⁡2x+sin⁡2x=1\sin^2\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) + \sin^2(x + \pi) = \cos^2 x + \sin^2 x = 1, pentru orice număr real xx

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(1+4a−6a2a1−3a)A(a) = \begin{pmatrix} 1 + 4a & -6a \\ 2a & 1 - 3a \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(1))=2\det(A(1)) = 2. b) Demonstrați că A(a)⋅A(b)=A(a+b+ab)A(a) \cdot A(b) = A(a + b + ab), pentru orice numere reale aa și bb. c) Determinați perechile de numere naturale mm și nn pentru care A(m)⋅A(n)=A(2)A(m) \cdot A(n) = A(2).

Rezolvare

1
3 puncte
a) A(1)=(5−62−2)⇒det⁡(A(1))=∣5−62−2∣=5⋅(−2)−2⋅(−6)=A(1) = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 5 & -6 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = 5 \cdot (-2) - 2 \cdot (-6) =
2
2 puncte
=−10+12=2= -10 + 12 = 2
3
3 puncte
b) A(a)⋅A(b)=(1+4a−6a2a1−3a)(1+4b−6b2b1−3b)=(1+4(a+b+ab)−6(a+b+ab)2(a+b+ab)1−3(a+b+ab))=A(a+b+ab)A(a) \cdot A(b) = \begin{pmatrix} 1 + 4a & -6a \\ 2a & 1 - 3a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 + 4b & -6b \\ 2b & 1 - 3b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 4(a + b + ab) & -6(a + b + ab) \\ 2(a + b + ab) & 1 - 3(a + b + ab) \end{pmatrix} = A(a + b + ab), pentru orice numere reale aa și bb
4
2 puncte
c) A(m+n+mn)=A(2)⇔m+n+mn=2A(m + n + mn) = A(2) \Leftrightarrow m + n + mn = 2
5
2 puncte
Cum mm și nn sunt numere naturale, (m+1)(n+1)=3(m + 1)(n + 1) = 3
6
1 punct
⇒m=2\Rightarrow m = 2, n=0n = 0 sau m=0m = 0, n=2n = 2
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=2xy−2x−2y+3x \circ y = 2xy - 2x - 2y + 3. a) Arătați că x∘y=2(x−1)(y−1)+1x \circ y = 2(x - 1)(y - 1) + 1, pentru orice numere reale xx și yy. b) Determinați valorile reale ale lui xx pentru care x∘x≤9x \circ x \leq 9. c) Calculați 1n∘2n∘3n∘…∘2019n1^n \circ 2^n \circ 3^n \circ \ldots \circ 2019^n, pentru orice număr natural nenul nn.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) x∘y=2xy−2x−2y+2+1=x \circ y = 2xy - 2x - 2y + 2 + 1 =
2
3 puncte
=2x(y−1)−2(y−1)+1=2(x−1)(y−1)+1= 2x(y - 1) - 2(y - 1) + 1 = 2(x - 1)(y - 1) + 1, pentru orice numere reale xx și yy
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∘x=2(x−1)2+1x \circ x = 2(x - 1)^2 + 1, de unde obținem (x−1)2≤4(x - 1)^2 \leq 4
4
3 puncte
x∈[−1,3]x \in [-1, 3]
c)5 puncte
5
2 puncte
c) 1∘x=11 \circ x = 1, pentru orice număr real xx
6
3 puncte
1n∘2n∘3n∘…∘2019n=1∘(2n∘3n∘…∘2019n)=11^n \circ 2^n \circ 3^n \circ \ldots \circ 2019^n = 1 \circ (2^n \circ 3^n \circ \ldots \circ 2019^n) = 1, pentru orice număr natural nenul nn

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡xef(x) = x - \ln x^e. a) Arătați că f′(x)=x−exf'(x) = \dfrac{x - e}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției ff, în care tangenta la graficul funcției ff este paralelă cu axa OxOx. c) Demonstrați că ecuația ex=xee^x = x^e are exact o soluție în (0,+∞)(0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(x)′−(eln⁡x)′=f'(x) = (x)' - (e \ln x)' =
2
3 puncte
=1−e⋅1x=x−ex= 1 - e \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - e}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Tangenta la graficul funcției ff în punctul (a,f(a))(a, f(a)) este paralelă cu axa Ox⇔f′(a)=0Ox \Leftrightarrow f'(a) = 0
4
2 puncte
a−e=0⇔a=ea - e = 0 \Leftrightarrow a = e
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)<0f'(x) < 0, pentru orice x∈(0,e)⇒fx \in (0, e) \Rightarrow f este strict descrescătoare pe (0,e)(0, e) și f′(x)>0f'(x) > 0, pentru orice x∈(e,+∞)⇒fx \in (e, +\infty) \Rightarrow f este strict crescătoare pe (e,+∞)(e, +\infty)
6
3 puncte
ex=xe⇔x=ln⁡xe⇔f(x)=0e^x = x^e \Leftrightarrow x = \ln x^e \Leftrightarrow f(x) = 0 și, cum ff este continuă și f(e)=0f(e) = 0, ecuația ex=xee^x = x^e are exact o soluție în (0,+∞)(0, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(x−1)(x+1)exf(x) = (x - 1)(x + 1)e^x. a) Arătați că ∫03f(x)ex dx=6\displaystyle\int_0^3 \dfrac{f(x)}{e^x} \, dx = 6. b) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=1x = 1 și x=2x = 2. c) Determinați numărul real aa, a>2a > 2, știind că ∫2a2xexf(x) dx=3ln⁡2\displaystyle\int_2^a \dfrac{2xe^x}{f(x)} \, dx = 3\ln 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫03f(x)ex dx=∫03(x−1)(x+1) dx=∫03(x2−1) dx=(x33−x)∣03=\displaystyle\int_0^3 \dfrac{f(x)}{e^x} \, dx = \int_0^3 (x - 1)(x + 1) \, dx = \int_0^3 (x^2 - 1) \, dx = \left.\left(\dfrac{x^3}{3} - x\right)\right|_0^3 =
2
2 puncte
=9−3=6= 9 - 3 = 6
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A=∫12∣f(x)∣ dx=∫12(x2−1)ex dx=(x2−1)ex∣12−∫122xex dx=\mathcal{A} = \displaystyle\int_1^2 |f(x)| \, dx = \int_1^2 (x^2 - 1)e^x \, dx = \left.(x^2 - 1)e^x\right|_1^2 - \int_1^2 2xe^x \, dx =
4
3 puncte
=3e2−0−2(x−1)ex∣12=3e2−2e2=e2= 3e^2 - 0 - 2(x - 1)e^x\Big|_1^2 = 3e^2 - 2e^2 = e^2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫2a2xexf(x) dx=∫2a2xx2−1 dx=ln⁡(x2−1)∣2a=ln⁡a2−13\displaystyle\int_2^a \dfrac{2xe^x}{f(x)} \, dx = \int_2^a \dfrac{2x}{x^2 - 1} \, dx = \left.\ln(x^2 - 1)\right|_2^a = \ln\dfrac{a^2 - 1}{3}
6
2 puncte
ln⁡a2−13=3ln⁡2⇔a2−25=0\ln\dfrac{a^2 - 1}{3} = 3\ln 2 \Leftrightarrow a^2 - 25 = 0 și, cum aa este număr real, a>2a > 2, obținem a=5a = 5

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2019 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Toamnă 2019 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac