BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2019 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (32−23):(32+23)⋅135=1\left(\dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{3}\right) : \left(\dfrac{3}{2} + \dfrac{2}{3}\right) \cdot \dfrac{13}{5} = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
(32−23):(32+23)⋅135=56:136⋅135=\left(\dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{3}\right) : \left(\dfrac{3}{2} + \dfrac{2}{3}\right) \cdot \dfrac{13}{5} = \dfrac{5}{6} : \dfrac{13}{6} \cdot \dfrac{13}{5} =
2
2 puncte
=56⋅613⋅135=1= \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{6}{13} \cdot \dfrac{13}{5} = 1
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x−4f(x) = 2x - 4. Determinați numărul real mm, știind că f(m+1)=mf(m + 1) = m.

Rezolvare

1
3 puncte
f(m+1)=2(m+1)−4=2m−2f(m + 1) = 2(m + 1) - 4 = 2m - 2
2
2 puncte
2m−2=m⇔m=22m - 2 = m \Leftrightarrow m = 2
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡7(2x+3)=log⁡79\log_7(2x + 3) = \log_7 9.

Rezolvare

1
3 puncte
2x+3=9⇒2x=62x + 3 = 9 \Rightarrow 2x = 6
2
2 puncte
x=3x = 3, care convine
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={10,20,30,40,50,60,70,80,90}A = \{10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90\}, acesta să fie multiplu de 33.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea AA are 99 elemente, deci sunt 99 cazuri posibile
2
2 puncte
În mulțimea AA sunt 33 numere multiplu de 33, deci sunt 33 cazuri favorabile
3
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=39=13p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele M(4,1)M(4, 1), N(1,5)N(1, 5) și P(4,5)P(4, 5). Calculați aria triunghiului MNPMNP.

Rezolvare

1
2 puncte
MP=4MP = 4, NP=3NP = 3
2
3 puncte
△MPN\triangle MPN este dreptunghic în PP, deci A△MPN=4⋅32=6\mathcal{A}_{\triangle MPN} = \dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6
Exercițiul 6
Arătați că 13⋅sin⁡60°+sin⁡245°=1\dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sin 60° + \sin^2 45° = 1.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡60°=32\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡45°=22\sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}
2
3 puncte
13⋅sin⁡60°+sin⁡245°=13⋅32+(22)2=12+12=1\dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sin 60° + \sin^2 45° = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} și M(a)=(1+a−aa1−a)M(a) = \begin{pmatrix} 1 + a & -a \\ a & 1 - a \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡A=−2\det A = -2. b) Demonstrați că M(a)⋅M(b)=M(a+b)M(a) \cdot M(b) = M(a + b), pentru orice numere reale aa și bb. c) Determinați matricea X∈M2(R)X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care M(1)⋅X⋅M(2)=AM(1) \cdot X \cdot M(2) = A.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡A=∣1234∣=1⋅4−2⋅3=\det A = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 =
2
2 puncte
=4−6=−2= 4 - 6 = -2
b)5 puncte
3
3 puncte
b) M(a)⋅M(b)=(1+a−aa1−a)(1+b−bb1−b)=(1+a+b−(a+b)a+b1−(a+b))=M(a+b)M(a) \cdot M(b) = \begin{pmatrix} 1 + a & -a \\ a & 1 - a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 + b & -b \\ b & 1 - b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + a + b & -(a + b) \\ a + b & 1 - (a + b) \end{pmatrix} = M(a + b), pentru orice numere reale aa și bb
4
2 puncte
c) M(a)⋅M(−a)=M(0)=I2⇒(M(a))−1=M(−a)M(a) \cdot M(-a) = M(0) = I_2 \Rightarrow (M(a))^{-1} = M(-a), pentru orice număr real aa
c)5 puncte
5
2 puncte
X=(M(1))−1⋅A⋅(M(2))−1⇒X=M(−1)⋅A⋅M(−2)X = (M(1))^{-1} \cdot A \cdot (M(2))^{-1} \Rightarrow X = M(-1) \cdot A \cdot M(-2)
6
3 puncte
X=(−1118−1728)X = \begin{pmatrix} -11 & 18 \\ -17 & 28 \end{pmatrix}
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=2X3−4X2+4X−3f = 2X^3 - 4X^2 + 4X - 3. a) Arătați că f(0)=−3f(0) = -3. b) Demonstrați că numărul a=3x1+3x2+3x3a = \dfrac{3}{x_1} + \dfrac{3}{x_2} + \dfrac{3}{x_3} este natural, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile lui ff. c) Demonstrați că polinomul ff nu are toate rădăcinile reale.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f(0)=2⋅03−4⋅02+4⋅0−3=f(0) = 2 \cdot 0^3 - 4 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 - 3 =
2
2 puncte
=0−0+0−3=−3= 0 - 0 + 0 - 3 = -3
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x1x2+x2x3+x3x1=2x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = 2, x1x2x3=32x_1 x_2 x_3 = \dfrac{3}{2}
4
3 puncte
a=3x1+3x2+3x3=3(x1x2+x2x3+x3x1)x1x2x3=3⋅232=4a = \dfrac{3}{x_1} + \dfrac{3}{x_2} + \dfrac{3}{x_3} = \dfrac{3(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1)}{x_1 x_2 x_3} = \dfrac{3 \cdot 2}{\frac{3}{2}} = 4, care este număr natural
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x2x3+x3x1)=22−2⋅2=0x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1) = 2^2 - 2 \cdot 2 = 0
6
3 puncte
Dacă x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt numere reale, atunci x1=x2=x3=0x_1 = x_2 = x_3 = 0, ceea ce nu convine deoarece f(0)=−3f(0) = -3

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=xx6+5f(x) = \dfrac{x}{x^6 + 5}. a) Arătați că f′(x)=5(1−x3)(1+x3)(x6+5)2f'(x) = \dfrac{5(1 - x^3)(1 + x^3)}{(x^6 + 5)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=0x = 0 situat pe graficul funcției ff. c) Determinați mulțimea valorilor funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=x6+5−x⋅6x5(x6+5)2=5−5x6(x6+5)2=f'(x) = \dfrac{x^6 + 5 - x \cdot 6x^5}{(x^6 + 5)^2} = \dfrac{5 - 5x^6}{(x^6 + 5)^2} =
2
2 puncte
=5(1−x6)(x6+5)2=5(1−x3)(1+x3)(x6+5)2= \dfrac{5(1 - x^6)}{(x^6 + 5)^2} = \dfrac{5(1 - x^3)(1 + x^3)}{(x^6 + 5)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(0)=0f(0) = 0, f′(0)=15f'(0) = \dfrac{1}{5}
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0)y - f(0) = f'(0)(x - 0), adică y=15xy = \dfrac{1}{5}x
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈(−∞,−1]⇒fx \in (-\infty, -1] \Rightarrow f este descrescătoare pe (−∞,−1](-\infty, -1], f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈[−1,1]⇒fx \in [-1, 1] \Rightarrow f este crescătoare pe [−1,1][-1, 1] și f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈[1,+∞)⇒fx \in [1, +\infty) \Rightarrow f este descrescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty)
6
3 puncte
ff continuă pe R\mathbb{R}, lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0, f(−1)=−16f(-1) = -\dfrac{1}{6}, f(1)=16f(1) = \dfrac{1}{6} și lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0, deci mulțimea valorilor funcției ff este [−16,16]\left[-\dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{6}\right]
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(x−1)exf(x) = (x - 1)e^x. a) Arătați că ∫01f(x)ex dx=−12\displaystyle\int_0^1 \dfrac{f(x)}{e^x} \, dx = -\dfrac{1}{2}. b) Demonstrați că F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, F(x)=(x−2)ex+2019F(x) = (x - 2)e^x + 2019 este o primitivă a funcției ff. c) Calculați ∫01f2(x)⋅f′(x) dx\displaystyle\int_0^1 f^2(x) \cdot f'(x) \, dx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫01f(x)ex dx=∫01(x−1) dx=(x22−x)∣01=\displaystyle\int_0^1 \dfrac{f(x)}{e^x} \, dx = \int_0^1 (x - 1) \, dx = \left.\left(\dfrac{x^2}{2} - x\right)\right|_0^1 =
2
2 puncte
=12−1−0=−12= \dfrac{1}{2} - 1 - 0 = -\dfrac{1}{2}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) F′(x)=((x−2)ex+2019)′=1⋅ex+(x−2)ex+0=F'(x) = ((x - 2)e^x + 2019)' = 1 \cdot e^x + (x - 2)e^x + 0 =
4
2 puncte
=(x−1)ex=f(x)= (x - 1)e^x = f(x), x∈Rx \in \mathbb{R}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫01f2(x)⋅f′(x) dx=f3(x)3∣01=\displaystyle\int_0^1 f^2(x) \cdot f'(x) \, dx = \left.\dfrac{f^3(x)}{3}\right|_0^1 =
6
2 puncte
=f3(1)−f3(0)3=0−(−1)3=13= \dfrac{f^3(1) - f^3(0)}{3} = \dfrac{0 - (-1)}{3} = \dfrac{1}{3}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2019 — Științele Naturii

Următor →

Bac Toamnă Rezervă 2019 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac