BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2020 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră numărul complex z=2+iz = 2 + i. Arătați că z2−4z+5=0z^2 - 4z + 5 = 0.

Rezolvare

1
3 puncte
z2−4z+5=(2+i)2−4(2+i)+5=4+4i+i2−8−4i+5=z^2 - 4z + 5 = (2 + i)^2 - 4(2 + i) + 5 = 4 + 4i + i^2 - 8 - 4i + 5 =
2
2 puncte
=i2+1=−1+1=0= i^2 + 1 = -1 + 1 = 0
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+x+af(x) = x^2 + x + a, unde aa este număr real. Determinați numărul real aa, știind că punctul M(0,2)M(0, 2) aparține graficului funcției ff.

Rezolvare

1
3 puncte
M(0,2)∈Gf⇔f(0)=2M(0, 2) \in G_f \Leftrightarrow f(0) = 2
2
2 puncte
a=2a = 2
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x=x3+2x3x = \sqrt[3]{x^3 + 2x}.

Rezolvare

1
3 puncte
x3=x3+2x⇔2x=0x^3 = x^3 + 2x \Leftrightarrow 2x = 0
2
2 puncte
x=0x = 0
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de cinci cifre distincte, formate cu cifre din mulțimea {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\}, acesta să aibă cifra zecilor egală cu 22 și cifra unităților egală cu 33.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de cinci cifre distincte, formate cu cifre din mulțimea {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\} are 5!=1205! = 120 de elemente, deci sunt 120120 de cazuri posibile
2
2 puncte
Numerele naturale de cinci cifre distincte, formate cu cifre din mulțimea {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\}, care au cifra zecilor egală cu 22 și cifra unităților egală cu 33, sunt 66, deci sunt 66 cazuri favorabile
3
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=6120=120p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{6}{120} = \dfrac{1}{20}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,1)A(0, 1), B(2,3)B(2, 3) și C(4,a)C(4, a), unde aa este un număr real. Determinați numărul real aa, știind că punctul CC este situat pe mediatoarea segmentului ABAB.

Rezolvare

1
3 puncte
CA=CB⇔(4−0)2+(a−1)2=(4−2)2+(a−3)2CA = CB \Leftrightarrow \sqrt{(4 - 0)^2 + (a - 1)^2} = \sqrt{(4 - 2)^2 + (a - 3)^2}
2
2 puncte
16+a2−2a+1=4+a2−6a+9⇔a=−116 + a^2 - 2a + 1 = 4 + a^2 - 6a + 9 \Leftrightarrow a = -1
Exercițiul 6
Măsurile unghiurilor AA, BB și CC ale triunghiului ABCABC sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Demonstrați că măsura unghiului BB este egală cu π3\dfrac{\pi}{3}.

Rezolvare

1
3 puncte
A+B+C=πA + B + C = \pi, 2B=A+C2B = A + C
2
2 puncte
3B=π⇒B=π33B = \pi \Rightarrow B = \dfrac{\pi}{3}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(101+ln⁡x0x0001)A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 + \ln x \\ 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, unde x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). a) Arătați că det⁡(A(1))=1\det(A(1)) = 1. b) Demonstrați că A(x)⋅A(y)=A(y)⋅A(x)A(x) \cdot A(y) = A(y) \cdot A(x), pentru orice x,y∈(0,+∞)x, y \in (0, +\infty). c) Determinați numărul natural nn pentru care A(13)⋅A(12)⋅A(1)⋅A(2)⋅A(3)=(10n010001)A\left(\dfrac{1}{3}\right) \cdot A\left(\dfrac{1}{2}\right) \cdot A(1) \cdot A(2) \cdot A(3) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & n \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) A(1)=(101010001)⇒det⁡(A(1))=∣101010001∣=A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =
2
2 puncte
=1+0+0−0−0−0=1= 1 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A(x)⋅A(y)=(102+ln⁡(xy)0xy0001)=A(x) \cdot A(y) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 + \ln(xy) \\ 0 & xy & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =
4
3 puncte
=(102+ln⁡(yx)0yx0001)=A(y)⋅A(x)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 + \ln(yx) \\ 0 & yx & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = A(y) \cdot A(x), pentru orice x,y∈(0,+∞)x, y \in (0, +\infty)
c)5 puncte
5
2 puncte
c) A(13)⋅A(3)=(102010001)A\left(\dfrac{1}{3}\right) \cdot A(3) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, A(12)⋅A(2)=(102010001)A\left(\dfrac{1}{2}\right) \cdot A(2) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
6
3 puncte
A(13)⋅A(12)⋅A(1)⋅A(2)⋅A(3)=A(13)⋅A(3)⋅A(12)⋅A(2)⋅A(1)=(105010001)⇒n=5A\left(\dfrac{1}{3}\right) \cdot A\left(\dfrac{1}{2}\right) \cdot A(1) \cdot A(2) \cdot A(3) = A\left(\dfrac{1}{3}\right) \cdot A(3) \cdot A\left(\dfrac{1}{2}\right) \cdot A(2) \cdot A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow n = 5
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−4(x+y)+ax * y = xy - 4(x + y) + a, unde aa este număr real. a) Pentru a=10a = 10, arătați că 1∗2=01 * 2 = 0. b) Pentru a=20a = 20, arătați că e=5e = 5 este elementul neutru al legii de compoziție „∗*”. c) Demonstrați că, dacă a∈[20,+∞)a \in [20, +\infty), atunci mulțimea H=[4,+∞)H = [4, +\infty) este parte stabilă a mulțimii numerelor reale în raport cu legea de compoziție „∗*”.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 1∗2=1⋅2−4(1+2)+10=1 * 2 = 1 \cdot 2 - 4(1 + 2) + 10 =
2
2 puncte
=2−12+10=0= 2 - 12 + 10 = 0
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗5=x⋅5−4(x+5)+20=5x−4x−20+20=xx * 5 = x \cdot 5 - 4(x + 5) + 20 = 5x - 4x - 20 + 20 = x, pentru orice număr real xx
4
3 puncte
5∗x=5x−4(5+x)+20=5x−20−4x+20=x5 * x = 5x - 4(5 + x) + 20 = 5x - 20 - 4x + 20 = x, pentru orice număr real xx, deci e=5e = 5 este elementul neutru al legii de compoziție „∗*”
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x∗y=(x−4)(y−4)+a−16x * y = (x - 4)(y - 4) + a - 16, pentru orice numere reale xx și yy
6
3 puncte
x,y∈H⇒x−4≥0x, y \in H \Rightarrow x - 4 \geq 0 și y−4≥0y - 4 \geq 0 și, cum a≥20a \geq 20, obținem x∗y≥4⇒x∗y∈Hx * y \geq 4 \Rightarrow x * y \in H, deci HH este parte stabilă a mulțimii numerelor reale în raport cu legea de compoziție „∗*”

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→(0,+∞)f : \mathbb{R} \to (0, +\infty), f(x)=6x−3x+2xf(x) = 6^x - 3^x + 2^x. a) Arătați că f′(0)=ln⁡4f'(0) = \ln 4. b) Se consideră tangenta la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=0x = 0, situat pe graficul funcției ff. Determinați numărul real aa pentru care punctul A(a,ln⁡(16e))A(a, \ln(16e)) este situat pe această tangentă. c) Calculați lim⁡x→0ln⁡(f(x))x\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(f(x))}{x}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=6xln⁡6−3xln⁡3+2xln⁡2f'(x) = 6^x \ln 6 - 3^x \ln 3 + 2^x \ln 2, x∈Rx \in \mathbb{R}
2
2 puncte
f′(0)=ln⁡6−ln⁡3+ln⁡2=ln⁡4f'(0) = \ln 6 - \ln 3 + \ln 2 = \ln 4
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0)y - f(0) = f'(0)(x - 0) și, cum f(0)=1f(0) = 1, obținem y=xln⁡4+1y = x \ln 4 + 1
4
2 puncte
ln⁡(16e)=aln⁡4+1⇒1+ln⁡16=aln⁡4+1⇒ln⁡(4a)=ln⁡42\ln(16e) = a \ln 4 + 1 \Rightarrow 1 + \ln 16 = a \ln 4 + 1 \Rightarrow \ln(4^a) = \ln 4^2, deci a=2a = 2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) lim⁡x→0ln⁡(f(x))x=lim⁡x→0f′(x)f(x)=f′(0)f(0)=\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(f(x))}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{f'(x)}{f(x)} = \dfrac{f'(0)}{f(0)} =
6
2 puncte
=ln⁡41=ln⁡4= \dfrac{\ln 4}{1} = \ln 4
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=1−2xx2+3−2x2+3f(x) = 1 - \dfrac{2x}{x^2 + 3} - \dfrac{2}{x^2 + 3}. a) Arătați că ∫12(x2+3)f(x) dx=13\displaystyle\int_1^2 (x^2 + 3) f(x) \, dx = \dfrac{1}{3}. b) Arătați că ∫01f(x) dx=1−ln⁡43−π39\displaystyle\int_0^1 f(x) \, dx = 1 - \ln\dfrac{4}{3} - \dfrac{\pi\sqrt{3}}{9}. c) Pentru fiecare număr natural nenul nn, se consideră numărul In=∫01fn(x) dxI_n = \displaystyle\int_0^1 f^n(x) \, dx. Arătați că lim⁡n→+∞In=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫12(x2+3)f(x) dx=∫12(x2+3−2x−2) dx=∫12(x2−2x+1) dx=(x−1)33∣12=\displaystyle\int_1^2 (x^2 + 3) f(x) \, dx = \int_1^2 (x^2 + 3 - 2x - 2) \, dx = \int_1^2 (x^2 - 2x + 1) \, dx = \left.\dfrac{(x - 1)^3}{3}\right|_1^2 =
2
2 puncte
=13−0=13= \dfrac{1}{3} - 0 = \dfrac{1}{3}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫01f(x) dx=∫01(1−2xx2+3−2x2+3)dx=(x−ln⁡(x2+3)−23arctan⁡x3)∣01=\displaystyle\int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 \left(1 - \dfrac{2x}{x^2 + 3} - \dfrac{2}{x^2 + 3}\right) dx = \left.\left(x - \ln(x^2 + 3) - \dfrac{2}{\sqrt{3}} \arctan\dfrac{x}{\sqrt{3}}\right)\right|_0^1 =
4
2 puncte
=1−ln⁡4−23⋅π6+ln⁡3=1−ln⁡43−π39= 1 - \ln 4 - \dfrac{2}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\pi}{6} + \ln 3 = 1 - \ln\dfrac{4}{3} - \dfrac{\pi\sqrt{3}}{9}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Pentru orice x∈[0,1]x \in [0, 1], f′(x)=2(x−1)(x+3)(x2+3)2≤0⇒f(1)≤f(x)≤f(0)⇒0≤f(x)≤13f'(x) = \dfrac{2(x - 1)(x + 3)}{(x^2 + 3)^2} \leq 0 \Rightarrow f(1) \leq f(x) \leq f(0) \Rightarrow 0 \leq f(x) \leq \dfrac{1}{3}
6
3 puncte
0≤In≤∫01(13)ndx0 \leq I_n \leq \displaystyle\int_0^1 \left(\dfrac{1}{3}\right)^n dx, deci 0≤In≤(13)n0 \leq I_n \leq \left(\dfrac{1}{3}\right)^n și, cum lim⁡n→+∞(13)n=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^n = 0, obținem că lim⁡n→+∞In=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n = 0

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2020 — Tehnologic

Următor →

Bac Toamnă 2020 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac