BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2020 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (10+12)(10−12)=3994\left(10 + \dfrac{1}{2}\right)\left(10 - \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{399}{4}.

Rezolvare

1
3 puncte
(10+12)(10−12)=100−14=\left(10 + \dfrac{1}{2}\right)\left(10 - \dfrac{1}{2}\right) = 100 - \dfrac{1}{4} =
2
2 puncte
=400−14=3994= \dfrac{400 - 1}{4} = \dfrac{399}{4}
Exercițiul 2
Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=10−xg(x) = 10 - x.

Rezolvare

1
3 puncte
f(x)=g(x)⇔2x+1=10−xf(x) = g(x) \Leftrightarrow 2x + 1 = 10 - x
2
2 puncte
3x=9⇒x=33x = 9 \Rightarrow x = 3
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡7(x2+13)=2\log_7(x^2 + 13) = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
x2+13=72⇒x2−36=0x^2 + 13 = 7^2 \Rightarrow x^2 - 36 = 0
2
2 puncte
x=−6x = -6 sau x=6x = 6, care convin
Exercițiul 4
După o ieftinire cu 20%20\%, prețul unei tablete este 800800 de lei. Determinați prețul tabletei înainte de ieftinire.

Rezolvare

1
3 puncte
p−20100⋅p=800p - \dfrac{20}{100} \cdot p = 800, unde pp este prețul tabletei înainte de ieftinire
2
2 puncte
p=1000p = 1000 de lei
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,1)A(2,1) și B(2,7)B(2,7). Punctul MM este mijlocul segmentului ABAB. Calculați lungimea segmentului AMAM.

Rezolvare

1
2 puncte
AB=6AB = 6
2
3 puncte
AM=AB2=3AM = \dfrac{AB}{2} = 3
Exercițiul 6
Arătați că 2sin⁡230∘−sin⁡245∘=02\sin^2 30^\circ - \sin^2 45^\circ = 0.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}, sin⁡45∘=22\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}
2
3 puncte
2sin⁡230∘−sin⁡245∘=2⋅(12)2−(22)2=2⋅14−24=02\sin^2 30^\circ - \sin^2 45^\circ = 2 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 2 \cdot \dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{4} = 0

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(a+111a−1)A(a) = \begin{pmatrix} a+1 & 1 \\ 1 & a-1 \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=−2\det(A(0)) = -2. b) Arătați că A(a)⋅A(−a)=(2−a2)I2A(a) \cdot A(-a) = (2 - a^2)I_2, pentru orice număr real aa, unde I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. c) Determinați matricea X∈M2(R)X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}), știind că A(1)⋅X=A(2)A(1) \cdot X = A(2).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) A(0)=(111−1)⇒det⁡(A(0))=∣111−1∣=1⋅(−1)−1⋅1=A(0) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 =
2
2 puncte
=−1−1=−2= -1 - 1 = -2
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(a)⋅A(−a)=(a+111a−1)⋅(−a+111−a−1)=(2−a2002−a2)=A(a) \cdot A(-a) = \begin{pmatrix} a+1 & 1 \\ 1 & a-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -a+1 & 1 \\ 1 & -a-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - a^2 & 0 \\ 0 & 2 - a^2 \end{pmatrix} =
4
2 puncte
=(2−a2)(1001)=(2−a2)I2= (2 - a^2) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = (2 - a^2)I_2, pentru orice număr real aa
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(1)=(2110)A(1) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, det⁡(A(1))=−1≠0\det(A(1)) = -1 \neq 0, deci există (A(1))−1=(011−2)(A(1))^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}
6
2 puncte
X=A−1(1)⋅A(2)⇒X=(011−2)⋅(3111)⇒X=(111−1)X = A^{-1}(1) \cdot A(2) \Rightarrow X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2+xy−x−y+1x * y = x^2 + xy - x - y + 1. a) Arătați că 3∗2=113 * 2 = 11. b) Demonstrați că x∗(−x)=1x * (-x) = 1, pentru orice număr real xx. c) Determinați numărul real xx pentru care 2x∗4=12^x * 4 = 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 3∗2=32+3⋅2−3−2+1=3 * 2 = 3^2 + 3 \cdot 2 - 3 - 2 + 1 =
2
2 puncte
=9+6−3−2+1=11= 9 + 6 - 3 - 2 + 1 = 11
b)5 puncte
3
3 puncte
b) x∗(−x)=x2+x⋅(−x)−x−(−x)+1=x * (-x) = x^2 + x \cdot (-x) - x - (-x) + 1 =
4
2 puncte
=x2−x2−x+x+1=1= x^2 - x^2 - x + x + 1 = 1, pentru orice număr real xx
c)5 puncte
5
3 puncte
c) 22x+4⋅2x−2x−4+1=1⇔22x+3⋅2x−4=0⇔(2x+4)(2x−1)=02^{2x} + 4 \cdot 2^x - 2^x - 4 + 1 = 1 \Leftrightarrow 2^{2x} + 3 \cdot 2^x - 4 = 0 \Leftrightarrow (2^x + 4)(2^x - 1) = 0
6
2 puncte
2x=12^x = 1, de unde obținem x=0x = 0

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2x+3x2+2x+2f(x) = \dfrac{x^2 + 2x + 3}{x^2 + 2x + 2}. a) Arătați că f′(x)=−2(x+1)(x2+2x+2)2f'(x) = \dfrac{-2(x + 1)}{(x^2 + 2x + 2)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Determinați imaginea funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=(2x+2)(x2+2x+2)−(x2+2x+3)(2x+2)(x2+2x+2)2=f'(x) = \dfrac{(2x + 2)(x^2 + 2x + 2) - (x^2 + 2x + 3)(2x + 2)}{(x^2 + 2x + 2)^2} =
2
2 puncte
=(2x+2)(x2+2x+2−x2−2x−3)(x2+2x+2)2=−2(x+1)(x2+2x+2)2= \dfrac{(2x + 2)(x^2 + 2x + 2 - x^2 - 2x - 3)}{(x^2 + 2x + 2)^2} = \dfrac{-2(x + 1)}{(x^2 + 2x + 2)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x2+2x+3x2+2x+2=lim⁡x→+∞1+2x+3x21+2x+2x2=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 + 2x + 3}{x^2 + 2x + 2} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2}} = 1
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=1y = 1 este asimptotă orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(x)=0⇔x=−1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1; pentru x∈(−∞,−1]x \in (-\infty, -1], f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe (−∞,−1](-\infty, -1] și pentru x∈[−1,+∞)x \in [-1, +\infty), f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe [−1,+∞)[-1, +\infty)
6
2 puncte
lim⁡x→−∞f(x)=1\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1, f(−1)=2f(-1) = 2, lim⁡x→+∞f(x)=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1, ff este continuă și f(x)≠1f(x) \neq 1 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci Im f=(1,2]\text{Im} \, f = (1, 2]
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+2x2+4f(x) = \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4}}. a) Arătați că ∫01f(x)x2+4 dx=52\displaystyle\int_0^1 f(x)\sqrt{x^2 + 4} \, dx = \dfrac{5}{2}. b) Arătați că ∫01(f2(x)−1)dx=2ln⁡54\displaystyle\int_0^1 \left(f^2(x) - 1\right) dx = 2\ln\dfrac{5}{4}. c) Determinați F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, primitiva lui ff pentru care F(0)=0F(0) = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) ∫01f(x)x2+4 dx=∫01(x+2) dx=\displaystyle\int_0^1 f(x)\sqrt{x^2 + 4} \, dx = \int_0^1 (x + 2) \, dx =
2
3 puncte
=(x22+2x)∣01=52= \left.\left(\dfrac{x^2}{2} + 2x\right)\right|_0^1 = \dfrac{5}{2}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) ∫01(f2(x)−1)dx=∫01(x2+4x+4x2+4−1)dx=∫014xx2+4 dx=\displaystyle\int_0^1 \left(f^2(x) - 1\right) dx = \int_0^1 \left(\dfrac{x^2 + 4x + 4}{x^2 + 4} - 1\right) dx = \int_0^1 \dfrac{4x}{x^2 + 4} \, dx =
4
3 puncte
=2ln⁡(x2+4)∣01=2ln⁡5−2ln⁡4=2ln⁡54= \left.2\ln(x^2 + 4)\right|_0^1 = 2\ln 5 - 2\ln 4 = 2\ln\dfrac{5}{4}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) F(x)=∫0xf(t) dt=∫0xtt2+4 dt+∫0x2t2+4 dt=(t2+4+2ln⁡(t+t2+4))∣0x=F(x) = \displaystyle\int_0^x f(t) \, dt = \int_0^x \dfrac{t}{\sqrt{t^2 + 4}} \, dt + \int_0^x \dfrac{2}{\sqrt{t^2 + 4}} \, dt = \left.\left(\sqrt{t^2 + 4} + 2\ln\left(t + \sqrt{t^2 + 4}\right)\right)\right|_0^x =
6
2 puncte
=x2+4+2ln⁡(x+x2+4)−2−2ln⁡2= \sqrt{x^2 + 4} + 2\ln\left(x + \sqrt{x^2 + 4}\right) - 2 - 2\ln 2, x∈Rx \in \mathbb{R}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2020 — Științele Naturii

Următor →

Model 2020 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac