BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2022 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că media aritmetică a numerelor a=20−21a = 20 - \sqrt{21} și b=22+21b = 22 + \sqrt{21} este egală cu 2121.

Rezolvare

1
3 puncte
ma=a+b2=20−21+22+212=m_a = \dfrac{a + b}{2} = \dfrac{20 - \sqrt{21} + 22 + \sqrt{21}}{2} =
2
2 puncte
=422=21= \dfrac{42}{2} = 21
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x−1f(x) = x - 1 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=3−xg(x) = 3 - x. Arătați că f(a)+g(a)=2f(a) + g(a) = 2, pentru orice număr real aa.

Rezolvare

1
2 puncte
f(a)=a−1f(a) = a - 1, pentru orice număr real aa
2
3 puncte
g(a)=3−a⇒f(a)+g(a)=a−1+3−a=2g(a) = 3 - a \Rightarrow f(a) + g(a) = a - 1 + 3 - a = 2, pentru orice număr real aa
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 7x−6=x\sqrt{7x - 6} = x.

Rezolvare

1
2 puncte
7x−6=x2⇒x2−7x+6=07x - 6 = x^2 \Rightarrow x^2 - 7x + 6 = 0
2
3 puncte
x=1x = 1 sau x=6x = 6, care convin
Exercițiul 4
Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, au cifrele elemente ale mulțimii {1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\}.

Rezolvare

1
2 puncte
Cifra unităților se poate alege în 22 moduri
2
3 puncte
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 44 moduri, deci se pot forma 2⋅4=82 \cdot 4 = 8 numere
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(6,0)A(6, 0) și B(6,6)B(6, 6). Arătați că triunghiul AOMAOM este isoscel, unde punctul MM este mijlocul segmentului OBOB.

Rezolvare

1
2 puncte
M(3,3)M(3, 3)
2
3 puncte
OM=32OM = 3\sqrt{2}, AM=32AM = 3\sqrt{2}, de unde obținem că triunghiul AOMAOM este isoscel
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, astfel încât AC=4AC = 4 și măsura unghiului BB este egală cu 60∘60^\circ. Arătați că înălțimea din vârful AA a triunghiului ABCABC are lungimea egală cu 22.

Rezolvare

1
2 puncte
Măsura unghiului ACBACB este egală cu 30∘30^\circ
2
3 puncte
Dacă ADAD este înălțimea din vârful AA a triunghiului ABCABC, atunci triunghiul ACDACD este dreptunghic, cu unghiul ACDACD de 30∘30^\circ, de unde obținem AD=AC2=2AD = \dfrac{AC}{2} = 2

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x)=(1−xxx+1)A(x) = \begin{pmatrix} 1 & -x \\ x & x + 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(1))=3\det(A(1)) = 3. b) Arătați că A(−1)⋅A(2)−A(−1)=2I2A(-1) \cdot A(2) - A(-1) = 2I_2. c) Determinați numerele reale xx pentru care A(x)⋅A(−x)+xA(x)=3I2A(x) \cdot A(-x) + xA(x) = 3I_2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) A(1)=(1−112)⇒det⁡(A(1))=∣1−112∣=1⋅2−(−1)⋅1=A(1) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - (-1) \cdot 1 =
2
2 puncte
=2+1=3= 2 + 1 = 3
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(−1)=(11−10)A(-1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, A(2)=(1−223)⇒A(−1)⋅A(2)−A(−1)=(31−12)−(11−10)=A(2) = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow A(-1) \cdot A(2) - A(-1) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} =
4
2 puncte
=(2002)=2I2= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2I_2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(x)⋅A(−x)+xA(x)=(1+x2x2−x21)+(x−x2x2x2+x)=(1+x+x2001+x+x2)=(x2+x+1)I2A(x) \cdot A(-x) + xA(x) = \begin{pmatrix} 1 + x^2 & x^2 \\ -x^2 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x & -x^2 \\ x^2 & x^2 + x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + x + x^2 & 0 \\ 0 & 1 + x + x^2 \end{pmatrix} = (x^2 + x + 1)I_2, pentru orice număr real xx
6
2 puncte
(x2+x+1)I2=3I2(x^2 + x + 1)I_2 = 3I_2, de unde obținem x2+x−2=0x^2 + x - 2 = 0, deci x=−2x = -2 sau x=1x = 1
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=4(xy+1)−3(x+y)x \circ y = 4(xy + 1) - 3(x + y). a) Arătați că 1∘2=31 \circ 2 = 3. b) Arătați că, dacă a∘3=4a \circ 3 = 4, atunci a∘(−a)=0a \circ (-a) = 0. c) Determinați valorile reale ale lui xx pentru care (x∘1)∘(x−1)≤4(x \circ 1) \circ (x - 1) \leq 4.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 1∘2=4(1⋅2+1)−3(1+2)=1 \circ 2 = 4(1 \cdot 2 + 1) - 3(1 + 2) =
2
2 puncte
=12−9=3= 12 - 9 = 3
b)5 puncte
3
3 puncte
b) a∘3=9a−5a \circ 3 = 9a - 5, deci 9a−5=49a - 5 = 4, de unde obținem a=1a = 1
4
2 puncte
a∘(−a)=1∘(−1)=4(−1+1)−3(1−1)=0a \circ (-a) = 1 \circ (-1) = 4(-1 + 1) - 3(1 - 1) = 0
c)5 puncte
5
3 puncte
c) x∘1=x+1x \circ 1 = x + 1, (x∘1)∘(x−1)=4x2−6x(x \circ 1) \circ (x - 1) = 4x^2 - 6x, pentru orice număr real xx
6
2 puncte
4x2−6x≤44x^2 - 6x \leq 4, de unde obținem x∈[−12,2]x \in \left[-\dfrac{1}{2}, 2\right]

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=2x2+x+3−5ln⁡xf(x) = 2x^2 + x + 3 - 5\ln x. a) Arătați că f′(x)=(x−1)(4x+5)xf'(x) = \dfrac{(x - 1)(4x + 5)}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Arătați că lim⁡x→+∞f(x)+5ln⁡x3−x−x2=−2\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x) + 5\ln x}{3 - x - x^2} = -2. c) Demonstrați că 2x2+x≥3+5ln⁡x2x^2 + x \geq 3 + 5\ln x, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=4x+1−5x=f'(x) = 4x + 1 - \dfrac{5}{x} =
2
2 puncte
=4x2+x−5x=(x−1)(4x+5)x= \dfrac{4x^2 + x - 5}{x} = \dfrac{(x - 1)(4x + 5)}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)+5ln⁡x3−x−x2=lim⁡x→+∞2x2+x+33−x−x2=lim⁡x→+∞x2(2+1x+3x2)x2(3x2−1x−1)=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x) + 5\ln x}{3 - x - x^2} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 + x + 3}{3 - x - x^2} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2\left(2 + \frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}\right)}{x^2\left(\frac{3}{x^2} - \frac{1}{x} - 1\right)} =
4
2 puncte
=2−1=−2= \dfrac{2}{-1} = -2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(x)=0⇒x=1f'(x) = 0 \Rightarrow x = 1; f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈(0,1]⇒fx \in (0, 1] \Rightarrow f este descrescătoare pe (0,1](0, 1] și f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈[1,+∞)⇒fx \in [1, +\infty) \Rightarrow f este crescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty), deci f(x)≥f(1)f(x) \geq f(1), pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
6
2 puncte
f(1)=6f(1) = 6, deci 2x2+x+3−5ln⁡x≥62x^2 + x + 3 - 5\ln x \geq 6, de unde obținem 2x2+x≥3+5ln⁡x2x^2 + x \geq 3 + 5\ln x, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(3−2x)exf(x) = (3 - 2x)e^x. a) Arătați că ∫01f(x)ex dx=2\displaystyle\int_0^1 \dfrac{f(x)}{e^x} \, dx = 2. b) Arătați că ∫02f(x) dx=e2−5\displaystyle\int_0^2 f(x) \, dx = e^2 - 5. c) Determinați a∈(−∞,1)a \in (-\infty, 1) pentru care ∫a1e3xf3(x) dx=29\displaystyle\int_a^1 \dfrac{e^{3x}}{f^3(x)} \, dx = \dfrac{2}{9}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫01f(x)ex dx=∫01(3−2x) dx=(3x−2⋅x22)∣01=\displaystyle\int_0^1 \dfrac{f(x)}{e^x} \, dx = \int_0^1 (3 - 2x) \, dx = \left.\left(3x - 2 \cdot \dfrac{x^2}{2}\right)\right|_0^1 =
2
2 puncte
=3−1=2= 3 - 1 = 2
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫02f(x) dx=∫02(3−2x)ex dx=(3−2x)ex∣02+2ex∣02=\displaystyle\int_0^2 f(x) \, dx = \int_0^2 (3 - 2x)e^x \, dx = \left.(3 - 2x)e^x\right|_0^2 + \left.2e^x\right|_0^2 =
4
2 puncte
=−e2−3+2e2−2=e2−5= -e^2 - 3 + 2e^2 - 2 = e^2 - 5
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫a1e3xf3(x) dx=∫a11(3−2x)3 dx=−12∫a1(3−2x)′(3−2x)3 dx=14⋅1(3−2x)2∣a1=14⋅(1−1(3−2a)2)\displaystyle\int_a^1 \dfrac{e^{3x}}{f^3(x)} \, dx = \int_a^1 \dfrac{1}{(3 - 2x)^3} \, dx = -\dfrac{1}{2}\int_a^1 \dfrac{(3 - 2x)'}{(3 - 2x)^3} \, dx = \dfrac{1}{4} \cdot \left.\dfrac{1}{(3 - 2x)^2}\right|_a^1 = \dfrac{1}{4} \cdot \left(1 - \dfrac{1}{(3 - 2a)^2}\right), pentru orice a∈(−∞,1)a \in (-\infty, 1)
6
2 puncte
14⋅(1−1(3−2a)2)=29\dfrac{1}{4} \cdot \left(1 - \dfrac{1}{(3 - 2a)^2}\right) = \dfrac{2}{9} și, cum a∈(−∞,1)a \in (-\infty, 1), obținem a=0a = 0

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2022 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Toamnă 2022 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac