BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2024 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 2−5i+i(5−3i)=52 - 5i + i(5 - 3i) = 5, unde i2=−1i^2 = -1.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează 2−5i+i(5−3i)=2−5i+5i−3i22 - 5i + i(5 - 3i) = 2 - 5i + 5i - 3i^2
2
2 puncte
Se obține 2+3=52 + 3 = 5
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=6x+mf(x) = 6x + m, unde mm este număr real. Determinați numărul real mm pentru care f(2)=15f(2) = 15.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează f(2)=12+mf(2) = 12 + m, deci 12+m=1512 + m = 15
2
2 puncte
Se obține m=3m = 3
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 72x+1=7x⋅727^{2x+1} = 7^x \cdot 7^2.

Rezolvare

1
3 puncte
Se scrie 72x+1=7x+27^{2x+1} = 7^{x+2}, de unde se obține 2x+1=x+22x + 1 = x + 2
2
2 puncte
Se obține x=1x = 1
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cel puțin una dintre cifre egală cu 11.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile
2
3 puncte
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 18 numere care au cel puțin una dintre cifre egală cu 11, deci sunt 18 cazuri favorabile, de unde se obține p=1890=15p = \frac{18}{90} = \frac{1}{5}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,5)A(2, 5) și B(4,2)B(4, 2). Determinați distanța dintre punctul AA și mijlocul segmentului OBOB.

Rezolvare

1
3 puncte
M(2,1)M(2, 1) este mijlocul segmentului OBOB
2
2 puncte
Se obține AM=(2−2)2+(5−1)2=4AM = \sqrt{(2 - 2)^2 + (5 - 1)^2} = 4
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AB=5AB = 5 și BC=55BC = 5\sqrt{5}. Arătați că sin⁡C=55\sin C = \frac{\sqrt{5}}{5}.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează sin⁡C=ABBC=555\sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{5\sqrt{5}}
2
2 puncte
Se obține 15=55\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, A=(2−110)A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} și B(x)=(xx−33−xx−4)B(x) = \begin{pmatrix} x & x - 3 \\ 3 - x & x - 4 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡A=1\det A = 1. b) Determinați numărul real aa pentru care B(4)⋅B(4)+I2=aB(4)B(4) \cdot B(4) + I_2 = aB(4). c) Determinați numărul real xx pentru care A⋅B(x)=B(x)⋅AA \cdot B(x) = B(x) \cdot A.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează det⁡A=∣2−110∣=2⋅0−(−1)⋅1\det A = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 2 \cdot 0 - (-1) \cdot 1
2
2 puncte
Se obține det⁡A=0+1=1\det A = 0 + 1 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează B(4)=(41−10)B(4) = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, B(4)⋅B(4)=(154−4−1)B(4) \cdot B(4) = \begin{pmatrix} 15 & 4 \\ -4 & -1 \end{pmatrix}
4
2 puncte
Se obține B(4)⋅B(4)+I2=(164−40)=4B(4)B(4) \cdot B(4) + I_2 = \begin{pmatrix} 16 & 4 \\ -4 & 0 \end{pmatrix} = 4B(4), deci a=4a = 4
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează A⋅B(x)=(3x−3x−2xx−3)A \cdot B(x) = \begin{pmatrix} 3x - 3 & x - 2 \\ x & x - 3 \end{pmatrix} și B(x)⋅A=(3x−3−x−x+2x−3)B(x) \cdot A = \begin{pmatrix} 3x - 3 & -x \\ -x + 2 & x - 3 \end{pmatrix}, pentru orice număr real xx
6
2 puncte
Din (3x−3x−2xx−3)=(3x−3−x−x+2x−3)\begin{pmatrix} 3x - 3 & x - 2 \\ x & x - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x - 3 & -x \\ -x + 2 & x - 3 \end{pmatrix}, se obține x=1x = 1
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x+y)(4−x−y)x * y = (x + y)(4 - x - y). a) Arătați că 0∗3=30 * 3 = 3. b) Determinați numerele reale xx pentru care x∗1=0x * 1 = 0. c) Determinați numerele naturale nn pentru care numărul N=(n+5)∗(n−5)N = (n + 5) * (n - 5) este natural.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează 0∗3=(0+3)(4−0−3)0 * 3 = (0 + 3)(4 - 0 - 3)
2
2 puncte
Se obține 0∗3=3⋅1=30 * 3 = 3 \cdot 1 = 3
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se calculează x∗1=(x+1)(3−x)x * 1 = (x + 1)(3 - x), pentru orice număr real xx
4
3 puncte
Se rezolvă (x+1)(3−x)=0(x + 1)(3 - x) = 0, de unde se obține x=−1x = -1 sau x=3x = 3
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează (n+5)∗(n−5)=4n(2−n)(n + 5) * (n - 5) = 4n(2 - n), pentru orice număr natural nn
6
3 puncte
Cum nn și N=4n(2−n)N = 4n(2 - n) sunt numere naturale, se obține n=0n = 0, n=1n = 1 și n=2n = 2

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→Rf : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2−x−2ln⁡(x+1)f(x) = x^2 - x - 2\ln(x + 1). a) Arătați că f′(x)=2x2+x−3x+1f'(x) = \frac{2x^2 + x - 3}{x + 1}, x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=0x = 0, situat pe graficul funcției ff. c) Arătați că x2−x≥2ln⁡x+12x^2 - x \geq 2\ln\frac{x + 1}{2}, pentru orice x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează f′(x)=2x−1−2x+1f'(x) = 2x - 1 - \frac{2}{x + 1}
2
2 puncte
Se obține f′(x)=2x2+2x−x−1−2x+1=2x2+x−3x+1f'(x) = \frac{2x^2 + 2x - x - 1 - 2}{x + 1} = \frac{2x^2 + x - 3}{x + 1}, x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se calculează f(0)=0f(0) = 0 și f′(0)=−3f'(0) = -3
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0)y - f(0) = f'(0)(x - 0), adică y=−3xy = -3x
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se rezolvă f′(x)=0f'(x) = 0 și se obține x=1x = 1; pentru orice x∈(−1,1]x \in (-1, 1], f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe (−1,1](-1, 1] și, pentru orice x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty), f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty)
6
3 puncte
Pentru orice x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty), f(x)≥f(1)f(x) \geq f(1) și, cum f(1)=−2ln⁡2f(1) = -2\ln 2, se obține x2−x≥2ln⁡x+12x^2 - x \geq 2\ln\frac{x + 1}{2}, pentru orice x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+3x+1f(x) = x^2 + 3x + 1. a) Arătați că ∫03(f(x)−3x) dx=12\displaystyle\int_0^3 (f(x) - 3x) \, dx = 12. b) Arătați că ∫011(f(x)−x2)2 dx=14\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{(f(x) - x^2)^2} \, dx = \frac{1}{4}. c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)−x2−1exg(x) = \frac{f(x) - x^2 - 1}{e^x}, axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x = 0 și x=1x = 1 este egală cu 3(1−2e)3\left(1 - \frac{2}{e}\right).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează ∫03(f(x)−3x) dx=∫03(x2+1) dx=x33+x∣03\displaystyle\int_0^3 (f(x) - 3x) \, dx = \int_0^3 (x^2 + 1) \, dx = \left.\frac{x^3}{3} + x\right|_0^3
2
2 puncte
Se obține 273+3=12\frac{27}{3} + 3 = 12
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează ∫011(f(x)−x2)2 dx=∫011(3x+1)2 dx=13∫01(3x+1)′(3x+1)2 dx=−13(3x+1)∣01\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{(f(x) - x^2)^2} \, dx = \int_0^1 \frac{1}{(3x + 1)^2} \, dx = \frac{1}{3}\int_0^1 \frac{(3x + 1)'}{(3x + 1)^2} \, dx = \left.-\frac{1}{3(3x + 1)}\right|_0^1
4
2 puncte
Se obține −112+13=14-\frac{1}{12} + \frac{1}{3} = \frac{1}{4}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează g(x)=3xe−xg(x) = 3xe^{-x}, x∈Rx \in \mathbb{R}, deci A=∫01∣g(x)∣ dx=∫013x(−e−x)′ dx\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 |g(x)| \, dx = \int_0^1 3x(-e^{-x})' \, dx
6
3 puncte
Se obține −3e−x(x+1)∣01=3(1−2e)\left.-3e^{-x}(x + 1)\right|_0^1 = 3\left(1 - \frac{2}{e}\right)

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2024 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Toamnă 2024 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac