BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2024 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (0,3+0,4)⋅10+2⋅0,5=8(0{,}3 + 0{,}4) \cdot 10 + 2 \cdot 0{,}5 = 8.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează (0,3+0,4)⋅10+2⋅0,5=0,7⋅10+1(0{,}3 + 0{,}4) \cdot 10 + 2 \cdot 0{,}5 = 0{,}7 \cdot 10 + 1.
2
2 puncte
Se obține 7+1=87 + 1 = 8.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1. Arătați că f(1)+f(2)=4f(1) + f(2) = 4.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează f(1)=2⋅1−1=1f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1.
2
3 puncte
Se calculează f(2)=2⋅2−1=3f(2) = 2 \cdot 2 - 1 = 3, de unde obținem f(1)+f(2)=1+3=4f(1) + f(2) = 1 + 3 = 4.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(2x+1)=log⁡55\log_5(2x + 1) = \log_5 5.

Rezolvare

1
3 puncte
Se obține 2x+1=52x + 1 = 5, de unde 2x=42x = 4.
2
2 puncte
Se obține x=2x = 2, care convine.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={11,21,31,41,51,61,71,81,91}A = \{11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91\}, acesta să fie divizibil cu 33.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea AA are 99 elemente, deci sunt 99 cazuri posibile.
2
3 puncte
Numerele din mulțimea AA care sunt divizibile cu 33 sunt 2121, 5151 și 8181, deci sunt 33 cazuri favorabile, de unde obținem p=39=13p = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(3,1)A(3, 1), B(m,2)B(m, 2) și C(5,3)C(5, 3), unde mm este număr real. Determinați numărul real mm, știind că punctul BB este mijlocul segmentului ACAC.

Rezolvare

1
3 puncte
Din condiția că BB este mijlocul segmentului ACAC rezultă m=3+52m = \frac{3 + 5}{2}.
2
2 puncte
Se obține m=82=4m = \frac{8}{2} = 4.
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu BC=20BC = 20 și AC=16AC = 16. Arătați că perimetrul triunghiului ABCABC este egal cu 4848.

Rezolvare

1
3 puncte
Aplicând teorema lui Pitagora: AB=BC2−AC2=400−256=144=12AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12.
2
2 puncte
Perimetrul triunghiului ABCABC este P△ABC=AB+AC+BC=12+16+20=48P_{\triangle ABC} = AB + AC + BC = 12 + 16 + 20 = 48.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x)=(2x+111x)A(x) = \begin{pmatrix} 2x+1 & 1 \\ 1 & x \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(1))=2\det(A(1)) = 2. b) Arătați că A(1)+A(5)=2A(3)A(1) + A(5) = 2A(3). c) Determinați matricea X∈M2(R)X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care X⋅A(1)=A(3)X \cdot A(1) = A(3).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează A(1)=(3111)A(1) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(1))=3⋅1−1⋅1\det(A(1)) = 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1.
2
2 puncte
Se obține det⁡(A(1))=3−1=2\det(A(1)) = 3 - 1 = 2.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează A(1)+A(5)=(3111)+(11115)=(14226)A(1) + A(5) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 11 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 2 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}.
4
2 puncte
Se calculează 2A(3)=2(7113)=(14226)2A(3) = 2 \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 2 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}, deci A(1)+A(5)=2A(3)A(1) + A(5) = 2A(3).
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează inversa matricei A(1)A(1): A(1)−1=12(1−1−13)=(12−12−1232)A(1)^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}. Se obține X=A(3)⋅A(1)−1=(7113)⋅(12−12−1232)X = A(3) \cdot A(1)^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}.
6
2 puncte
Se obține X=(3−2−14)X = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}.
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3+mX2+2X−5f = X^3 + mX^2 + 2X - 5, unde mm este număr real. a) Arătați că f(0)=−5f(0) = -5, pentru orice număr real mm. b) Determinați numărul real mm, știind că 11 este rădăcină a polinomului ff. c) Determinați numărul natural mm pentru care x12+x22+x32=5x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 5, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează f(0)=03+m⋅02+2⋅0−5f(0) = 0^3 + m \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 - 5.
2
2 puncte
Se obține f(0)=0+0+0−5=−5f(0) = 0 + 0 + 0 - 5 = -5, pentru orice număr real mm.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Din f(1)=0f(1) = 0 rezultă 1+m+2−5=01 + m + 2 - 5 = 0, deci m−2=0m - 2 = 0.
4
2 puncte
Se obține m=2m = 2.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Din relațiile lui Viète: x1+x2+x3=−mx_1 + x_2 + x_3 = -m și x1x2+x1x3+x2x3=2x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = 2.
6
3 puncte
Se calculează x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)=m2−4x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) = m^2 - 4, deci m2−4=5m^2 - 4 = 5 și, cum mm este număr natural, obținem m=3m = 3.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2x2+1f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1}. a) Arătați că f′(x)=2x(x2+1)2f'(x) = \frac{2x}{(x^2 + 1)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) Se derivează folosind regula câtului: f′(x)=(x2)′⋅(x2+1)−x2⋅(x2+1)′(x2+1)2f'(x) = \frac{(x^2)' \cdot (x^2 + 1) - x^2 \cdot (x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2}.
2
3 puncte
Se obține f′(x)=2x(x2+1)−x2⋅2x(x2+1)2=2x(x2+1)2f'(x) = \frac{2x(x^2 + 1) - x^2 \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x}{(x^2 + 1)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x2x2+1=lim⁡x→+∞x2x2(1+1x2)=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x^2 + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x^2\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)} = 1.
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=1y = 1 este asimptota orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Din f′(x)=0f'(x) = 0 rezultă x=0x = 0. Pentru orice x∈(−∞,0]x \in (-\infty, 0], f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe (−∞,0](-\infty, 0].
6
2 puncte
Pentru orice x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty), f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [0,+∞)[0, +\infty).
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex(x+1)f(x) = e^x(x + 1). a) Arătați că ∫01f(x)x+1 dx=e−1\displaystyle\int_0^1 \frac{f(x)}{x + 1}\,dx = e - 1. b) Arătați că ∫01f(x) dx=e\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = e. c) Determinați numărul real aa, a>1a > 1, pentru care ∫1a2xf(x2)x2+1 dx=e(e3−1)\displaystyle\int_1^a \frac{2x f(x^2)}{x^2 + 1}\,dx = e(e^3 - 1).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează ∫01f(x)x+1 dx=∫01ex(x+1)x+1 dx=∫01ex dx=ex∣01\displaystyle\int_0^1 \frac{f(x)}{x + 1}\,dx = \int_0^1 \frac{e^x(x+1)}{x+1}\,dx = \int_0^1 e^x\,dx = \left.e^x\right|_0^1.
2
2 puncte
Se obține e1−e0=e−1e^1 - e^0 = e - 1.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează ∫01f(x) dx=∫01ex(x+1) dx=ex(x+1)∣01−∫01ex dx=ex(x+1)∣01−ex∣01\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = \int_0^1 e^x(x+1)\,dx = \left.e^x(x+1)\right|_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = \left.e^x(x+1)\right|_0^1 - \left.e^x\right|_0^1.
4
2 puncte
Se obține 2e−1−(e−1)=2e−1−e+1=e2e - 1 - (e - 1) = 2e - 1 - e + 1 = e.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează ∫1a2xf(x2)x2+1 dx=∫1a2x⋅ex2(x2+1)x2+1 dx=∫1a2xex2 dx=∫1aex2⋅(x2)′ dx=ex2∣1a=ea2−e\displaystyle\int_1^a \frac{2x f(x^2)}{x^2 + 1}\,dx = \int_1^a \frac{2x \cdot e^{x^2}(x^2 + 1)}{x^2 + 1}\,dx = \int_1^a 2x e^{x^2}\,dx = \int_1^a e^{x^2} \cdot (x^2)'\,dx = \left.e^{x^2}\right|_1^a = e^{a^2} - e.
6
2 puncte
Din ea2−e=e(e3−1)e^{a^2} - e = e(e^3 - 1) rezultă ea2−e=e4−ee^{a^2} - e = e^4 - e, deci ea2=e4e^{a^2} = e^4 și, cum a>1a > 1, obținem a=2a = 2.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2024 — Științele Naturii

Următor →

Bac Toamnă Rezervă 2024 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac