BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2025 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 3(4−5i)+5i(3+2i)=23(4 - 5i) + 5i(3 + 2i) = 2, unde i2=−1i^2 = -1.

Rezolvare

1
3 puncte
3(4−5i)+5i(3+2i)=12−15i+15i+10i23(4 - 5i) + 5i(3 + 2i) = 12 - 15i + 15i + 10i^2
2
2 puncte
=12−10=2= 12 - 10 = 2
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+4f(x) = x + 4 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=2x+ag(x) = 2x + a, unde aa este număr real. Determinați numărul real aa pentru care (g∘f)(1)=1(g \circ f)(1) = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
f(1)=5f(1) = 5, (g∘f)(1)=g(5)=10+a(g \circ f)(1) = g(5) = 10 + a, pentru orice număr real aa
2
2 puncte
10+a=110 + a = 1, de unde obținem a=−9a = -9
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(6x−x2)=log⁡2(4+x)\log_2(6x - x^2) = \log_2(4 + x).

Rezolvare

1
2 puncte
6x−x2=4+x6x - x^2 = 4 + x, de unde obținem x2−5x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0
2
3 puncte
x=1x = 1 sau x=4x = 4, care convin
Exercițiul 4
Se consideră mulțimea A={3,4,5,7,9}A = \{3, 4, 5, 7, 9\}. Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea AA.

Rezolvare

1
2 puncte
Cifra unităților se poate alege în 44 moduri
2
3 puncte
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 44 moduri, deci se pot forma 4⋅4=164 \cdot 4 = 16 numere
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,2)A(0, 2) și B(6,4)B(6, 4). Determinați coordonatele punctului CC pentru care 2AC→=OB→2\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OB}.

Rezolvare

1
2 puncte
OB→=6i⃗+4j⃗\overrightarrow{OB} = 6\vec{i} + 4\vec{j}, AC→=xCi⃗+(yC−2)j⃗\overrightarrow{AC} = x_C \vec{i} + (y_C - 2)\vec{j}
2
3 puncte
2xCi⃗+2(yC−2)j⃗=6i⃗+4j⃗2x_C \vec{i} + 2(y_C - 2)\vec{j} = 6\vec{i} + 4\vec{j}, de unde obținem xC=3x_C = 3 și yC=4y_C = 4
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AB=4AB = 4 și raza cercului circumscris egală cu 44. Arătați că aria triunghiului ABCABC este egală cu 838\sqrt{3}.

Rezolvare

1
3 puncte
BC=8BC = 8, de unde obținem AC=43AC = 4\sqrt{3}
2
2 puncte
A△ABC=4⋅432=83\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \dfrac{4 \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(a12aa1011−a)A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & 2a \\ a & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -a \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y+2az=a+1ax+y=0x+y−az=−1\begin{cases} ax + y + 2az = a + 1 \\ ax + y = 0 \\ x + y - az = -1 \end{cases}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(2))=4\det(A(2)) = 4. b) Pentru a=1a = 1, arătați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții. c) Determinați numărul real aa pentru care sistemul de ecuații are soluția unică (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) și x0=ax_0 = a.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(2)=(21421011−2)A(2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(2))=∣21421011−2∣\det(A(2)) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=−4+8+0−4−0+4=4= -4 + 8 + 0 - 4 - 0 + 4 = 4
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Pentru a=1a = 1: {x+y+2z=2x+y=0x+y−z=−1\begin{cases} x + y + 2z = 2 \\ x + y = 0 \\ x + y - z = -1 \end{cases} și ∣11211011−1∣=0\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0
4
3 puncte
∣101−1∣≠0\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} \neq 0 și ∣1221001−1−1∣=0\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 0, deci sistemul de ecuații are o infinitate de soluții
c)5 puncte
5
2 puncte
c) det⁡(A(a))=∣a12aa1011−a∣=2a2−2a\det(A(a)) = \begin{vmatrix} a & 1 & 2a \\ a & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -a \end{vmatrix} = 2a^2 - 2a, pentru orice număr real aa și, cum sistemul de ecuații are soluție unică, obținem a∈R∖{0,1}a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}
6
3 puncte
Obținem x0=−12x_0 = -\dfrac{1}{2}, deci a=−12a = -\dfrac{1}{2}, care convine
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X4−3X3+X2−2X+mf = X^4 - 3X^3 + X^2 - 2X + m, unde mm este număr real. a) Pentru m=3m = 3, arătați că f(1)=0f(1) = 0. b) Determinați numerele reale mm pentru care (x1x2x3x4)2−x1−x2−x3−x4=1(x_1 x_2 x_3 x_4)^2 - x_1 - x_2 - x_3 - x_4 = 1, unde x1x_1, x2x_2, x3x_3 și x4x_4 sunt rădăcinile polinomului ff. c) Pentru m=0m = 0, determinați numerele reale aa pentru care restul împărțirii polinomului ff la polinomul X−aX - a este egal cu aa.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f=X4−3X3+X2−2X+3⇒f(1)=14−3⋅13+12−2⋅1+3f = X^4 - 3X^3 + X^2 - 2X + 3 \Rightarrow f(1) = 1^4 - 3 \cdot 1^3 + 1^2 - 2 \cdot 1 + 3
2
2 puncte
=1−3+1−2+3=0= 1 - 3 + 1 - 2 + 3 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
b) x1x2x3x4=mx_1 x_2 x_3 x_4 = m, x1+x2+x3+x4=3⇒(x1x2x3x4)2−x1−x2−x3−x4=m2−3x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 3 \Rightarrow (x_1 x_2 x_3 x_4)^2 - x_1 - x_2 - x_3 - x_4 = m^2 - 3, pentru orice număr real mm
4
2 puncte
m2−3=1m^2 - 3 = 1, deci m2−4=0m^2 - 4 = 0, de unde obținem m=−2m = -2 sau m=2m = 2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f=X4−3X3+X2−2Xf = X^4 - 3X^3 + X^2 - 2X și f(a)=af(a) = a, de unde obținem a4−3a3+a2−3a=0a^4 - 3a^3 + a^2 - 3a = 0
6
2 puncte
a(a−3)(a2+1)=0a(a - 3)(a^2 + 1) = 0 și, cum aa este număr real, obținem a=0a = 0 sau a=3a = 3

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+6x2+1f(x) = \dfrac{x^2 + 6}{\sqrt{x^2 + 1}}. a) Arătați că f′(x)=x(x2−4)(x2+1)x2+1f'(x) = \dfrac{x(x^2 - 4)}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=0x = 0, situat pe graficul funcției ff. c) Arătați că f(7x)−f(x)≤22f(7x) - f(x) \leq 2\sqrt{2}, pentru orice x∈[0,1]x \in [0, 1].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=2xx2+1−(x2+6)⋅2x2x2+1x2+1f'(x) = \dfrac{2x\sqrt{x^2 + 1} - (x^2 + 6) \cdot \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1}
2
2 puncte
=2x3+2x−x3−6x(x2+1)x2+1=x(x2−4)(x2+1)x2+1= \dfrac{2x^3 + 2x - x^3 - 6x}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}} = \dfrac{x(x^2 - 4)}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(0)=6f(0) = 6, f′(0)=0f'(0) = 0
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0)y - f(0) = f'(0)(x - 0), adică y=6y = 6
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe [0,2][0, 2] și, pentru orice x∈[2,+∞)x \in [2, +\infty), f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [2,+∞)[2, +\infty)
6
3 puncte
x∈[0,1]⇒7x∈[0,7]x \in [0, 1] \Rightarrow 7x \in [0, 7], f(0)=6f(0) = 6, f(1)=72f(1) = \dfrac{7}{\sqrt{2}}, f(7)=1122f(7) = \dfrac{11\sqrt{2}}{2}, de unde obținem 72≤f(x)\dfrac{7}{\sqrt{2}} \leq f(x) și f(7x)≤1122f(7x) \leq \dfrac{11\sqrt{2}}{2}, deci f(7x)−f(x)≤22f(7x) - f(x) \leq 2\sqrt{2}, pentru orice x∈[0,1]x \in [0, 1]
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x2−1+e2xf(x) = 3x^2 - 1 + e^{2x}. a) Arătați că ∫03(f(x)−e2x)dx=24\displaystyle\int_0^3 \left(f(x) - e^{2x}\right) dx = 24. b) Arătați că ∫014x(f(x)−3x2+1)dx=e2+1\displaystyle\int_0^1 4x\left(f(x) - 3x^2 + 1\right) dx = e^2 + 1. c) Demonstrați că lim⁡x→01x2∫0xf(t)t+1 dt=1\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} \int_0^x \dfrac{f(t)}{t + 1}\, dt = 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫03(f(x)−e2x)dx=∫03(3x2−1) dx=(x3−x)∣03\displaystyle\int_0^3 \left(f(x) - e^{2x}\right) dx = \int_0^3 (3x^2 - 1)\, dx = \left.(x^3 - x)\right|_0^3
2
2 puncte
=24−0=24= 24 - 0 = 24
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫014x(f(x)−3x2+1)dx=∫012x(e2x)′ dx=2xe2x∣01−e2x∣01\displaystyle\int_0^1 4x\left(f(x) - 3x^2 + 1\right) dx = \int_0^1 2x(e^{2x})'\, dx = \left.2xe^{2x}\right|_0^1 - \left.e^{2x}\right|_0^1
4
2 puncte
=2e2−e2+1=e2+1= 2e^2 - e^2 + 1 = e^2 + 1
c)5 puncte
5
3 puncte
c) lim⁡x→01x2∫0xf(t)t+1 dt=lim⁡x→0(∫0xf(t)t+1 dt)′(x2)′=lim⁡x→0f(x)2x(x+1)\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} \int_0^x \dfrac{f(t)}{t + 1}\, dt = \lim_{x \to 0} \dfrac{\left(\displaystyle\int_0^x \dfrac{f(t)}{t + 1}\, dt\right)'}{(x^2)'} = \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{2x(x + 1)}
6
2 puncte
=lim⁡x→0f′(x)4x+2=lim⁡x→06x+2e2x4x+2=1= \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f'(x)}{4x + 2} = \lim_{x \to 0} \dfrac{6x + 2e^{2x}}{4x + 2} = 1

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară Rezervă 2025 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Toamnă 2025 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac