BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2025 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați termenul a2a_2 al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, în care a1=5a_1 = 5 și a3=35a_3 = 35.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează a2=a1+a32=5+352a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2} = \frac{5 + 35}{2}
2
2 puncte
Se obține a2=402=20a_2 = \frac{40}{2} = 20
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3. Determinați numărul real mm pentru care f(m)=f(0)⋅f(1)f(m) = f(0) \cdot f(1).

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează f(0)=3f(0) = 3, f(1)=5f(1) = 5, f(m)=2m+3f(m) = 2m + 3, pentru orice număr real mm
2
2 puncte
Se rezolvă 2m+3=3⋅52m + 3 = 3 \cdot 5, de unde se obține m=6m = 6
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2−43=3x−63\sqrt[3]{x^2 - 4} = \sqrt[3]{3x - 6}.

Rezolvare

1
3 puncte
Se ridică la puterea a treia și se obține x2−4=3x−6x^2 - 4 = 3x - 6, de unde x2−3x+2=0x^2 - 3x + 2 = 0
2
2 puncte
Se obține x=1x = 1 sau x=2x = 2
Exercițiul 4
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea 3n2<1003n^2 < 100.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de o cifră are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile
2
3 puncte
În mulțimea numerelor naturale de o cifră sunt 6 numere nn pentru care 3n2<1003n^2 < 100, deci sunt 6 cazuri favorabile, de unde se obține p=610=35p = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,2)A(0, 2), B(2,5)B(2, 5) și CC, astfel încât BB este mijlocul segmentului ACAC. Determinați coordonatele punctului CC.

Rezolvare

1
3 puncte
Se scriu condițiile de mijloc: 2=0+xC22 = \frac{0 + x_C}{2} și 5=2+yC25 = \frac{2 + y_C}{2}
2
2 puncte
Se obține C(4,8)C(4, 8)
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AB=ACAB = AC și aria egală cu 18. Arătați că BC=62BC = 6\sqrt{2}.

Rezolvare

1
3 puncte
Din 18=AB⋅AC218 = \frac{AB \cdot AC}{2} și AB=ACAB = AC, se obține AB=AC=6AB = AC = 6
2
2 puncte
Se calculează BC2=72BC^2 = 72, de unde se obține BC=62BC = 6\sqrt{2}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x)=(1−x3x−x1+4x)A(x) = \begin{pmatrix} 1 - x & 3x \\ -x & 1 + 4x \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(2))=3\det(A(2)) = 3. b) Arătați că xA(y)−A(xy)=(x−1)I2xA(y) - A(xy) = (x - 1)I_2, pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numerele reale xx pentru care A(1)⋅A(x−1)=xA(x)A(1) \cdot A(x - 1) = xA(x).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează A(2)=(−16−29)A(2) = \begin{pmatrix} -1 & 6 \\ -2 & 9 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(2))=(−1)⋅9−6⋅(−2)\det(A(2)) = (-1) \cdot 9 - 6 \cdot (-2)
2
2 puncte
Se obține det⁡(A(2))=−9+12=3\det(A(2)) = -9 + 12 = 3
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează xA(y)−A(xy)=(x−xy3xy−xyx+4xy)−(1−xy3xy−xy1+4xy)=(x−100x−1)xA(y) - A(xy) = \begin{pmatrix} x - xy & 3xy \\ -xy & x + 4xy \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 - xy & 3xy \\ -xy & 1 + 4xy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - 1 & 0 \\ 0 & x - 1 \end{pmatrix}
4
2 puncte
Se obține (x−1)(1001)=(x−1)I2(x - 1)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = (x - 1)I_2, pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează A(1)⋅A(x−1)=(03−15)⋅(2−x3x−3−x+14x−3)=(3−3x12x−93−4x17x−12)A(1) \cdot A(x - 1) = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 - x & 3x - 3 \\ -x + 1 & 4x - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 3x & 12x - 9 \\ 3 - 4x & 17x - 12 \end{pmatrix}, pentru orice număr real xx
6
2 puncte
Se egalează (3−3x12x−93−4x17x−12)=(x−x23x2−x24x2+x)\begin{pmatrix} 3 - 3x & 12x - 9 \\ 3 - 4x & 17x - 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - x^2 & 3x^2 \\ -x^2 & 4x^2 + x \end{pmatrix}, de unde se obține x=1x = 1 sau x=3x = 3
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=14(x+1)(y+1)−1x \circ y = \frac{1}{4}(x + 1)(y + 1) - 1. a) Arătați că 1∘5=21 \circ 5 = 2. b) Arătați că e=3e = 3 este elementul neutru al legii de compoziție \u201e∘\circ\u201d. c) Determinați perechile (m,n)(m, n) de numere naturale, cu m≤nm \leq n, pentru care m∘n=3m \circ n = 3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează 1∘5=14(1+1)(5+1)−11 \circ 5 = \frac{1}{4}(1 + 1)(5 + 1) - 1
2
2 puncte
Se obține 1∘5=3−1=21 \circ 5 = 3 - 1 = 2
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se calculează x∘3=14(x+1)(3+1)−1=x+1−1=xx \circ 3 = \frac{1}{4}(x + 1)(3 + 1) - 1 = x + 1 - 1 = x, pentru orice număr real xx
4
3 puncte
Se calculează 3∘x=14(3+1)(x+1)−1=x+1−1=x3 \circ x = \frac{1}{4}(3 + 1)(x + 1) - 1 = x + 1 - 1 = x, pentru orice număr real xx, deci e=3e = 3 este elementul neutru al legii de compoziție \u201e∘\circ\u201d
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se rezolvă 14(m+1)(n+1)−1=3\frac{1}{4}(m + 1)(n + 1) - 1 = 3, echivalent cu (m+1)(n+1)=16(m + 1)(n + 1) = 16
6
3 puncte
Cum mm și nn sunt numere naturale, cu m≤nm \leq n, se obțin perechile (0,15)(0, 15), (1,7)(1, 7) și (3,3)(3, 3)

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2−3x−1+ln⁡xf(x) = x^2 - 3x - 1 + \ln x. a) Arătați că f′(x)=(2x−1)(x−1)xf'(x) = \frac{(2x - 1)(x - 1)}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Arătați că lim⁡x→1f(x)+3xln⁡x=3\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{f(x) + 3x}{\ln x} = 3. c) Demonstrați că f(x)+f(y)≤−214f(x) + f(y) \leq -\frac{21}{4}, pentru orice x∈(0,1]x \in (0, 1] și orice y∈[1,2]y \in [1, 2].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează f′(x)=2x−3+1xf'(x) = 2x - 3 + \frac{1}{x}
2
2 puncte
Se obține f′(x)=2x2−3x+1x=(2x−1)(x−1)xf'(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x} = \frac{(2x - 1)(x - 1)}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează lim⁡x→1f(x)+3xln⁡x=lim⁡x→1x2−1+ln⁡xln⁡x\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{f(x) + 3x}{\ln x} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1 + \ln x}{\ln x}, se aplică regula lui l'Hôpital: lim⁡x→1(x2−1+ln⁡x)′(ln⁡x)′=lim⁡x→12x+1x1x\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{(x^2 - 1 + \ln x)'}{(\ln x)'} = \lim_{x \to 1} \frac{2x + \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}
4
2 puncte
Se obține limita egală cu 33
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se rezolvă f′(x)=0f'(x) = 0, de unde x=12x = \frac{1}{2} sau x=1x = 1; pentru orice x∈(0,12]x \in \left(0, \frac{1}{2}\right], f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe (0,12]\left(0, \frac{1}{2}\right]; pentru orice x∈[12,1]x \in \left[\frac{1}{2}, 1\right], f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe [12,1]\left[\frac{1}{2}, 1\right]; pentru orice x∈[1,2]x \in [1, 2], f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [1,2][1, 2]
6
2 puncte
Pentru orice x∈(0,1]x \in (0, 1] și orice y∈[1,2]y \in [1, 2], rezultă f(x)≤f(12)f(x) \leq f\left(\frac{1}{2}\right) și f(y)≤f(2)f(y) \leq f(2); cum f(12)=−94−ln⁡2f\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{9}{4} - \ln 2 și f(2)=−3+ln⁡2f(2) = -3 + \ln 2, se obține f(x)+f(y)≤−214f(x) + f(y) \leq -\frac{21}{4}
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x−1xf(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x}}. a) Arătați că ∫24f(x)x dx=4\displaystyle\int_2^4 f(x)\sqrt{x} \, dx = 4. b) Arătați că ∫14f(x) dx=83\displaystyle\int_1^4 f(x) \, dx = \frac{8}{3}. c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției g:[2,3]→Rg : [2, 3] \to \mathbb{R}, g(x)=2f(x)g(x) = \frac{\sqrt{2}}{f(x)}, în jurul axei OxOx este egal cu πln⁡(4e)\pi \ln(4e).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează ∫24f(x)x dx=∫24(x−1) dx=x22∣24−x∣24\displaystyle\int_2^4 f(x)\sqrt{x} \, dx = \int_2^4 (x - 1) \, dx = \left.\frac{x^2}{2}\right|_2^4 - \left.x\right|_2^4
2
2 puncte
Se obține 6−2=46 - 2 = 4
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează ∫14f(x) dx=∫14(x−1x)dx=2xx3∣14−2x∣14\displaystyle\int_1^4 f(x) \, dx = \int_1^4 \left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) dx = \left.\frac{2x\sqrt{x}}{3}\right|_1^4 - \left.2\sqrt{x}\right|_1^4
4
2 puncte
Se obține 143−2=83\frac{14}{3} - 2 = \frac{8}{3}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează g(x)=2xx−1g(x) = \frac{\sqrt{2x}}{x - 1}, x∈[2,3]x \in [2, 3], deci V=π∫23(g(x))2 dx=2π∫23x(x−1)2 dxV = \pi\displaystyle\int_2^3 (g(x))^2 \, dx = 2\pi\int_2^3 \frac{x}{(x - 1)^2} \, dx
6
3 puncte
Se descompune x(x−1)2=1x−1+1(x−1)2\frac{x}{(x-1)^2} = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2} și se calculează 2π(ln⁡(x−1)∣23−1x−1∣23)=πln⁡(4e)2\pi\left(\left.\ln(x-1)\right|_2^3 - \left.\frac{1}{x-1}\right|_2^3\right) = \pi\ln(4e)

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2025 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Toamnă 2025 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac