BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2025 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 5⋅(0,7−0,2)+0,5=35 \cdot (0{,}7 - 0{,}2) + 0{,}5 = 3.

Rezolvare

1
2 puncte
5⋅(0,7−0,2)+0,5=5⋅0,5+0,55 \cdot (0{,}7 - 0{,}2) + 0{,}5 = 5 \cdot 0{,}5 + 0{,}5
2
3 puncte
=2,5+0,5=3= 2{,}5 + 0{,}5 = 3
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=6x−2f(x) = 6x - 2. Determinați numărul real mm pentru care f(m)=10f(m) = 10.

Rezolvare

1
2 puncte
f(m)=6m−2f(m) = 6m - 2, pentru orice număr real mm
2
3 puncte
6m−2=106m - 2 = 10, de unde obținem m=2m = 2
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 16−3x=1\sqrt{16 - 3x} = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
16−3x=116 - 3x = 1
2
2 puncte
x=5x = 5, care convine
Exercițiul 4
După o scumpire cu 60%60\%, un obiect costă 320320 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

Rezolvare

1
3 puncte
x+60100⋅x=320x + \frac{60}{100} \cdot x = 320, unde xx este prețul obiectului înainte de scumpire
2
2 puncte
x=200x = 200 de lei
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(3,0)A(3, 0), B(3,2)B(3, 2) și C(a,b)C(a, b), unde aa și bb sunt numere reale. Determinați numerele reale aa și bb, știind că punctul BB este mijlocul segmentului ACAC.

Rezolvare

1
2 puncte
a=3a = 3
2
3 puncte
2=0+b22 = \frac{0 + b}{2}, de unde obținem b=4b = 4
Exercițiul 6
Arătați că 5cos⁡60°−sin⁡30°+4(sin⁡60°)2=55\cos 60° - \sin 30° + 4(\sin 60°)^2 = 5.

Rezolvare

1
3 puncte
cos⁡60°=12\cos 60° = \frac{1}{2}, sin⁡30°=12\sin 30° = \frac{1}{2}, sin⁡60°=32\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}
2
2 puncte
5cos⁡60°−sin⁡30°+4(sin⁡60°)2=5⋅12−12+4⋅(32)2=52−12+4⋅34=55\cos 60° - \sin 30° + 4(\sin 60°)^2 = 5 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 4 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{3}{4} = 5

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x)=(2x−x−2)A(x) = \begin{pmatrix} 2 & x \\ -x & -2 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(5))=21\det(A(5)) = 21. b) Arătați că 2A(−1)+A(5)=3A(1)2A(-1) + A(5) = 3A(1). c) Determinați mulțimea numerelor reale xx pentru care det⁡(A(x)⋅A(−x)−x2I2)≥0\det\left(A(x) \cdot A(-x) - x^2 I_2\right) \geq 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) A(5)=(25−5−2)A(5) = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -5 & -2 \end{pmatrix}, det⁡(A(5))=2⋅(−2)−5⋅(−5)\det(A(5)) = 2 \cdot (-2) - 5 \cdot (-5)
2
2 puncte
=−4+25=21= -4 + 25 = 21
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(−1)=(2−11−2)A(-1) = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, 2A(−1)+A(5)=(63−3−6)2A(-1) + A(5) = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ -3 & -6 \end{pmatrix}
4
2 puncte
=3(21−1−2)=3A(1)= 3 \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = 3A(1)
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(−x)=(2−xx−2)A(-x) = \begin{pmatrix} 2 & -x \\ x & -2 \end{pmatrix}, A(x)⋅A(−x)−x2I2=(4−4x−4x4)A(x) \cdot A(-x) - x^2 I_2 = \begin{pmatrix} 4 & -4x \\ -4x & 4 \end{pmatrix}, de unde obținem det⁡(A(x)⋅A(−x)−x2I2)=16(1−x2)\det\left(A(x) \cdot A(-x) - x^2 I_2\right) = 16(1 - x^2), pentru orice număr real xx
6
2 puncte
16(1−x2)≥016(1 - x^2) \geq 0, de unde obținem x∈[−1,1]x \in [-1, 1]
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3+mX2−X−mf = X^3 + mX^2 - X - m, unde mm este număr real. a) Arătați că f(1)=0f(1) = 0, pentru orice număr real mm. b) Pentru m=−3m = -3, arătați că 33 este rădăcină a polinomului ff. c) Determinați numărul real mm pentru care (x1x2+x1x3+x2x3)2+x1x2x3(x1+x2+x3)=1(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)^2 + x_1x_2x_3(x_1 + x_2 + x_3) = 1, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f(1)=13+m⋅12−1−mf(1) = 1^3 + m \cdot 1^2 - 1 - m
2
2 puncte
=1+m−1−m=0= 1 + m - 1 - m = 0, pentru orice număr real mm
b)5 puncte
3
3 puncte
b) f=X3−3X2−X+3f = X^3 - 3X^2 - X + 3, f(3)=33−3⋅32−3+3f(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 - 3 + 3
4
2 puncte
=27−27−3+3=0= 27 - 27 - 3 + 3 = 0, deci 33 este rădăcină a polinomului ff
c)5 puncte
5
3 puncte
c) x1+x2+x3=−mx_1 + x_2 + x_3 = -m, x1x2+x1x3+x2x3=−1x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = -1, x1x2x3=mx_1x_2x_3 = m, pentru orice număr real mm
6
2 puncte
1−m2=11 - m^2 = 1, de unde obținem m=0m = 0

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=2x2−1+4xf(x) = 2x^2 - 1 + \frac{4}{x}. a) Arătați că f′(x)=4(x3−1)x2f'(x) = \frac{4(x^3 - 1)}{x^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=2x = 2, situat pe graficul funcției ff. c) Arătați că 6≤2x2+4x≤336 \leq 2x^2 + \frac{4}{x} \leq 33, pentru orice x∈[14,4]x \in \left[\frac{1}{4}, 4\right].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=4x−4x2f'(x) = 4x - \frac{4}{x^2}
2
2 puncte
=4x3−4x2=4(x3−1)x2= \frac{4x^3 - 4}{x^2} = \frac{4(x^3 - 1)}{x^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(2)=9f(2) = 9, f′(2)=7f'(2) = 7
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(2)=f′(2)(x−2)y - f(2) = f'(2)(x - 2), adică y=7x−5y = 7x - 5
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)=0⇔x=1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1; pentru orice x∈[14,1]x \in \left[\frac{1}{4}, 1\right], f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe [14,1]\left[\frac{1}{4}, 1\right] și, pentru orice x∈[1,4]x \in [1, 4], f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [1,4][1, 4]
6
3 puncte
Cum f(14)=1218f\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{121}{8}, f(1)=5f(1) = 5, f(4)=32f(4) = 32, obținem f(1)≤f(x)≤f(4)f(1) \leq f(x) \leq f(4), pentru orice x∈[14,4]x \in \left[\frac{1}{4}, 4\right], deci 6≤2x2+4x≤336 \leq 2x^2 + \frac{4}{x} \leq 33, pentru orice x∈[14,4]x \in \left[\frac{1}{4}, 4\right]
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x−1+2ln⁡xf(x) = x - 1 + 2\ln x. a) Arătați că ∫13(f(x)−2ln⁡x)dx=2\displaystyle\int_1^3 \left(f(x) - 2\ln x\right) dx = 2. b) Arătați că ∫1ef(x)−x+1x dx=1\displaystyle\int_1^e \frac{f(x) - x + 1}{x}\, dx = 1. c) Determinați numărul real aa, știind că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:(0,+∞)→Rg : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, g(x)=3x(f(x)+1)g(x) = 3x\left(f(x) + 1\right), axa OxOx și dreptele de ecuații x=1x = 1 și x=3x = 3 este egală cu a+27ln⁡3a + 27\ln 3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫13(f(x)−2ln⁡x)dx=∫13(x−1) dx=x22∣13−x∣13\displaystyle\int_1^3 \left(f(x) - 2\ln x\right) dx = \int_1^3 (x - 1)\, dx = \left.\frac{x^2}{2}\right|_1^3 - \left.x\right|_1^3
2
2 puncte
=4−2=2= 4 - 2 = 2
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫1ef(x)−x+1x dx=∫1e2ln⁡xx dx=∫1e2ln⁡x⋅(ln⁡x)′ dx=ln⁡2x∣1e\displaystyle\int_1^e \frac{f(x) - x + 1}{x}\, dx = \int_1^e \frac{2\ln x}{x}\, dx = \int_1^e 2\ln x \cdot (\ln x)'\, dx = \left.\ln^2 x\right|_1^e
4
2 puncte
=ln⁡2e−ln⁡21=1= \ln^2 e - \ln^2 1 = 1
c)5 puncte
5
3 puncte
c) g(x)=3x(x+2ln⁡x)g(x) = 3x(x + 2\ln x), x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), deci A=∫13g(x) dx=x3∣13+∫13(3x2)′⋅ln⁡x dx\mathcal{A} = \displaystyle\int_1^3 g(x)\, dx = \left.x^3\right|_1^3 + \int_1^3 (3x^2)' \cdot \ln x\, dx
6
2 puncte
=26+3x2ln⁡x∣13−3x22∣13=14+27ln⁡3= 26 + 3x^2 \ln x \Big|_1^3 - \left.\frac{3x^2}{2}\right|_1^3 = 14 + 27\ln 3, deci a+27ln⁡3=14+27ln⁡3a + 27\ln 3 = 14 + 27\ln 3, de unde obținem a=14a = 14

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2025 — Științele Naturii

Următor →

Model 2024 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac