BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă Rezervă 2010 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați log⁡2(3+5)+log⁡2(3−5)\log_2\left(3 + \sqrt{5}\right) + \log_2\left(3 - \sqrt{5}\right).

Rezolvare

1
3 puncte
Se aplică proprietatea logaritmilor: log⁡2(3+5)+log⁡2(3−5)=log⁡2(9−5)\log_2\left(3 + \sqrt{5}\right) + \log_2\left(3 - \sqrt{5}\right) = \log_2\left(9 - 5\right).
2
2 puncte
Se obține log⁡24=2\log_2 4 = 2.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=mx2+2x−5f(x) = mx^2 + 2x - 5. Determinați m∈Rm \in \mathbb{R} pentru care abscisa vârfului parabolei asociate funcției ff este egală cu 22.

Rezolvare

1
3 puncte
Abscisa vârfului parabolei este xV=−22m=2x_V = -\dfrac{2}{2m} = 2.
2
2 puncte
Se obține m=−12m = -\dfrac{1}{2}.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 31−x2=1273^{1-x^2} = \dfrac{1}{27}.

Rezolvare

1
3 puncte
Se scrie 31−x2=3−33^{1-x^2} = 3^{-3}, de unde 1−x2=−31 - x^2 = -3, deci x2=4x^2 = 4.
2
2 puncte
Se obține x∈{−2,2}x \in \{-2, 2\}.
Exercițiul 4
Calculați C62−A42C_6^2 - A_4^2.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează C62=6!2!⋅4!=15C_6^2 = \dfrac{6!}{2! \cdot 4!} = 15 și A42=4!(4−2)!=12A_4^2 = \dfrac{4!}{(4-2)!} = 12.
2
2 puncte
Se obține C62−A42=15−12=3C_6^2 - A_4^2 = 15 - 12 = 3.
Exercițiul 5
În sistemul de coordonate xOyxOy se consideră punctele O(0,0)O(0,0), A(2,−2)A(2,-2) și B(6,8)B(6,8). Calculați distanța de la punctul OO la mijlocul segmentului (AB)(AB).

Rezolvare

1
2 puncte
Dacă CC este mijlocul lui (AB)(AB), atunci C(4,3)C(4, 3).
2
3 puncte
Se calculează OC=42+32=25=5OC = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5.
Exercițiul 6
Calculați cos⁡130∘+cos⁡50∘\cos 130^\circ + \cos 50^\circ.

Rezolvare

1
2 puncte
Se folosește relația cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi - x) = -\cos x, ∀x∈R\forall x \in \mathbb{R}, deci cos⁡130∘=−cos⁡50∘\cos 130^\circ = -\cos 50^\circ.
2
3 puncte
Se obține cos⁡130∘+cos⁡50∘=−cos⁡50∘+cos⁡50∘=0\cos 130^\circ + \cos 50^\circ = -\cos 50^\circ + \cos 50^\circ = 0.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Pentru m∈Rm \in \mathbb{R} se consideră matricea A=(1−1−113−1m02)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 3 & -1 \\ m & 0 & 2 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x−y−z=−2x+3y−z=−2mx+2z=4\begin{cases} x - y - z = -2 \\ x + 3y - z = -2 \\ mx + 2z = 4 \end{cases}, unde x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbb{R}. a) Calculați determinantul matricei AA. b) Determinați m∈Rm \in \mathbb{R} pentru care matricea AA este inversabilă. c) Rezolvați sistemul pentru m=−1m = -1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează det⁡(A)=∣1−1−113−1m02∣=6+m+0+3m+0+2\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 3 & -1 \\ m & 0 & 2 \end{vmatrix} = 6 + m + 0 + 3m + 0 + 2.
2
2 puncte
Se obține det⁡(A)=8+4m\det(A) = 8 + 4m.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) AA inversabilă ⇔det⁡(A)≠0⇔8+4m≠0\Leftrightarrow \det(A) \neq 0 \Leftrightarrow 8 + 4m \neq 0.
4
2 puncte
Se obține m∈R∖{−2}m \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Pentru m=−1m = -1 rezultă det⁡(A)=4≠0\det(A) = 4 \neq 0.
6
3 puncte
Se rezolvă sistemul și se obține x=y=0x = y = 0, z=2z = 2.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2xy−2x−2y+3x \circ y = 2xy - 2x - 2y + 3. a) Demonstrați că x∘y=2(x−1)(y−1)+1x \circ y = 2(x-1)(y-1) + 1, pentru oricare x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. b) Determinați elementul neutru al legii ‘∘\circ". c) Dați exemplu de două numere a,b∈Q∖Za, b \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} pentru care a∘b∈Za \circ b \in \mathbb{Z}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) Se calculează x∘y=2xy−2x−2y+2+1=2x(y−1)−2(y−1)+1x \circ y = 2xy - 2x - 2y + 2 + 1 = 2x(y-1) - 2(y-1) + 1.
2
3 puncte
Se obține x∘y=2(x−1)(y−1)+1x \circ y = 2(x-1)(y-1) + 1, pentru oricare x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Din x∘e=xx \circ e = x, ∀x∈R\forall x \in \mathbb{R}, obținem 2(x−1)(e−1)+1=x2(x-1)(e-1) + 1 = x, ∀x∈R\forall x \in \mathbb{R}.
4
3 puncte
Se obține e=32e = \dfrac{3}{2}.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Un exemplu este a=52a = \dfrac{5}{2}, b=53b = \dfrac{5}{3}.
6
3 puncte
Se verifică 52∘53=2⋅32⋅23+1=2+1=3∈Z\dfrac{5}{2} \circ \dfrac{5}{3} = 2 \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{2}{3} + 1 = 2 + 1 = 3 \in \mathbb{Z}.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+3f(x) = \sqrt{x^2 + 3}. a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul A(1,2)A(1, 2). c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞+\infty la graficul funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează f′(x)=(x2+3)′2x2+3=2x2x2+3f'(x) = \dfrac{(x^2 + 3)'}{2\sqrt{x^2 + 3}} = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 3}}.
2
2 puncte
Se obține f′(x)=xx2+3f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 3}}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează f(1)=2f(1) = 2 și f′(1)=12f'(1) = \dfrac{1}{2}, ecuația tangentei este y−2=12(x−1)y - 2 = \dfrac{1}{2}(x - 1), deci y=12x+32y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}.
4
2 puncte
c) Se calculează m=lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞x2+3x=1m = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 + 3}}{x} = 1.
c)5 puncte
5
2 puncte
Se calculează n=lim⁡x→+∞(x2+3−x)=lim⁡x→+∞3x2+3+x=0n = \displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x^2 + 3} - x\right) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3}{\sqrt{x^2 + 3} + x} = 0.
6
3 puncte
Dreapta y=xy = x este asimptotă oblică spre +∞+\infty la graficul funcției ff.
Exercițiul 2
Pentru n∈N∗n \in \mathbb{N}^* se consideră funcțiile fn:(0,+∞)→Rf_n : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, fn(x)=xnln⁡xf_n(x) = x^n \ln x. a) Calculați ∫ee2ln⁡xf1(x) dx\displaystyle\int_e^{e^2} \frac{\ln x}{f_1(x)}\,dx. b) Demonstrați că primitivele funcției f1f_1 sunt convexe pe intervalul [1e,+∞)\left[\dfrac{1}{e}, +\infty\right). c) Calculați ∫1ef2009(x)x2010 dx\displaystyle\int_1^e \frac{f_{2009}(x)}{x^{2010}}\,dx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se observă că f1(x)=xln⁡xf_1(x) = x \ln x, deci ∫ee2ln⁡xxln⁡x dx=∫ee21x dx=ln⁡x∣ee2\displaystyle\int_e^{e^2} \frac{\ln x}{x \ln x}\,dx = \int_e^{e^2} \frac{1}{x}\,dx = \left.\ln x\right|_e^{e^2}.
2
2 puncte
Se obține ln⁡e2−ln⁡e=2−1=1\ln e^2 - \ln e = 2 - 1 = 1.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Fie FF o primitivă a funcției f1f_1. Atunci F′′(x)=f1′(x)=1+ln⁡xF''(x) = f_1'(x) = 1 + \ln x.
4
2 puncte
Se arată că 1+ln⁡x≥01 + \ln x \geq 0, ∀x∈[1e,+∞)\forall x \in \left[\dfrac{1}{e}, +\infty\right), deci FF este convexă pe [1e,+∞)\left[\dfrac{1}{e}, +\infty\right).
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează ∫1ex2009ln⁡xx2010 dx=∫1eln⁡xx dx=ln⁡2x2∣1e\displaystyle\int_1^e \frac{x^{2009} \ln x}{x^{2010}}\,dx = \int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx = \left.\frac{\ln^2 x}{2}\right|_1^e.
6
2 puncte
Se obține 12−0=12\dfrac{1}{2} - 0 = \dfrac{1}{2}.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2010 — Științele Naturii

Următor →

Model 2010 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac