BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă Rezervă 2014 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (1+2)2−22=3\left(1 + \sqrt{2}\right)^2 - 2\sqrt{2} = 3.

Rezolvare

1
3 puncte
(1+2)2=3+22\left(1 + \sqrt{2}\right)^2 = 3 + 2\sqrt{2}
2
2 puncte
3+22−22=33 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 3
Exercițiul 2
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x−1f(x) = x - 1 cu axa OxOx.

Rezolvare

1
3 puncte
f(x)=0⇒x−1=0f(x) = 0 \Rightarrow x - 1 = 0
2
2 puncte
Coordonatele punctului de intersecție sunt x=1x = 1 și y=0y = 0
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+1=323^{x+1} = 3^2.

Rezolvare

1
3 puncte
x+1=2x + 1 = 2
2
2 puncte
x=1x = 1
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să fie divizor al lui 88.

Rezolvare

1
2 puncte
Numerele naturale de o cifră, divizori ai lui 88, sunt 11, 22, 44 și 88, deci sunt 44 cazuri favorabile
2
1 punct
Sunt 1010 numere naturale de o cifră, deci sunt 1010 cazuri posibile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=410=25p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,1)A(1, 1), B(3,1)B(3, 1) și C(3,3)C(3, 3). Arătați că triunghiul ABCABC este isoscel.

Rezolvare

1
2 puncte
AB=2AB = 2
2
3 puncte
BC=2⇒AB=BCBC = 2 \Rightarrow AB = BC, deci △ABC\triangle ABC este isoscel
Exercițiul 6
Determinați lungimea laturii ABAB a triunghiului ABCABC dreptunghic în AA, știind că BC=10BC = 10 și m(∡C)=30°m(\measuredangle C) = 30°.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡30°=AB10\sin 30° = \dfrac{AB}{10}
2
3 puncte
AB=5AB = 5

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(a183)A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 8 & 3 \end{pmatrix} și B=(1183)B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 8 & 3 \end{pmatrix}, unde aa este număr întreg. a) Arătați că det⁡B=−5\det B = -5. b) Arătați că det⁡A≠0\det A \neq 0 pentru orice număr întreg aa. c) Determinați numărul întreg aa știind că inversa matricei AA are toate elementele numere întregi.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) det⁡B=∣1183∣=\det B = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 8 & 3 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=3−8=−5= 3 - 8 = -5
b)5 puncte
3
3 puncte
b) det⁡A=∣a183∣=3a−8\det A = \begin{vmatrix} a & 1 \\ 8 & 3 \end{vmatrix} = 3a - 8
4
2 puncte
a∈Z⇒3a−8≠0a \in \mathbb{Z} \Rightarrow 3a - 8 \neq 0
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A−1=13a−8(3−1−8a)A^{-1} = \dfrac{1}{3a - 8}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -8 & a \end{pmatrix}
6
1 punct
3a−8=−1⇒a=733a - 8 = -1 \Rightarrow a = \dfrac{7}{3} nu este număr întreg
7
1 punct
3a−8=1⇒a=33a - 8 = 1 \Rightarrow a = 3 pentru care inversa matricei AA are toate elementele numere întregi
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−5x−5y+30x * y = xy - 5x - 5y + 30. a) Arătați că 1∗5=51 * 5 = 5. b) Arătați că x∗y=(x−5)(y−5)+5x * y = (x - 5)(y - 5) + 5 pentru orice numere reale xx și yy. c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∗x=xx * x = x.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 1∗5=1⋅5−5⋅1−5⋅5+30=1 * 5 = 1 \cdot 5 - 5 \cdot 1 - 5 \cdot 5 + 30 =
2
2 puncte
=−25+30=5= -25 + 30 = 5
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗y=xy−5x−5y+25+5=x * y = xy - 5x - 5y + 25 + 5 =
4
3 puncte
=x(y−5)−5(y−5)+5=(x−5)(y−5)+5= x(y - 5) - 5(y - 5) + 5 = (x - 5)(y - 5) + 5 pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
3 puncte
c) (x−5)2+5=x⇔x2−11x+30=0(x - 5)^2 + 5 = x \Leftrightarrow x^2 - 11x + 30 = 0
6
2 puncte
x1=5x_1 = 5 și x2=6x_2 = 6

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−xf(x) = x^2 - x. a) Arătați că f′(x)=2x−1f'(x) = 2x - 1, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Calculați lim⁡x→+∞f(x)x2\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x^2}. c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x0=1x_0 = 1, situat pe graficul funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(x2−x)′=f'(x) = (x^2 - x)' =
2
3 puncte
=(x2)′−x′=2x−1= (x^2)' - x' = 2x - 1, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)x2=lim⁡x→+∞x2−xx2=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 - x}{x^2} =
4
3 puncte
=1= 1
c)5 puncte
5
2 puncte
c) y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x - 1)
6
3 puncte
f(1)=0f(1) = 0, f′(1)=1f'(1) = 1, deci ecuația tangentei este y=x−1y = x - 1
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=2x+1xf(x) = 2x + \dfrac{1}{x}. a) Arătați că ∫1e1x dx=1\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\, dx = 1. b) Arătați că funcția F:(0,+∞)→RF : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, F(x)=x2+ln⁡x+2F(x) = x^2 + \ln x + 2 este o primitivă a funcției ff. c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=1x = 1 și x=2x = 2 are aria mai mică strict decât 44.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫1e1x dx=ln⁡x∣1e=\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\, dx = \ln x\Big|_1^e =
2
2 puncte
=ln⁡e−ln⁡1=1= \ln e - \ln 1 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
b) F′(x)=(x2+ln⁡x+2)′=2x+1x=F'(x) = \left(x^2 + \ln x + 2\right)' = 2x + \dfrac{1}{x} =
4
2 puncte
=f(x)= f(x) pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), deci FF este o primitivă a funcției ff
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A=∫12∣f(x)∣ dx=∫12(2x+1x) dx=(x2+ln⁡x)∣12=3+ln⁡2\mathcal{A} = \displaystyle\int_1^2 |f(x)|\, dx = \int_1^2 \left(2x + \dfrac{1}{x}\right)\, dx = \left(x^2 + \ln x\right)\Big|_1^2 = 3 + \ln 2
6
2 puncte
2<e⇒ln⁡2<ln⁡e⇒3+ln⁡2<3+1⇒A<42 < e \Rightarrow \ln 2 < \ln e \Rightarrow 3 + \ln 2 < 3 + 1 \Rightarrow \mathcal{A} < 4

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă Rezervă 2014 — Matematică-Informatică

Următor →

Model 2014 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac