BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă Rezervă 2015 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați rația progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, știind că a1=1a_1 = 1 și a2=2015a_2 = 2015.

Rezolvare

1
3 puncte
r=a2−a1=2015−1=r = a_2 - a_1 = 2015 - 1 =
2
2 puncte
=2014= 2014
Exercițiul 2
Determinați valoarea maximă a funcției f:[1,4]→Rf : [1, 4] \to \mathbb{R}, f(x)=x+1f(x) = x + 1.

Rezolvare

1
3 puncte
Valoarea maximă a funcției ff este f(4)=f(4) =
2
2 puncte
=4+1=5= 4 + 1 = 5
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x2−8x)=log⁡39\log_3\left(x^2 - 8x\right) = \log_3 9.

Rezolvare

1
3 puncte
x2−8x=9⇔x2−8x−9=0x^2 - 8x = 9 \Leftrightarrow x^2 - 8x - 9 = 0
2
2 puncte
x1=−1x_1 = -1 și x2=9x_2 = 9, care verifică ecuația
Exercițiul 4
Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\}.

Rezolvare

1
2 puncte
Prima cifră se poate alege în 44 moduri, a doua cifră se poate alege în câte 33 moduri
2
3 puncte
Ultima cifră se poate alege, pentru fiecare mod de alegere a primelor două cifre, în câte 22 moduri, deci se pot forma 4⋅3⋅2=244 \cdot 3 \cdot 2 = 24 de numere
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(3,3)A(3, 3), B(6,3)B(6, 3) și C(4,0)C(4, 0). Determinați coordonatele punctului DD, știind că ABCDABCD este paralelogram.

Rezolvare

1
3 puncte
xA+xC=xB+xD⇒xD=1x_A + x_C = x_B + x_D \Rightarrow x_D = 1
2
2 puncte
yA+yC=yB+yD⇒yD=0y_A + y_C = y_B + y_D \Rightarrow y_D = 0
Exercițiul 6
Calculați lungimea laturii BCBC a triunghiului ABCABC în care AB=1AB = 1, B=π3B = \dfrac{\pi}{3} și C=π6C = \dfrac{\pi}{6}.

Rezolvare

1
2 puncte
A=π2A = \dfrac{\pi}{2}
2
3 puncte
BC=2BC = 2

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I3=(100010001)I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, O3=(000000000)O_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} și A(a)=(1aa+101a+2001)A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & a+1 \\ 0 & 1 & a+2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(1))=1\det(A(1)) = 1. b) Determinați numerele reale aa, știind că A2(a)−2A(a)+I3=O3A^2(a) - 2A(a) + I_3 = O_3, unde A2(a)=A(a)⋅A(a)A^2(a) = A(a) \cdot A(a). c) Arătați că A(2)+A(4)+A(6)+…+A(100)=50A(51)A(2) + A(4) + A(6) + \ldots + A(100) = 50A(51).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(1)=(112013001)⇒det⁡(A(1))=∣112013001∣=A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=1+0+0−0−0−0=1= 1 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A2(a)=(12aa2+4a+2012a+4001)A^2(a) = \begin{pmatrix} 1 & 2a & a^2 + 4a + 2 \\ 0 & 1 & 2a + 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, 2A(a)=(22a2a+2022a+4002)2A(a) = \begin{pmatrix} 2 & 2a & 2a + 2 \\ 0 & 2 & 2a + 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
4
1 punct
A2(a)−2A(a)+I3=(00a2+2a000000)A^2(a) - 2A(a) + I_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a^2 + 2a \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
5
2 puncte
(00a2+2a000000)=(000000000)⇔a2+2a=0⇔a1=−2\begin{pmatrix} 0 & 0 & a^2 + 2a \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \Leftrightarrow a^2 + 2a = 0 \Leftrightarrow a_1 = -2 și a2=0a_2 = 0
c)5 puncte
6
3 puncte
c) A(2)+A(100)=2A(51)A(2) + A(100) = 2A(51), A(4)+A(98)=2A(51)A(4) + A(98) = 2A(51), ..., A(50)+A(52)=2A(51)A(50) + A(52) = 2A(51)
7
2 puncte
A(2)+A(4)+A(6)+…+A(100)=25⋅2A(51)=50A(51)A(2) + A(4) + A(6) + \ldots + A(100) = 25 \cdot 2A(51) = 50A(51)
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−4X2+mX+2f = X^3 - 4X^2 + mX + 2, unde mm este număr real. a) Arătați că f(0)=2f(0) = 2. b) Determinați numărul real mm pentru care x1=x2+x3x_1 = x_2 + x_3, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff. c) Pentru m=8m = 8, arătați că polinomul ff nu are toate rădăcinile reale.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f(0)=03−4⋅02+m⋅0+2=f(0) = 0^3 - 4 \cdot 0^2 + m \cdot 0 + 2 =
2
2 puncte
=2= 2
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x1+x2+x3=4x_1 + x_2 + x_3 = 4, x1=x2+x3⇔x1=2x_1 = x_2 + x_3 \Leftrightarrow x_1 = 2
4
3 puncte
f(2)=0⇔2m−6=0⇔m=3f(2) = 0 \Leftrightarrow 2m - 6 = 0 \Leftrightarrow m = 3
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f=X3−4X2+8X+2f = X^3 - 4X^2 + 8X + 2, x1+x2+x3=4x_1 + x_2 + x_3 = 4 și x1x2+x1x3+x2x3=8x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 8
6
3 puncte
Cum x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)=16−16=0x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) = 16 - 16 = 0, dacă polinomul ff ar avea toate rădăcinile reale, am obține x1=x2=x3=0x_1 = x_2 = x_3 = 0, contradicție cu f(0)=2f(0) = 2

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex(x2−6x+9)f(x) = e^x\left(x^2 - 6x + 9\right). a) Arătați că f′(x)=ex(x2−4x+3)f'(x) = e^x\left(x^2 - 4x + 3\right), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff. c) Demonstrați că ex(x−3)2≤4ee^x(x - 3)^2 \leq 4e, pentru orice x∈(−∞,3]x \in (-\infty, 3].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=ex(x2−6x+9)+ex(2x−6)=f'(x) = e^x(x^2 - 6x + 9) + e^x(2x - 6) =
2
2 puncte
=ex(x2−6x+9+2x−6)=ex(x2−4x+3)= e^x(x^2 - 6x + 9 + 2x - 6) = e^x(x^2 - 4x + 3), x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f′(x)=0⇔x1=1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x_1 = 1 și x2=3x_2 = 3
4
1 punct
f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈(−∞,1]x \in (-\infty, 1], deci ff este crescătoare pe (−∞,1](-\infty, 1]
5
1 punct
f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈[1,3]x \in [1, 3], deci ff este descrescătoare pe [1,3][1, 3]
6
1 punct
f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈[3,+∞)x \in [3, +\infty), deci ff este crescătoare pe [3,+∞)[3, +\infty)
c)5 puncte
7
3 puncte
c) f(x)≤f(1)f(x) \leq f(1), pentru orice x∈(−∞,3]x \in (-\infty, 3]
8
2 puncte
Cum f(1)=4ef(1) = 4e, obținem ex(x−3)2≤4ee^x(x - 3)^2 \leq 4e, pentru orice x∈(−∞,3]x \in (-\infty, 3]
Exercițiul 2
Pentru fiecare număr natural nenul nn, se consideră numărul In=∫01(1−x3)n dxI_n = \displaystyle\int_0^1 \left(1 - x^3\right)^n\, dx. a) Arătați că I1=34I_1 = \dfrac{3}{4}. b) Arătați că In+1≤InI_{n+1} \leq I_n, pentru orice număr natural nenul nn. c) Demonstrați că In+1=3(n+1)3n+4InI_{n+1} = \dfrac{3(n+1)}{3n+4}I_n, pentru orice număr natural nenul nn.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) I1=∫01(1−x3) dx=(x−x44)∣01=I_1 = \displaystyle\int_0^1 \left(1 - x^3\right)\, dx = \left(x - \dfrac{x^4}{4}\right)\Big|_0^1 =
2
2 puncte
=1−14=34= 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) In+1−In=∫01(−x3)(1−x3)n dxI_{n+1} - I_n = \displaystyle\int_0^1 \left(-x^3\right)\left(1 - x^3\right)^n\, dx, pentru orice număr natural nenul nn
4
3 puncte
Pentru orice număr natural nenul nn și x∈[0,1]x \in [0, 1] avem −x3≤0-x^3 \leq 0 și (1−x3)n≥0⇒In+1≤In\left(1 - x^3\right)^n \geq 0 \Rightarrow I_{n+1} \leq I_n
c)5 puncte
5
2 puncte
c) In+1=∫01x′(1−x3)n+1 dx=x(1−x3)n+1∣01−∫01x(n+1)(1−x3)n(−3x2) dx=I_{n+1} = \displaystyle\int_0^1 x'\left(1 - x^3\right)^{n+1}\, dx = x\left(1 - x^3\right)^{n+1}\Big|_0^1 - \int_0^1 x(n+1)\left(1 - x^3\right)^n\left(-3x^2\right)\, dx =
6
3 puncte
=3(n+1)∫01x3(1−x3)n dx=−3(n+1)∫01(1−x3−1)(1−x3)n dx=−3(n+1)(In+1−In)= 3(n+1)\displaystyle\int_0^1 x^3\left(1 - x^3\right)^n\, dx = -3(n+1)\int_0^1 \left(1 - x^3 - 1\right)\left(1 - x^3\right)^n\, dx = -3(n+1)(I_{n+1} - I_n), deci In+1=3(n+1)3n+4InI_{n+1} = \dfrac{3(n+1)}{3n+4}I_n, pentru orice număr natural nenul nn

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2015 — Tehnologic

Următor →

Bac Toamnă Rezervă 2015 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac