BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă Rezervă 2015 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră numerele complexe z1=3+iz_1 = 3 + i și z2=3−iz_2 = 3 - i. Arătați că numărul z1z2z_1z_2 este real.

Rezolvare

1
3 puncte
z1z2=(3+i)(3−i)=9−i2=z_1z_2 = (3 + i)(3 - i) = 9 - i^2 =
2
2 puncte
=10= 10, care este număr real
Exercițiul 2
Determinați numărul real aa, știind că punctul A(1,1)A(1, 1) aparține graficului funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+af(x) = x + a.

Rezolvare

1
3 puncte
f(1)=1⇔1+a=1f(1) = 1 \Leftrightarrow 1 + a = 1
2
2 puncte
a=0a = 0
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x3+2x−43=x\sqrt[3]{x^3 + 2x - 4} = x.

Rezolvare

1
3 puncte
x3+2x−4=x3⇔2x−4=0x^3 + 2x - 4 = x^3 \Leftrightarrow 2x - 4 = 0
2
2 puncte
x=2x = 2
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={1,2,3,…,80}A = \{1, 2, 3, \ldots, 80\}, acesta să fie divizibil cu 77.

Rezolvare

1
1 punct
Mulțimea AA are 8080 de elemente, deci sunt 8080 de cazuri posibile
2
2 puncte
În mulțimea AA sunt 1111 numere divizibile cu 77, deci sunt 1111 cazuri favorabile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=1180p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{11}{80}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele O(0,0)O(0, 0), A(1,2)A(1, 2) și B(2,a)B(2, a). Determinați numărul real aa, știind că punctele OO, AA și BB sunt coliniare.

Rezolvare

1
2 puncte
mOA=2m_{OA} = 2 și mOB=a2m_{OB} = \dfrac{a}{2}
2
3 puncte
mOA=mOB⇔a=4m_{OA} = m_{OB} \Leftrightarrow a = 4
Exercițiul 6
Se consideră E(x)=cos⁡x2+sin⁡xE(x) = \cos\dfrac{x}{2} + \sin x, unde xx este număr real. Arătați că E(π3)=3E\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}.

Rezolvare

1
2 puncte
E(π3)=cos⁡π6+sin⁡π3=E\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{\pi}{6} + \sin\dfrac{\pi}{3} =
2
3 puncte
=32+32=3= \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(2xx2)A(x) = \begin{pmatrix} 2 & x \\ x & 2 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=4\det(A(0)) = 4. b) Determinați numărul real aa, știind că A(1)+A(3)=aA(2)A(1) + A(3) = aA(2). c) Arătați că A(x)A(y)=2A(x+y)+xyI2A(x)A(y) = 2A(x + y) + xyI_2, pentru orice numere reale xx și yy, unde I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) A(0)=(2002)⇒det⁡(A(0))=∣2002∣=2⋅2−0⋅0=A(0) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 0 \cdot 0 =
2
2 puncte
=4−0=4= 4 - 0 = 4
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(1)=(2112)A(1) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, A(3)=(2332)A(3) = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, A(2)=(2222)A(2) = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}
4
2 puncte
(4444)=a(2222)⇔a=2\begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \Leftrightarrow a = 2
c)5 puncte
5
2 puncte
c) A(x)A(y)=(4+xy2x+2y2x+2y4+xy)A(x)A(y) = \begin{pmatrix} 4 + xy & 2x + 2y \\ 2x + 2y & 4 + xy \end{pmatrix}
6
3 puncte
2A(x+y)+xyI2=2(2x+yx+y2)+(xy00xy)=(4+xy2(x+y)2(x+y)4+xy)=A(x)A(y)2A(x + y) + xyI_2 = 2\begin{pmatrix} 2 & x + y \\ x + y & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} xy & 0 \\ 0 & xy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + xy & 2(x + y) \\ 2(x + y) & 4 + xy \end{pmatrix} = A(x)A(y), pentru orice numere reale xx și yy
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=3xy+6x+6y+10x * y = 3xy + 6x + 6y + 10. a) Arătați că 2∗(−2)=−22 * (-2) = -2. b) Arătați că x∗y=3(x+2)(y+2)−2x * y = 3(x + 2)(y + 2) - 2, pentru orice numere reale xx și yy. c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∗x∗x=xx * x * x = x.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 2∗(−2)=3⋅2⋅(−2)+6⋅2+6⋅(−2)+10=2 * (-2) = 3 \cdot 2 \cdot (-2) + 6 \cdot 2 + 6 \cdot (-2) + 10 =
2
2 puncte
=−12+12−12+10=−2= -12 + 12 - 12 + 10 = -2
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗y=3xy+6x+6y+12−2=x * y = 3xy + 6x + 6y + 12 - 2 =
4
3 puncte
=3x(y+2)+6(y+2)−2=3(x+2)(y+2)−2= 3x(y + 2) + 6(y + 2) - 2 = 3(x + 2)(y + 2) - 2, pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x∗x∗x=9(x+2)3−2x * x * x = 9(x + 2)^3 - 2
6
3 puncte
9(x+2)3−2=x⇔x1=−739(x + 2)^3 - 2 = x \Leftrightarrow x_1 = -\dfrac{7}{3}, x2=−2x_2 = -2, x3=−53x_3 = -\dfrac{5}{3}

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(x+1)exf(x) = (x + 1)e^x. a) Arătați că f′(x)=(x+2)exf'(x) = (x + 2)e^x, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=0x = 0, situat pe graficul funcției ff. c) Arătați că funcția ff este convexă pe intervalul [−3,+∞)[-3, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(x+1)′⋅ex+(x+1)⋅(ex)′=f'(x) = (x + 1)' \cdot e^x + (x + 1) \cdot (e^x)' =
2
3 puncte
=ex+(x+1)ex=(x+2)ex= e^x + (x + 1)e^x = (x + 2)e^x, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(0)=1f(0) = 1, f′(0)=2f'(0) = 2
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0)⇒y=2x+1y - f(0) = f'(0)(x - 0) \Rightarrow y = 2x + 1
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′′(x)=(x+3)exf''(x) = (x + 3)e^x, x∈Rx \in \mathbb{R}
6
3 puncte
f′′(x)≥0f''(x) \geq 0, pentru orice x∈[−3,+∞)x \in [-3, +\infty), deci ff este convexă pe intervalul [−3,+∞)[-3, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3+3xx2+1f(x) = \dfrac{x^3 + 3x}{x^2 + 1}. a) Arătați că ∫−11(x2+1)f(x) dx=0\displaystyle\int_{-1}^1 \left(x^2 + 1\right)f(x)\, dx = 0. b) Arătați că ∫01f(x) dx=12+ln⁡2\displaystyle\int_0^1 f(x)\, dx = \dfrac{1}{2} + \ln 2. c) Determinați numărul real mm, m>0m > 0, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)−xg(x) = f(x) - x, axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x = 0 și x=mx = m, are aria egală cu ln⁡2\ln 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫−11(x2+1)⋅x3+3xx2+1 dx=∫−11(x3+3x) dx=(x44+3⋅x22)∣−11=\displaystyle\int_{-1}^1 (x^2 + 1) \cdot \dfrac{x^3 + 3x}{x^2 + 1}\, dx = \int_{-1}^1 (x^3 + 3x)\, dx = \left(\dfrac{x^4}{4} + 3 \cdot \dfrac{x^2}{2}\right)\Big|_{-1}^1 =
2
2 puncte
=(14+32)−(14+32)=0= \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2}\right) - \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2}\right) = 0
b)5 puncte
3
2 puncte
b) ∫01x3+3xx2+1 dx=∫01(x+2xx2+1) dx=\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^3 + 3x}{x^2 + 1}\, dx = \int_0^1 \left(x + \dfrac{2x}{x^2 + 1}\right)\, dx =
4
3 puncte
=(x22+ln⁡(x2+1))∣01=12+ln⁡2= \left(\dfrac{x^2}{2} + \ln(x^2 + 1)\right)\Big|_0^1 = \dfrac{1}{2} + \ln 2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A=∫0m∣g(x)∣ dx=∫0m2xx2+1 dx=ln⁡(x2+1)∣0m=ln⁡(m2+1)\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^m |g(x)|\, dx = \int_0^m \dfrac{2x}{x^2 + 1}\, dx = \ln(x^2 + 1)\Big|_0^m = \ln(m^2 + 1)
6
2 puncte
ln⁡(m2+1)=ln⁡2⇔m2+1=2\ln(m^2 + 1) = \ln 2 \Leftrightarrow m^2 + 1 = 2 și, cum m>0m > 0, obținem m=1m = 1

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă Rezervă 2015 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Toamnă Rezervă 2015 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac