BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă Rezervă 2015 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că media geometrică a numerelor a=16a = 16 și b=9b = 9 este egală cu 1212.

Rezolvare

1
3 puncte
mg=16⋅9=m_g = \sqrt{16 \cdot 9} =
2
2 puncte
=4⋅3=12= 4 \cdot 3 = 12
Exercițiul 2
Determinați numărul real mm pentru care f(2)=0f(2) = 0, unde f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+mf(x) = x + m.

Rezolvare

1
2 puncte
f(2)=2+mf(2) = 2 + m
2
3 puncte
2+m=0⇔m=−22 + m = 0 \Leftrightarrow m = -2
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 32x+1=353^{2x+1} = 3^5.

Rezolvare

1
3 puncte
2x+1=52x + 1 = 5
2
2 puncte
x=2x = 2
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}, acesta să fie multiplu de 22.

Rezolvare

1
1 punct
Mulțimea AA are 99 elemente, deci sunt 99 cazuri posibile
2
2 puncte
În mulțimea AA sunt 44 multipli de 22, deci sunt 44 cazuri favorabile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=49p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{4}{9}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(−1,3)A(-1, 3) și B(5,3)B(5, 3). Determinați coordonatele mijlocului segmentului ABAB.

Rezolvare

1
3 puncte
xM=2x_M = 2
2
2 puncte
yM=3y_M = 3, unde punctul MM este mijlocul segmentului ABAB
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡x=12\sin x = \dfrac{1}{2}, știind că x∈(0,π2)x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right) și cos⁡x=32\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡2x=1−cos⁡2x=1−(32)2=14\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}
2
2 puncte
Cum x∈(0,π2)x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right), obținem sin⁡x=12\sin x = \dfrac{1}{2}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(1321)A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, B=(−4004)B = \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} și C(x)=(x123)C(x) = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡A=−5\det A = -5. b) Arătați că det⁡(A+C(−1))=det⁡B\det(A + C(-1)) = \det B. c) Determinați numărul real xx pentru care C(x)⋅A−A⋅C(x)=BC(x) \cdot A - A \cdot C(x) = B.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡A=∣1321∣=1⋅1−2⋅3=\det A = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 =
2
2 puncte
=1−6=−5= 1 - 6 = -5
b)5 puncte
3
3 puncte
b) C(−1)=(−1123)C(-1) = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}, A+C(−1)=(0444)⇒det⁡(A+C(−1))=−16A + C(-1) = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 4 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A + C(-1)) = -16
4
2 puncte
det⁡B=∣−4004∣=−16\det B = \begin{vmatrix} -4 & 0 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = -16, deci det⁡(A+C(−1))=det⁡B\det(A + C(-1)) = \det B
c)5 puncte
5
3 puncte
c) C(x)⋅A=(x+23x+189)C(x) \cdot A = \begin{pmatrix} x + 2 & 3x + 1 \\ 8 & 9 \end{pmatrix}, A⋅C(x)=(x+6102x+25)A \cdot C(x) = \begin{pmatrix} x + 6 & 10 \\ 2x + 2 & 5 \end{pmatrix}, C(x)⋅A−A⋅C(x)=(−43x−96−2x4)C(x) \cdot A - A \cdot C(x) = \begin{pmatrix} -4 & 3x - 9 \\ 6 - 2x & 4 \end{pmatrix}
6
2 puncte
(−43x−96−2x4)=(−4004)⇔x=3\begin{pmatrix} -4 & 3x - 9 \\ 6 - 2x & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \Leftrightarrow x = 3
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3+2X2−6X+3f = X^3 + 2X^2 - 6X + 3. a) Arătați că f(1)=0f(1) = 0. b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului ff la polinomul X2+3X−3X^2 + 3X - 3. c) Demonstrați că x1+x2+x3+1x1+1x2+1x3=0x_1 + x_2 + x_3 + \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \dfrac{1}{x_3} = 0, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f(1)=13+2⋅12−6⋅1+3=f(1) = 1^3 + 2 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 + 3 =
2
2 puncte
=1+2−6+3=0= 1 + 2 - 6 + 3 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Câtul este X−1X - 1
4
2 puncte
Restul este 00
c)5 puncte
5
3 puncte
c) x1+x2+x3=−2x_1 + x_2 + x_3 = -2, x1x2+x1x3+x2x3=−6x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = -6, x1x2x3=−3x_1x_2x_3 = -3
6
2 puncte
x1+x2+x3+1x1+1x2+1x3=(x1+x2+x3)+x2x3+x1x3+x1x2x1x2x3=−2+−6−3=0x_1 + x_2 + x_3 + \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \dfrac{1}{x_3} = (x_1 + x_2 + x_3) + \dfrac{x_2x_3 + x_1x_3 + x_1x_2}{x_1x_2x_3} = -2 + \dfrac{-6}{-3} = 0

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x+1f(x) = x^3 - 3x + 1. a) Arătați că f′(x)=3(x−1)(x+1)f'(x) = 3(x - 1)(x + 1), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Calculați lim⁡x→+∞f(x)−x3x\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x) - x^3}{x}. c) Arătați că −1≤f(x)≤3-1 \leq f(x) \leq 3, pentru orice x∈[−1,1]x \in [-1, 1].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=3x2−3=f'(x) = 3x^2 - 3 =
2
2 puncte
=3(x2−1)=3(x−1)(x+1)= 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1), x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)−x3x=lim⁡x→+∞−3x+1x=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x) - x^3}{x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{-3x + 1}{x} =
4
3 puncte
=−3= -3
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈[−1,1]x \in [-1, 1]
6
3 puncte
f(1)≤f(x)≤f(−1)f(1) \leq f(x) \leq f(-1), deci −1≤f(x)≤3-1 \leq f(x) \leq 3, pentru orice x∈[−1,1]x \in [-1, 1]
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=2x+1xf(x) = 2x + \dfrac{1}{x}. a) Arătați că ∫23(f(x)−1x) dx=5\displaystyle\int_2^3 \left(f(x) - \dfrac{1}{x}\right)\, dx = 5. b) Demonstrați că funcția F:(0,+∞)→RF : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, F(x)=x2+ln⁡x+2015F(x) = x^2 + \ln x + 2015 este o primitivă a funcției ff. c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[1,2]→Rg : [1, 2] \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)−2xg(x) = f(x) - 2x.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫23(f(x)−1x) dx=∫232x dx=x2∣23=\displaystyle\int_2^3 \left(f(x) - \dfrac{1}{x}\right)\, dx = \int_2^3 2x\, dx = x^2\Big|_2^3 =
2
2 puncte
=9−4=5= 9 - 4 = 5
b)5 puncte
3
2 puncte
b) F′(x)=(x2+ln⁡x+2015)′=F'(x) = \left(x^2 + \ln x + 2015\right)' =
4
3 puncte
=2x+1x=f(x)= 2x + \dfrac{1}{x} = f(x), pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), deci FF este o primitivă a funcției ff
c)5 puncte
5
3 puncte
c) V=π∫12(f(x)−2x)2 dx=π∫121x2 dx=V = \pi\displaystyle\int_1^2 (f(x) - 2x)^2\, dx = \pi\int_1^2 \dfrac{1}{x^2}\, dx =
6
2 puncte
=π(−1x)∣12=π2= \pi\left(-\dfrac{1}{x}\right)\Big|_1^2 = \dfrac{\pi}{2}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă Rezervă 2015 — Științele Naturii

Următor →

Model 2015 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac