BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă Rezervă 2017 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (5−4i)2+(5+4i)2=18(5 - 4i)^2 + (5 + 4i)^2 = 18, unde i2=−1i^2 = -1.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează (5−4i)2+(5+4i)2=25−40i+16i2+25+40i+16i2(5 - 4i)^2 + (5 + 4i)^2 = 25 - 40i + 16i^2 + 25 + 40i + 16i^2.
2
2 puncte
Se obține 50+32i2=50−32=1850 + 32i^2 = 50 - 32 = 18.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−6x+8f(x) = x^2 - 6x + 8. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției ff cu axa OxOx.

Rezolvare

1
3 puncte
Se rezolvă f(x)=0⇔x2−6x+8=0f(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 - 6x + 8 = 0.
2
2 puncte
Se obține x=2x = 2 și x=4x = 4.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2−x−2=x−2\sqrt{x^2 - x - 2} = x - 2.

Rezolvare

1
3 puncte
Se ridică la pătrat: x2−x−2=(x−2)2=x2−4x+4x^2 - x - 2 = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4, de unde 3x=63x = 6.
2
2 puncte
Se obține x=2x = 2, care convine.
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 99.

Rezolvare

1
2 puncte
Sunt 9090 de numere naturale de două cifre, deci sunt 9090 de cazuri posibile.
2
3 puncte
Numerele naturale de două cifre care au produsul cifrelor egal cu 99 sunt 1919, 3333 și 9191, deci sunt 33 cazuri favorabile, de unde p=390=130p = \dfrac{3}{90} = \dfrac{1}{30}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,1)A(2,1) și B(2,3)B(2,3). Determinați coordonatele punctului MM, știind că punctul BB este mijlocul segmentului AMAM.

Rezolvare

1
3 puncte
Din xB=xA+xM2x_B = \dfrac{x_A + x_M}{2} rezultă xM=2xB−xA=2⋅2−2=2x_M = 2x_B - x_A = 2 \cdot 2 - 2 = 2.
2
2 puncte
Din yB=yA+yM2y_B = \dfrac{y_A + y_M}{2} rezultă yM=2yB−yA=2⋅3−1=5y_M = 2y_B - y_A = 2 \cdot 3 - 1 = 5, deci M(2,5)M(2, 5).
Exercițiul 6
Calculați aria paralelogramului ABCDABCD, știind că AB=6AB = 6, BC=3BC = 3 și m(∢ABC)=30∘m(\sphericalangle ABC) = 30^\circ.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează AABCD=AB⋅BC⋅sin⁡(∢ABC)=6⋅3⋅sin⁡30∘\mathcal{A}_{ABCD} = AB \cdot BC \cdot \sin(\sphericalangle ABC) = 6 \cdot 3 \cdot \sin 30^\circ.
2
2 puncte
Se obține AABCD=18⋅12=9\mathcal{A}_{ABCD} = 18 \cdot \dfrac{1}{2} = 9.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I3=(100010001)I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x)=(00xx000x0)A(x) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & x \\ x & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(1))=1\det(A(1)) = 1. b) Demonstrați că A(x)⋅A(y)⋅A(z)=xyz⋅I3A(x) \cdot A(y) \cdot A(z) = xyz \cdot I_3, pentru orice numere reale xx, yy și zz. c) Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul nn, numărul det⁡(A(n)⋅A(n)+A(n)+I3)\det(A(n) \cdot A(n) + A(n) + I_3) este pătratul unui număr natural.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) Se calculează A(1)=(001100010)A(1) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(1))=∣001100010∣\det(A(1)) = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}.
2
3 puncte
Se obține det⁡(A(1))=0+1+0−0−0−0=1\det(A(1)) = 0 + 1 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează A(x)⋅A(y)⋅A(z)=(0xy000xyxy00)⋅(00zz000z0)A(x) \cdot A(y) \cdot A(z) = \begin{pmatrix} 0 & xy & 0 \\ 0 & 0 & xy \\ xy & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & z \\ z & 0 & 0 \\ 0 & z & 0 \end{pmatrix}.
4
2 puncte
Se obține A(x)⋅A(y)⋅A(z)=(xyz000xyz000xyz)=xyz⋅I3A(x) \cdot A(y) \cdot A(z) = \begin{pmatrix} xyz & 0 & 0 \\ 0 & xyz & 0 \\ 0 & 0 & xyz \end{pmatrix} = xyz \cdot I_3, pentru orice numere reale xx, yy și zz.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează A(n)⋅A(n)+A(n)+I3=(1n2nn1n2n2n1)A(n) \cdot A(n) + A(n) + I_3 = \begin{pmatrix} 1 & n^2 & n \\ n & 1 & n^2 \\ n^2 & n & 1 \end{pmatrix}.
6
3 puncte
Se calculează det⁡(A(n)⋅A(n)+A(n)+I3)=n6−2n3+1=(n3−1)2\det(A(n) \cdot A(n) + A(n) + I_3) = n^6 - 2n^3 + 1 = (n^3 - 1)^2, care este pătratul unui număr natural.
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X4+aX2+4f = X^4 + aX^2 + 4, unde aa este număr real. a) Determinați numărul real aa, știind că f(2)=0f(2) = 0. b) Pentru a=−5a = -5, determinați câtul și restul împărțirii polinomului ff la polinomul X2+X−2X^2 + X - 2. c) Determinați rădăcinile polinomului ff, știind că f(i)=0f(i) = 0, unde i2=−1i^2 = -1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Din f(2)=0f(2) = 0 rezultă 24+a⋅22+4=02^4 + a \cdot 2^2 + 4 = 0, deci 16+4a+4=016 + 4a + 4 = 0.
2
2 puncte
Se obține 4a+20=04a + 20 = 0, deci a=−5a = -5.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se efectuează împărțirea: f=X4−5X2+4f = X^4 - 5X^2 + 4; câtul este X2−X−2X^2 - X - 2.
4
2 puncte
Restul este 00.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Din f(i)=0f(i) = 0 rezultă 1−a+4=01 - a + 4 = 0, deci a=5a = 5. Se obține f=(X2+1)(X2+4)f = (X^2 + 1)(X^2 + 4).
6
3 puncte
De unde obținem x1=ix_1 = i, x2=−ix_2 = -i, x3=2ix_3 = 2i și x4=−2ix_4 = -2i.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x2+1+x)f(x) = \ln\left(\sqrt{x^2 + 1} + x\right). a) Arătați că f′(x)=1x2+1f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff, în punctul de abscisă x=0x = 0, situat pe graficul funcției ff. c) Calculați lim⁡x→−∞f(x)\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează f′(x)=1x2+1+x⋅(xx2+1+1)f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} \cdot \left(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} + 1\right).
2
2 puncte
Se obține f′(x)=1x2+1+x⋅x+x2+1x2+1=1x2+1f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} \cdot \dfrac{x + \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}, x∈Rx \in \mathbb{R}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se calculează f(0)=0f(0) = 0 și f′(0)=1f'(0) = 1.
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0)y - f(0) = f'(0)(x - 0), adică y=xy = x.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează lim⁡x→−∞(x2+1+x)=lim⁡x→−∞x2+1−x2x2+1−x=lim⁡x→−∞1x2+1−x=0\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x^2+1}+x\right) = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}-x} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}-x} = 0.
6
2 puncte
Se obține lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞ln⁡(x2+1+x)=−∞\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \ln\left(\sqrt{x^2+1}+x\right) = -\infty.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=1−1ex+1f(x) = 1 - \dfrac{1}{e^x + 1}. a) Arătați că ∫01(ex+1)f(x) dx=e−1\displaystyle\int_0^1 (e^x + 1) f(x)\,dx = e - 1. b) Arătați că ∫−11x(f(x)+f(−x))dx=0\displaystyle\int_{-1}^1 x\left(f(x) + f(-x)\right)dx = 0. c) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x = 0 și x=1x = 1 are aria mai mică decât ln⁡2\ln 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează ∫01(ex+1)f(x) dx=∫01(ex+1)⋅exex+1 dx=∫01ex dx=ex∣01\displaystyle\int_0^1 (e^x + 1) f(x)\,dx = \int_0^1 (e^x + 1) \cdot \frac{e^x}{e^x+1}\,dx = \int_0^1 e^x\,dx = \left.e^x\right|_0^1.
2
2 puncte
Se obține e1−e0=e−1e^1 - e^0 = e - 1.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se calculează f(x)+f(−x)=1−1ex+1+1−1e−x+1=2−ex+1ex+1=1f(x) + f(-x) = 1 - \dfrac{1}{e^x+1} + 1 - \dfrac{1}{e^{-x}+1} = 2 - \dfrac{e^x+1}{e^x+1} = 1, deci integrala devine ∫−11x dx\displaystyle\int_{-1}^1 x\,dx.
4
3 puncte
Se obține ∫−11x dx=x22∣−11=12−12=0\displaystyle\int_{-1}^1 x\,dx = \left.\frac{x^2}{2}\right|_{-1}^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează A=∫01∣f(x)∣ dx=∫01exex+1 dx=ln⁡(ex+1)∣01=ln⁡e+12\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 |f(x)|\,dx = \int_0^1 \frac{e^x}{e^x+1}\,dx = \left.\ln(e^x+1)\right|_0^1 = \ln\frac{e+1}{2}.
6
2 puncte
Cum e<3e < 3, obținem e+12<2\dfrac{e+1}{2} < 2, deci A<ln⁡2\mathcal{A} < \ln 2.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2017 — Tehnologic

Următor →

Model 2017 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac