BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă Rezervă 2019 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 63+2(1−27)=26\sqrt{3} + 2\left(1 - \sqrt{27}\right) = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează 63+2(1−27)=63+2(1−33)6\sqrt{3} + 2\left(1 - \sqrt{27}\right) = 6\sqrt{3} + 2\left(1 - 3\sqrt{3}\right).
2
2 puncte
Se obține 63+2−63=26\sqrt{3} + 2 - 6\sqrt{3} = 2.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−4f(x) = x^2 - 4. Calculați f(0)⋅f(1)⋅f(2)f(0) \cdot f(1) \cdot f(2).

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează f(2)=4−4=0f(2) = 4 - 4 = 0.
2
2 puncte
Se obține f(0)⋅f(1)⋅f(2)=0f(0) \cdot f(1) \cdot f(2) = 0.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(20x−6)=log⁡514\log_5(20x - 6) = \log_5 14.

Rezolvare

1
3 puncte
Se obține 20x−6=1420x - 6 = 14.
2
2 puncte
Se obține x=1x = 1, care convine.
Exercițiul 4
După o scumpire cu 10%10\%, un obiect costă 440440 de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

Rezolvare

1
3 puncte
Se scrie ecuația x+10100⋅x=440x + \dfrac{10}{100} \cdot x = 440, unde xx este prețul inițial al obiectului.
2
2 puncte
Se obține x=400x = 400 de lei.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(3,4)A(3, 4), B(0,6)B(0, 6) și C(6,0)C(6, 0). Calculați distanța de la punctul AA la mijlocul segmentului BCBC.

Rezolvare

1
2 puncte
Mijlocul segmentului BCBC este punctul M(3,3)M(3, 3).
2
3 puncte
Se calculează AM=(3−3)2+(4−3)2=0+1=1AM = \sqrt{(3-3)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{0 + 1} = 1.
Exercițiul 6
Arătați că cos⁡30∘1+sin⁡30∘=tg⁡30∘\dfrac{\cos 30^\circ}{1 + \sin 30^\circ} = \operatorname{tg} 30^\circ.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}, tg⁡30∘=33\operatorname{tg} 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{3}.
2
2 puncte
Se calculează cos⁡30∘1+sin⁡30∘=321+12=32⋅23=33=tg⁡30∘\dfrac{\cos 30^\circ}{1 + \sin 30^\circ} = \dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \operatorname{tg} 30^\circ.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele M=(−12−6−9)M = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -6 & -9 \end{pmatrix} și A(a)=(a+1a+2a−2a+1)A(a) = \begin{pmatrix} a+1 & a+2 \\ a-2 & a+1 \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡M=21\det M = 21. b) Demonstrați că A(−a)+A(a)=2A(0)A(-a) + A(a) = 2A(0), pentru orice număr real aa. c) Determinați numerele reale aa și bb pentru care A(a)⋅A(b)=MA(a) \cdot A(b) = M.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează det⁡M=∣−12−6−9∣=(−1)⋅(−9)−(−6)⋅2\det M = \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -6 & -9 \end{vmatrix} = (-1) \cdot (-9) - (-6) \cdot 2.
2
2 puncte
Se obține det⁡M=9+12=21\det M = 9 + 12 = 21.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează A(−a)+A(a)=(−a+1−a+2−a−2−a+1)+(a+1a+2a−2a+1)=(24−42)A(-a) + A(a) = \begin{pmatrix} -a+1 & -a+2 \\ -a-2 & -a+1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a+1 & a+2 \\ a-2 & a+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}.
4
2 puncte
Se calculează 2A(0)=2(12−21)=(24−42)2A(0) = 2 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}, deci A(−a)+A(a)=2A(0)A(-a) + A(a) = 2A(0), pentru orice număr real aa.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează produsul A(a)⋅A(b)=MA(a) \cdot A(b) = M și se identifică elementele matricelor.
6
3 puncte
Se obține a=−1a = -1, b=1b = 1.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2(x+y)−xy2x \circ y = 2(x + y) - \dfrac{xy}{2}. a) Arătați că 2∘(−2)=22 \circ (-2) = 2. b) Determinați numărul natural nenul nn pentru care n∘1n=92n \circ \dfrac{1}{n} = \dfrac{9}{2}. c) Determinați numărul real yy astfel încât x∘y=8x \circ y = 8, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează 2∘(−2)=2(2+(−2))−2⋅(−2)22 \circ (-2) = 2(2 + (-2)) - \dfrac{2 \cdot (-2)}{2}.
2
2 puncte
Se obține 2∘(−2)=0+2=22 \circ (-2) = 0 + 2 = 2.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează n∘1n=2(n+1n)−12=92n \circ \dfrac{1}{n} = 2\left(n + \dfrac{1}{n}\right) - \dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{2}, deci n+1n=52n + \dfrac{1}{n} = \dfrac{5}{2}.
4
2 puncte
Cum nn este număr natural nenul, obținem n=2n = 2.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se scrie 2(x+y)−xy2=82(x + y) - \dfrac{xy}{2} = 8, deci 4x+4y−xy−16=04x + 4y - xy - 16 = 0, de unde (x−4)(4−y)=0(x - 4)(4 - y) = 0, pentru orice număr real xx.
6
2 puncte
Se obține y=4y = 4.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=xx2+4f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 4}. a) Arătați că f′(x)=(2−x)(2+x)(x2+4)2f'(x) = \dfrac{(2 - x)(2 + x)}{(x^2 + 4)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞-\infty la graficul funcției ff. c) Determinați mulțimea valorilor funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează f′(x)=(x2+4)−x⋅2x(x2+4)2=4−x2(x2+4)2f'(x) = \dfrac{(x^2 + 4) - x \cdot 2x}{(x^2 + 4)^2} = \dfrac{4 - x^2}{(x^2 + 4)^2}.
2
2 puncte
Se obține f′(x)=(2−x)(2+x)(x2+4)2f'(x) = \dfrac{(2 - x)(2 + x)}{(x^2 + 4)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞xx2+4=lim⁡x→−∞1x+4x=0\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x}{x^2 + 4} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x + \frac{4}{x}} = 0.
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=0y = 0 este asimptota orizontală spre −∞-\infty la graficul funcției ff.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Din studiul semnului derivatei: ff este descrescătoare pe (−∞,−2](-\infty, -2], crescătoare pe [−2,2][-2, 2] și descrescătoare pe [2,+∞)[2, +\infty).
6
3 puncte
ff continuă pe R\mathbb{R}, lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0, f(−2)=−14f(-2) = -\dfrac{1}{4}, f(2)=14f(2) = \dfrac{1}{4} și lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0, deci mulțimea valorilor funcției ff este [−14,14]\left[-\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{4}\right].
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→Rf : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=1x+1−1x+2f(x) = \dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x+2}. a) Arătați că ∫02x(x+1)(f(x)+1x+2)dx=2\displaystyle\int_0^2 x(x+1)\left(f(x) + \dfrac{1}{x+2}\right)dx = 2. b) Arătați că ∫01x⋅f(x) dx=ln⁡98\displaystyle\int_0^1 x \cdot f(x)\,dx = \ln\dfrac{9}{8}. c) Determinați numărul natural pp, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x = 0 și x=1x = 1 are aria egală cu ln⁡(p2+13)\ln\left(p^2 + \dfrac{1}{3}\right).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) Se calculează f(x)+1x+2=1x+1f(x) + \dfrac{1}{x+2} = \dfrac{1}{x+1}, deci integrala devine ∫02x(x+1)⋅1x+1 dx=∫02x dx\displaystyle\int_0^2 x(x+1) \cdot \dfrac{1}{x+1}\,dx = \int_0^2 x\,dx.
2
3 puncte
Se obține x22∣02=2\left.\dfrac{x^2}{2}\right|_0^2 = 2.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se calculează ∫01x⋅f(x) dx=∫01(xx+1−xx+2)dx=∫01(1−1x+1−1+2x+2)dx\displaystyle\int_0^1 x \cdot f(x)\,dx = \int_0^1 \left(\dfrac{x}{x+1} - \dfrac{x}{x+2}\right)dx = \int_0^1 \left(1 - \dfrac{1}{x+1} - 1 + \dfrac{2}{x+2}\right)dx.
4
3 puncte
Se obține (−ln⁡(x+1)+2ln⁡(x+2))∣01=−ln⁡2+2ln⁡3−0−2ln⁡2=2ln⁡3−3ln⁡2=ln⁡98\left(-\ln(x+1) + 2\ln(x+2)\right)\Big|_0^1 = -\ln 2 + 2\ln 3 - 0 - 2\ln 2 = 2\ln 3 - 3\ln 2 = \ln\dfrac{9}{8}.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează A=∫01∣f(x)∣ dx=∫01(1x+1−1x+2)dx=(ln⁡(x+1)−ln⁡(x+2))∣01=ln⁡43\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 |f(x)|\,dx = \int_0^1 \left(\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x+2}\right)dx = \left(\ln(x+1) - \ln(x+2)\right)\Big|_0^1 = \ln\dfrac{4}{3}.
6
2 puncte
Din ln⁡(p2+13)=ln⁡43\ln\left(p^2 + \dfrac{1}{3}\right) = \ln\dfrac{4}{3} rezultă p2+13=43p^2 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3}, deci p2=1p^2 = 1 și, cum pp este număr natural, obținem p=1p = 1.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2019 — Tehnologic

Următor →

Model 2019 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac