BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă Rezervă 2024 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (12+14)⋅43=1\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\right) \cdot \dfrac{4}{3} = 1.

Rezolvare

1
2 puncte
12+14=24+14=34\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}
2
3 puncte
34⋅43=1\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{3} = 1
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x−8f(x) = 2x - 8. Determinați numărul real aa pentru care f(a)=0f(a) = 0.

Rezolvare

1
2 puncte
f(a)=2a−8f(a) = 2a - 8, pentru orice număr real aa
2
3 puncte
2a−8=02a - 8 = 0, de unde obținem a=4a = 4
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x−2=1\sqrt{3x - 2} = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
3x−2=13x - 2 = 1, de unde obținem 3x=33x = 3
2
2 puncte
x=1x = 1, care convine
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea A={11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}A = \{11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}, acesta să aibă suma cifrelor egală cu 22.

Rezolvare

1
2 puncte
mulțimea AA are 1010 elemente, deci sunt 1010 cazuri posibile
2
3 puncte
numerele din mulțimea AA care au suma cifrelor egală cu 22 sunt 1111 și 2020, deci sunt 22 cazuri favorabile, de unde obținem p=210=15p = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(3,4)A(3, 4) și B(6,8)B(6, 8). Arătați că OA=ABOA = AB.

Rezolvare

1
2 puncte
OA=32+42=5OA = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5
2
3 puncte
AB=(6−3)2+(8−4)2=9+16=5AB = \sqrt{(6 - 3)^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5, deci OA=ABOA = AB
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AB=12AB = 12, AC=8AC = 8 și punctul MM mijlocul laturii ABAB. Arătați că CM=10CM = 10.

Rezolvare

1
2 puncte
AM=6AM = 6
2
3 puncte
CM=AC2+AM2=64+36=10CM = \sqrt{AC^2 + AM^2} = \sqrt{64 + 36} = 10

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x)=(x−121x)A(x) = \begin{pmatrix} x - 1 & 2 \\ 1 & x \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(2))=0\det(A(2)) = 0. b) Arătați că A(3)+2I2=A(5)A(3) + 2I_2 = A(5). c) Determinați numerele reale xx pentru care det⁡(A(x)+xI2)=0\det(A(x) + xI_2) = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) A(2)=(1212)A(2) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, det⁡(A(2))=1⋅2−1⋅2\det(A(2)) = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2
2
2 puncte
=2−2=0= 2 - 2 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(3)+2I2=(2213)+(2002)=(4215)A(3) + 2I_2 = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}
4
2 puncte
=(5−1215)=A(5)= \begin{pmatrix} 5 - 1 & 2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} = A(5)
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(x)+xI2=(2x−1212x)A(x) + xI_2 = \begin{pmatrix} 2x - 1 & 2 \\ 1 & 2x \end{pmatrix}, det⁡(A(x)+xI2)=4x2−2x−2\det(A(x) + xI_2) = 4x^2 - 2x - 2, pentru orice număr real xx
6
2 puncte
4x2−2x−2=04x^2 - 2x - 2 = 0, de unde obținem x=1x = 1 sau x=−12x = -\dfrac{1}{2}
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2x+2y−1x \circ y = 2x + 2y - 1. a) Arătați că 2∘1=52 \circ 1 = 5. b) Determinați numărul real xx pentru care x∘(x+1)=5x \circ (x + 1) = 5. c) Arătați că x∘x≤4x2x \circ x \leq 4x^2, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 2∘1=2⋅2+2⋅1−12 \circ 1 = 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 - 1
2
2 puncte
=4+2−1=5= 4 + 2 - 1 = 5
b)5 puncte
3
3 puncte
b) x∘(x+1)=2x+2(x+1)−1=4x+1x \circ (x + 1) = 2x + 2(x + 1) - 1 = 4x + 1, pentru orice număr real xx
4
2 puncte
4x+1=54x + 1 = 5, de unde obținem x=1x = 1
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x∘x=4x−1x \circ x = 4x - 1, pentru orice număr real xx
6
3 puncte
4x−1−4x2=−(2x−1)2≤04x - 1 - 4x^2 = -(2x - 1)^2 \leq 0, pentru orice număr real xx, deci x∘x≤4x2x \circ x \leq 4x^2

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x−2ln⁡xf(x) = x - 2\ln x. a) Arătați că f′(x)=x−2xf'(x) = \dfrac{x - 2}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=1x = 1 situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că ln⁡(x2)≤x−22\ln\left(\dfrac{x}{2}\right) \leq \dfrac{x - 2}{2}, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(x)′−2⋅(ln⁡x)′=f'(x) = (x)' - 2 \cdot (\ln x)' =
2
3 puncte
=1−2⋅1x=x−2x= 1 - 2 \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - 2}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(1)=1f(1) = 1, f′(1)=−1f'(1) = -1
4
3 puncte
ecuația tangentei este y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x - 1), adică y=−x+2y = -x + 2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(x)=0⇔x=2f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2; f′(x)≤0f'(x) \leq 0 pentru orice x∈(0,2]x \in (0, 2], deci ff este descrescătoare pe (0,2](0, 2]; f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru orice x∈[2,+∞)x \in [2, +\infty), deci ff este crescătoare pe [2,+∞)[2, +\infty)
6
2 puncte
f(2)=2−2ln⁡2f(2) = 2 - 2\ln 2, deci 2−2ln⁡2≤f(x)2 - 2\ln 2 \leq f(x) pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), de unde obținem ln⁡(x2)≤x−22\ln\left(\dfrac{x}{2}\right) \leq \dfrac{x - 2}{2} pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=1x2+1f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}. a) Arătați că ∫031f(x) dx=12\displaystyle\int_0^3 \dfrac{1}{f(x)}\, dx = 12. b) Arătați că ∫232xf(x) dx=ln⁡2\displaystyle\int_2^3 2x f(x)\, dx = \ln 2. c) Determinați numărul real aa pentru care ∫12exf(x) dx=e(ae−a+1)\displaystyle\int_1^2 \dfrac{e^x}{f(x)}\, dx = e(ae - a + 1).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫031f(x) dx=∫03(x2+1) dx=(x33+x)∣03\displaystyle\int_0^3 \dfrac{1}{f(x)}\, dx = \int_0^3 (x^2 + 1)\, dx = \left.\left(\dfrac{x^3}{3} + x\right)\right|_0^3
2
2 puncte
=273+3=12= \dfrac{27}{3} + 3 = 12
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫232xf(x) dx=∫232xx2+1 dx=∫23(x2+1)′x2+1 dx=ln⁡(x2+1)∣23\displaystyle\int_2^3 2x f(x)\, dx = \int_2^3 \dfrac{2x}{x^2 + 1}\, dx = \int_2^3 \dfrac{(x^2 + 1)'}{x^2 + 1}\, dx = \left.\ln(x^2 + 1)\right|_2^3
4
2 puncte
=ln⁡10−ln⁡5=ln⁡2= \ln 10 - \ln 5 = \ln 2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫12exf(x) dx=∫12ex(x2+1) dx=ex(x2+1)∣12−∫122xex dx=5e2−2e−(2xex−2ex)∣12=3e2−2e\displaystyle\int_1^2 \dfrac{e^x}{f(x)}\, dx = \int_1^2 e^x(x^2 + 1)\, dx = \left.e^x(x^2 + 1)\right|_1^2 - \int_1^2 2xe^x\, dx = 5e^2 - 2e - \left.(2xe^x - 2e^x)\right|_1^2 = 3e^2 - 2e
6
2 puncte
e(3e−2)=e(ae−a+1)e(3e - 2) = e(ae - a + 1), de unde obținem a=3a = 3

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2024 — Tehnologic

Următor →

Model 2023 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac