BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2010 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați ((1−i)(i−1))4\left((1 - i)(i - 1)\right)^4.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează (1−i)(i−1)=−(1−i)2=−(1−2i+i2)=−(1−2i−1)=2i(1 - i)(i - 1) = -(1 - i)^2 = -(1 - 2i + i^2) = -(1 - 2i - 1) = 2i, deci ((1−i)(i−1))4=(2i)4\left((1 - i)(i - 1)\right)^4 = (2i)^4.
2
2 puncte
Se obține (2i)4=16i4=16(2i)^4 = 16i^4 = 16.
Exercițiul 2
Arătați că funcția f:(−3,3)→Rf : (-3, 3) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡3−x3+xf(x) = \ln\dfrac{3 - x}{3 + x} este impară.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează f(−x)=ln⁡3+x3−xf(-x) = \ln\dfrac{3 + x}{3 - x}.
2
2 puncte
Se obține f(−x)=ln⁡(3−x3+x)−1=−ln⁡3−x3+xf(-x) = \ln\left(\dfrac{3 - x}{3 + x}\right)^{-1} = -\ln\dfrac{3 - x}{3 + x}.
3
1 punct
Deci f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x), adică ff este impară.
Exercițiul 3
Determinați soluțiile întregi ale inecuației x2+2x−8<0x^2 + 2x - 8 < 0.

Rezolvare

1
2 puncte
Se descompune x2+2x−8=(x−2)(x+4)x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4).
2
1 punct
Se obține x∈(−4,2)x \in (-4, 2).
3
2 puncte
(−4,2)∩Z={−3,−2,−1,0,1}(-4, 2) \cap \mathbb{Z} = \{-3, -2, -1, 0, 1\}.
Exercițiul 4
Câte elemente din mulțimea A={1,2,3,…,100}A = \{1, 2, 3, \ldots, 100\} sunt divizibile cu 44 sau cu 55?

Rezolvare

1
2 puncte
2525 de numere sunt divizibile cu 44 și 2020 de numere sunt divizibile cu 55.
2
1 punct
55 numere sunt divizibile cu 44 și cu 55 (adică cu 2020).
3
2 puncte
Deci 25+20−5=4025 + 20 - 5 = 40 de numere sunt divizibile cu 44 sau cu 55.
Exercițiul 5
În sistemul de coordonate xOyxOy se consideră punctele M(1,−2)M(1, -2), N(−3,−1)N(-3, -1) și P(−1,2)P(-1, 2). Determinați coordonatele punctului QQ astfel încât MNPQMNPQ să fie paralelogram.

Rezolvare

1
2 puncte
Fie Q(a,b)Q(a, b). Din MQ→=NP→\overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{NP} rezultă (a−1,b+2)=(2,3)(a - 1, b + 2) = (2, 3).
2
2 puncte
Se obține a−1=2a - 1 = 2 și b+2=3b + 2 = 3.
3
1 punct
Deci Q(3,1)Q(3, 1).
Exercițiul 6
Triunghiul ABCABC are AB=6AB = 6, AC=3AC = 3 și BC=5BC = 5. Calculați lungimea înălțimii [AD][AD].

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează aria triunghiului ABCABC folosind formula lui Heron: p=7p = 7, A△ABC=7⋅1⋅4⋅2=214\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \sqrt{7 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 2} = 2\sqrt{14}.
2
2 puncte
Din A△ABC=BC⋅AD2\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \dfrac{BC \cdot AD}{2} rezultă AD=2⋅2145=4145AD = \dfrac{2 \cdot 2\sqrt{14}}{5} = \dfrac{4\sqrt{14}}{5}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Fie sistemul {x−2y−8z=−653x+y−3z=22x+y+z=28\begin{cases} x - 2y - 8z = -65 \\ 3x + y - 3z = 22 \\ x + y + z = 28 \end{cases}, unde x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbb{R} și matricea asociată sistemului A=(1−2−831−3111)A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -8 \\ 3 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}. a) Arătați că rangul matricei AA este egal cu 22. b) Rezolvați sistemul în R×R×R\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}. c) Determinați numărul soluțiilor sistemului din mulțimea N×N×N\mathbb{N} \times \mathbb{N} \times \mathbb{N}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează det⁡(A)=0\det(A) = 0.
2
2 puncte
Se verifică ∣1−231∣=7≠0\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 7 \neq 0, deci rangul matricei AA este egal cu 22.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Minorul caracteristic este nul, deci sistemul este compatibil nedeterminat. Luând z=αz = \alpha necunoscută secundară.
4
3 puncte
Se obține x=2α−3x = 2\alpha - 3, y=31−3αy = 31 - 3\alpha, z=αz = \alpha.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Din x≥0x \geq 0, y≥0y \geq 0, z≥0z \geq 0 rezultă 32≤α≤313\dfrac{3}{2} \leq \alpha \leq \dfrac{31}{3}.
6
3 puncte
Se obține α∈{2,3,4,…,10}\alpha \in \{2, 3, 4, \ldots, 10\}, deci sunt 99 soluții în N×N×N\mathbb{N} \times \mathbb{N} \times \mathbb{N}.
Exercițiul 2
Fie mulțimea de matrice A={(ab−ba)∣a,b∈Z5}A = \left\{\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{Z}_5\right\}. a) Determinați numărul elementelor mulțimii AA. b) Arătați că există o matrice nenulă M∈AM \in A astfel încât (3^1^−1^3^)⋅M=(0^0^0^0^)\begin{pmatrix} \hat{3} & \hat{1} \\ -\hat{1} & \hat{3} \end{pmatrix} \cdot M = \begin{pmatrix} \hat{0} & \hat{0} \\ \hat{0} & \hat{0} \end{pmatrix}. c) Rezolvați în mulțimea AA ecuația X2=I2X^2 = I_2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) a,b∈Z5a, b \in \mathbb{Z}_5 și card⁡Z5=5\operatorname{card} \mathbb{Z}_5 = 5.
2
3 puncte
Deci mulțimea AA are 5⋅5=255 \cdot 5 = 25 de elemente.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se calculează produsul (3^1^−1^3^)⋅(ab−ba)\begin{pmatrix} \hat{3} & \hat{1} \\ -\hat{1} & \hat{3} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} și se impune condiția ca rezultatul să fie matricea nulă, obținând 3^a=b\hat{3}a = b și 3^b=−a\hat{3}b = -a.
4
3 puncte
Un exemplu: M=(1^3^−3^1^)M = \begin{pmatrix} \hat{1} & \hat{3} \\ -\hat{3} & \hat{1} \end{pmatrix}.
c)5 puncte
5
1 punct
c) Dacă X=(xy−yx)X = \begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix}, din X2=I2X^2 = I_2 se obține x2−y2=1^x^2 - y^2 = \hat{1} și xy=0^xy = \hat{0}.
6
4 puncte
Dacă y=0^y = \hat{0}, atunci x2=1^x^2 = \hat{1}, deci x∈{1^,4^}x \in \{\hat{1}, \hat{4}\}. Dacă x=0^x = \hat{0}, atunci y2=4^y^2 = \hat{4}, deci y∈{2^,3^}y \in \{\hat{2}, \hat{3}\}. Se obțin matricele (0^2^−2^0^)\begin{pmatrix} \hat{0} & \hat{2} \\ -\hat{2} & \hat{0} \end{pmatrix}, (0^3^−3^0^)\begin{pmatrix} \hat{0} & \hat{3} \\ -\hat{3} & \hat{0} \end{pmatrix}, (1^0^0^1^)\begin{pmatrix} \hat{1} & \hat{0} \\ \hat{0} & \hat{1} \end{pmatrix}, (4^0^0^4^)\begin{pmatrix} \hat{4} & \hat{0} \\ \hat{0} & \hat{4} \end{pmatrix}.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R∖{−1}→Rf : \mathbb{R} \setminus \{-1\} \to \mathbb{R}, f(x)=arctg⁡xx+1f(x) = \operatorname{arctg}\dfrac{x}{x+1}. a) Determinați ecuația asimptotei spre +∞+\infty la graficul funcției ff. b) Studiați monotonia funcției ff. c) Determinați punctele de inflexiune ale funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞arctg⁡xx+1=arctg⁡1=π4\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \operatorname{arctg}\dfrac{x}{x+1} = \operatorname{arctg} 1 = \dfrac{\pi}{4}.
2
2 puncte
Deci y=π4y = \dfrac{\pi}{4} este asimptota orizontală spre +∞+\infty.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se calculează f′(x)=12x2+2x+1f'(x) = \dfrac{1}{2x^2 + 2x + 1}.
4
3 puncte
Cum 2x2+2x+1>02x^2 + 2x + 1 > 0 pentru orice xx real, rezultă f′(x)>0f'(x) > 0, ∀x∈R∖{−1}\forall x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}, deci ff este strict crescătoare pe (−∞,−1)(-\infty, -1) și pe (−1,+∞)(-1, +\infty).
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează f′′(x)=−2(2x+1)(2x2+2x+1)2f''(x) = \dfrac{-2(2x+1)}{(2x^2 + 2x + 1)^2}, x≠−1x \neq -1. Din f′′(x)=0f''(x) = 0 rezultă x=−12x = -\dfrac{1}{2}.
6
3 puncte
Din tabelul de variație rezultă că x=−12x = -\dfrac{1}{2} este punct de inflexiune al funcției ff.
Exercițiul 2
Fie șirul (In)n≥1(I_n)_{n \geq 1}, In=∫nn+12x−1x dxI_n = \displaystyle\int_n^{n+1} \dfrac{2x - 1}{x}\,dx. a) Arătați că șirul (In)n≥1(I_n)_{n \geq 1} este strict crescător. b) Arătați că șirul (In)n≥1(I_n)_{n \geq 1} este mărginit. c) Calculați lim⁡n→+∞n(2−In)\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n(2 - I_n).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) Se calculează In=∫nn+1(2−1x)dx=(2x−ln⁡x)∣nn+1=2−ln⁡n+1nI_n = \displaystyle\int_n^{n+1} \left(2 - \dfrac{1}{x}\right)dx = \left(2x - \ln x\right)\Big|_n^{n+1} = 2 - \ln\dfrac{n+1}{n}.
2
3 puncte
Se calculează In+1−In=ln⁡n+1n−ln⁡n+2n+1=ln⁡(n+1)2n(n+2)=ln⁡(1+1n2+2n)>0I_{n+1} - I_n = \ln\dfrac{n+1}{n} - \ln\dfrac{n+2}{n+1} = \ln\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)} = \ln\left(1 + \dfrac{1}{n^2+2n}\right) > 0, ∀n∈N∗\forall n \in \mathbb{N}^*, deci șirul este strict crescător.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se observă că 1<n+1n≤2<e1 < \dfrac{n+1}{n} \leq 2 < e, deci 0<ln⁡n+1n<10 < \ln\dfrac{n+1}{n} < 1.
4
3 puncte
Se obține 1<2−ln⁡n+1n<21 < 2 - \ln\dfrac{n+1}{n} < 2, adică 1<In<21 < I_n < 2, ∀n∈N∗\forall n \in \mathbb{N}^*, deci șirul este mărginit.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează lim⁡n→+∞n(2−In)=lim⁡n→+∞n⋅ln⁡n+1n\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n(2 - I_n) = \lim_{n \to +\infty} n \cdot \ln\dfrac{n+1}{n}.
6
3 puncte
Se obține lim⁡n→+∞ln⁡(1+1n)n=ln⁡e=1\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \ln\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n = \ln e = 1.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2011 — Științele Naturii

Următor →

Bac Vară 2010 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac