BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2010 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați log⁡218+273\log_2 \frac{1}{8} + \sqrt[3]{27}.

Rezolvare

1
2 puncte
log⁡218=log⁡22−3=−3\log_2 \frac{1}{8} = \log_2 2^{-3} = -3
2
2 puncte
273=333=3\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3
3
1 punct
log⁡218+273=0\log_2 \frac{1}{8} + \sqrt[3]{27} = 0
Exercițiul 2
Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3.

Rezolvare

1
2 puncte
xV=−b2a=1x_V = -\frac{b}{2a} = 1
2
2 puncte
yV=−Δ4a=2y_V = -\frac{\Delta}{4a} = 2
3
1 punct
V(1,2)V(1, 2)
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2⋅3x2−1=12 \cdot 3^{x^2 - 1} = 1.

Rezolvare

1
1 punct
3x2−1=13^{x^2 - 1} = 1
2
2 puncte
x2−1=0x^2 - 1 = 0
3
2 puncte
x∈{−1,1}x \in \{-1, 1\}
Exercițiul 4
Determinați câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii {1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\}.

Rezolvare

1
2 puncte
A43=A_4^3 =
2
3 puncte
=24= 24
Exercițiul 5
Se consideră vectorii v1⃗=2i⃗−j⃗\vec{v_1} = 2\vec{i} - \vec{j} și v2⃗=i⃗+3j⃗\vec{v_2} = \vec{i} + 3\vec{j}. Determinați coordonatele vectorului w⃗=2v1⃗−v2⃗\vec{w} = 2\vec{v_1} - \vec{v_2}.

Rezolvare

1
2 puncte
w⃗=2(2i⃗−j⃗)−(i⃗+3j⃗)=\vec{w} = 2(2\vec{i} - \vec{j}) - (\vec{i} + 3\vec{j}) =
2
3 puncte
=3i⃗−5j⃗⇒w⃗(3,−5)= 3\vec{i} - 5\vec{j} \Rightarrow \vec{w}(3, -5)
Exercițiul 6
Un triunghi dreptunghic are catetele AB=3AB = 3, AC=4AC = 4. Determinați lungimea înălțimii duse din AA.

Rezolvare

1
2 puncte
BC=5BC = 5
2
3 puncte
h=AB⋅ACBC=125h = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{12}{5}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A=(1110)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. a) Calculați A2−AA^2 - A. b) Determinați inversa matricei AA. c) Rezolvați ecuația A⋅X=(2010201020092010)A \cdot X = \begin{pmatrix} 2010 & 2010 \\ 2009 & 2010 \end{pmatrix}, X∈M2(R)X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
A2=(1110)⋅(1110)=(2111)A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
2
2 puncte
A2−A=(2111)−(1110)=(1001)A^2 - A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
b)5 puncte
3
1 punct
det⁡(A)=−1≠0⇒∃A−1\det(A) = -1 \neq 0 \Rightarrow \exists A^{-1}
4
2 puncte
A∗=(0−1−11)A^* = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}
5
2 puncte
A−1=(011−1)A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
c)5 puncte
6
2 puncte
Prin înmulțire la stânga cu A−1A^{-1} se obține X=(011−1)⋅(2010201020092010)=X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2010 & 2010 \\ 2009 & 2010 \end{pmatrix} =
7
2 puncte
=(2009201010)= \begin{pmatrix} 2009 & 2010 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
8
1 punct
Finalizare
Exercițiul 2
Se consideră polinoamele f,g∈Z3[X]f, g \in \mathbb{Z}_3[X], f=X2+Xf = X^2 + X, g=X2+2^X+ag = X^2 + \hat{2}X + a, cu a∈Z3a \in \mathbb{Z}_3. a) Calculați f(0^)+f(1^)f(\hat{0}) + f(\hat{1}). b) Determinați rădăcinile polinomului ff. c) Demonstrați că f(0^)+f(1^)+f(2^)=g(0^)+g(1^)+g(2^)f(\hat{0}) + f(\hat{1}) + f(\hat{2}) = g(\hat{0}) + g(\hat{1}) + g(\hat{2}), pentru oricare a∈Z3a \in \mathbb{Z}_3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
f(0^)=0^f(\hat{0}) = \hat{0}
2
2 puncte
f(1^)=2^f(\hat{1}) = \hat{2}
3
1 punct
f(0^)+f(1^)=2^f(\hat{0}) + f(\hat{1}) = \hat{2}
b)5 puncte
4
3 puncte
f(0^)=0^f(\hat{0}) = \hat{0}, f(1^)=2^f(\hat{1}) = \hat{2}, f(2^)=0^f(\hat{2}) = \hat{0}
5
2 puncte
Rădăcinile lui ff sunt 0^\hat{0} și 2^\hat{2}
c)5 puncte
6
2 puncte
g(0^)=ag(\hat{0}) = a, g(1^)=ag(\hat{1}) = a, g(2^)=2^+ag(\hat{2}) = \hat{2} + a
7
2 puncte
g(0^)+g(1^)+g(2^)=a+a+2^+a=2^g(\hat{0}) + g(\hat{1}) + g(\hat{2}) = a + a + \hat{2} + a = \hat{2}
8
1 punct
f(0^)+f(1^)+f(2^)=g(0^)+g(1^)+g(2^)=2^f(\hat{0}) + f(\hat{1}) + f(\hat{2}) = g(\hat{0}) + g(\hat{1}) + g(\hat{2}) = \hat{2}, ∀a∈Z3\forall a \in \mathbb{Z}_3

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2⋅exf(x) = x^2 \cdot e^x. a) Calculați f′(x)f'(x). b) Demonstrați că funcția ff este descrescătoare pe intervalul [−2,0][-2, 0]. c) Demonstrați că 0≤f(x)+f(x2)≤e2+1e0 \leq f(x) + f(x^2) \leq \frac{e^2 + 1}{e}, oricare ar fi x∈[−1,0]x \in [-1, 0].

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
f′(x)=(x2ex)′=f'(x) = (x^2 e^x)' =
2
3 puncte
=2xex+x2ex=(2x+x2)ex= 2xe^x + x^2 e^x = (2x + x^2)e^x
b)5 puncte
3
2 puncte
f′(x)≤0f'(x) \leq 0, ∀x∈[−2,0]\forall x \in [-2, 0]
4
3 puncte
ff descrescătoare pe [−2,0][-2, 0]
c)5 puncte
5
1 punct
ff descrescătoare pe [−1,0]⇒f(0)≤f(x)≤f(−1)[-1, 0] \Rightarrow f(0) \leq f(x) \leq f(-1)
6
2 puncte
ff crescătoare pe [0,1][0, 1] și x2∈[0,1]⇒f(0)≤f(x2)≤f(1)x^2 \in [0, 1] \Rightarrow f(0) \leq f(x^2) \leq f(1)
7
2 puncte
Prin adunarea celor 2 relații se obține 0≤f(x)+f(x2)≤e2+1e0 \leq f(x) + f(x^2) \leq \frac{e^2 + 1}{e}, ∀x∈[−1,0]\forall x \in [-1, 0]
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R∗→Rf : \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}, f(x)=x+1xf(x) = x + \frac{1}{x}. a) Calculați ∫13(f(x)−1x)dx\displaystyle\int_1^3 \left(f(x) - \frac{1}{x}\right) dx. b) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[1,2]→Rg : [1, 2] \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)g(x) = f(x). c) Calculați ∫1ef(x)⋅ln⁡x dx\displaystyle\int_1^e f(x) \cdot \ln x \, dx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
∫13(f(x)−1x)dx=∫13x dx=\displaystyle\int_1^3 \left(f(x) - \frac{1}{x}\right) dx = \int_1^3 x \, dx =
2
2 puncte
=x22∣13== \left.\frac{x^2}{2}\right|_1^3 =
3
1 punct
=4= 4
b)5 puncte
4
1 punct
V=π∫12g2(x) dx=V = \pi \displaystyle\int_1^2 g^2(x) \, dx =
5
1 punct
=π∫12(x2+2+1x2)dx== \pi \displaystyle\int_1^2 \left(x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}\right) dx =
6
2 puncte
=π(x33+2x−1x)∣12== \pi \left(\frac{x^3}{3} + 2x - \frac{1}{x}\right)\bigg|_1^2 =
7
1 punct
=29π6= \frac{29\pi}{6}
c)5 puncte
8
1 punct
∫1ef(x)⋅ln⁡x dx=∫1ex⋅ln⁡x dx+∫1e1x⋅ln⁡x dx=\displaystyle\int_1^e f(x) \cdot \ln x \, dx = \int_1^e x \cdot \ln x \, dx + \int_1^e \frac{1}{x} \cdot \ln x \, dx =
9
2 puncte
=(x22ln⁡x−x24)∣1e+ln⁡2x2∣1e== \left(\frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4}\right)\bigg|_1^e + \left.\frac{\ln^2 x}{2}\right|_1^e =
10
2 puncte
=e2+34= \frac{e^2 + 3}{4}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2010 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Vară Rezervă 2010 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac