BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2011 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați x∈Rx \in \mathbb{R} pentru care numerele x−1x - 1, x+1x + 1 și 3x−13x - 1 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Rezolvare

1
3 puncte
2(x+1)=x−1+3x−12(x + 1) = x - 1 + 3x - 1
2
2 puncte
2x=4⇒x=22x = 4 \Rightarrow x = 2
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=5−xf(x) = 5 - x. Calculați f(0)⋅f(1)⋅f(2)⋅…⋅f(10)f(0) \cdot f(1) \cdot f(2) \cdot \ldots \cdot f(10).

Rezolvare

1
3 puncte
f(5)=0f(5) = 0
2
2 puncte
f(0)⋅f(1)⋅f(2)⋅…⋅f(10)=0f(0) \cdot f(1) \cdot f(2) \cdot \ldots \cdot f(10) = 0
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x−1=x−3\sqrt{x - 1} = x - 3.

Rezolvare

1
1 punct
Condiții: x−1≥0x - 1 \geq 0 și x−3≥0⇒x∈[3,+∞)x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \in [3, +\infty)
2
2 puncte
x−1=(x−3)2⇒x2−7x+10=0x - 1 = (x - 3)^2 \Rightarrow x^2 - 7x + 10 = 0
3
1 punct
x=2x = 2 sau x=5x = 5
4
1 punct
2∉[3,+∞)⇒x=52 \notin [3, +\infty) \Rightarrow x = 5
Exercițiul 4
Determinați numărul submulțimilor ordonate cu 22 elemente ale unei mulțimi cu 77 elemente.

Rezolvare

1
2 puncte
Numărul de submulțimi ordonate este A72A_7^2
2
3 puncte
A72=7!5!=42A_7^2 = \frac{7!}{5!} = 42
Exercițiul 5
Calculați distanța de la punctul A(2,3)A(2, 3) la punctul de intersecție a dreptelor d1:2x−y−6=0d_1 : 2x - y - 6 = 0 și d2:−x+2y−6=0d_2 : -x + 2y - 6 = 0.

Rezolvare

1
2 puncte
{2x−y−6=0−x+2y−6=0⇒x=y=6\begin{cases} 2x - y - 6 = 0 \\ -x + 2y - 6 = 0 \end{cases} \Rightarrow x = y = 6
2
2 puncte
d=(6−2)2+(6−3)2d = \sqrt{(6-2)^2 + (6-3)^2}
3
1 punct
d=5d = 5
Exercițiul 6
Calculați cosinusul unghiului MM al triunghiului MNPMNP, știind că MN=4MN = 4, MP=5MP = 5 și NP=6NP = 6.

Rezolvare

1
3 puncte
cos⁡M=MN2+MP2−NP22⋅MN⋅MP\cos M = \frac{MN^2 + MP^2 - NP^2}{2 \cdot MN \cdot MP}
2
2 puncte
cos⁡M=18\cos M = \frac{1}{8}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, A=(1−1−22)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} și X(a)=I2+aAX(a) = I_2 + aA, unde a∈Za \in \mathbb{Z}. a) Calculați A2−3AA^2 - 3A. b) Demonstrați că X(a)⋅X(b)=X(a+b+3ab)X(a) \cdot X(b) = X(a + b + 3ab), oricare ar fi a,b∈Za, b \in \mathbb{Z}. c) Arătați că X(a)X(a) este matrice inversabilă, oricare ar fi a∈Za \in \mathbb{Z}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
A2=(1−1−22)⋅(1−1−22)=(3−3−66)A^2 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ -6 & 6 \end{pmatrix}
2
1 punct
3A=(3−3−66)3A = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ -6 & 6 \end{pmatrix}
3
1 punct
A2−3A=(0000)A^2 - 3A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
b)5 puncte
4
2 puncte
X(a)⋅X(b)=(I2+aA)(I2+bA)=I2+bA+aA+abA2=X(a) \cdot X(b) = (I_2 + aA)(I_2 + bA) = I_2 + bA + aA + abA^2 =
5
1 punct
=I2+aA+bA+3abA== I_2 + aA + bA + 3abA =
6
2 puncte
=I2+(a+b+3ab)A=X(a+b+3ab)= I_2 + (a + b + 3ab)A = X(a + b + 3ab)
c)5 puncte
7
2 puncte
X(a)=I2+aA=(1+a−a−2a1+2a)X(a) = I_2 + aA = \begin{pmatrix} 1+a & -a \\ -2a & 1+2a \end{pmatrix}
8
1 punct
X(a)X(a) matrice inversabilă ⇔det⁡X(a)≠0\Leftrightarrow \det X(a) \neq 0
9
1 punct
1+3a≠0⇒a≠−131 + 3a \neq 0 \Rightarrow a \neq -\frac{1}{3}
10
1 punct
Deoarece −13∉Z⇒X(a)-\frac{1}{3} \notin \mathbb{Z} \Rightarrow X(a) este matrice inversabilă oricare ar fi a∈Za \in \mathbb{Z}
Exercițiul 2
Polinomul f=X3+2X2−5X+mf = X^3 + 2X^2 - 5X + m, cu m∈Rm \in \mathbb{R} are rădăcinile x1x_1, x2x_2 și x3x_3. a) Calculați x12+x22+x32x_1^2 + x_2^2 + x_3^2. b) Determinați m∈R∗m \in \mathbb{R}^* pentru care x1+x2+x3=1x1+1x2+1x3x_1 + x_2 + x_3 = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}. c) Arătați că determinantul Δ=∣x1x2x3x2x3x1x3x1x2∣\Delta = \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_2 & x_3 & x_1 \\ x_3 & x_1 & x_2 \end{vmatrix} este număr natural, oricare ar fi m∈Rm \in \mathbb{R}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
Din relațiile lui Viete avem x1+x2+x3=−2x_1 + x_2 + x_3 = -2 și x1x2+x1x3+x2x3=−5x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = -5
2
2 puncte
x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)=x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) =
3
1 punct
=14= 14
b)5 puncte
4
1 punct
x1x2x3=−mx_1 x_2 x_3 = -m
5
2 puncte
1x1+1x2+1x3=x1x2+x1x3+x2x3x1x2x3=−5−m\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3}{x_1 x_2 x_3} = \frac{-5}{-m}
6
2 puncte
x1+x2+x3=1x1+1x2+1x3⇔m=−52x_1 + x_2 + x_3 = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} \Leftrightarrow m = -\frac{5}{2}
c)5 puncte
7
3 puncte
Δ=(x1+x2+x3)(x1x2+x2x3+x3x1−x12−x22−x32)=\Delta = (x_1 + x_2 + x_3)(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 - x_1^2 - x_2^2 - x_3^2) =
8
2 puncte
=−2(−5−14)=38∈N= -2(-5 - 14) = 38 \in \mathbb{N}

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:[1,+∞)→Rf : [1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ex−1xf(x) = e^x - \frac{1}{x}. a) Calculați lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2}. b) Arătați că f(x)>0f(x) > 0, oricare ar fi x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty). c) Arătați că graficul funcției ff nu admite asimptotă spre +∞+\infty.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=f′(2)\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = f'(2)
2
2 puncte
f′(x)=ex+1x2f'(x) = e^x + \frac{1}{x^2}
3
1 punct
lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=e2+14\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = e^2 + \frac{1}{4}
b)5 puncte
4
2 puncte
f′(x)=ex+1x2>0f'(x) = e^x + \frac{1}{x^2} > 0, ∀x∈[1,+∞)⇒f\forall x \in [1, +\infty) \Rightarrow f crescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty)
5
3 puncte
f(1)=e−1>0⇒f(x)>0f(1) = e - 1 > 0 \Rightarrow f(x) > 0, ∀x∈[1,+∞)\forall x \in [1, +\infty)
c)5 puncte
6
2 puncte
lim⁡x→+∞f(x)=+∞⇒\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \Rightarrow graficul nu admite asimptotă orizontală
7
3 puncte
lim⁡x→+∞f(x)x=+∞⇒\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty \Rightarrow graficul nu admite asimptotă oblică
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+10f(x) = \sqrt{x^2 + 10}. a) Calculați volumul corpului obținut prin rotația, în jurul axei OxOx, a graficului funcției g:[0,3]→Rg : [0, 3] \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)g(x) = f(x). b) Demonstrați că orice primitivă FF a funcției ff este crescătoare pe mulțimea R\mathbb{R}. c) Demonstrați că ∫−1010f(x) dx=2∫010f(x) dx\displaystyle\int_{-10}^{10} f(x) \, dx = 2 \int_0^{10} f(x) \, dx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
V=π∫03g2(x) dx=π∫03(x2+10) dxV = \pi \displaystyle\int_0^3 g^2(x) \, dx = \pi \int_0^3 (x^2 + 10) \, dx
2
3 puncte
V=π(x33+10x)∣03=39πV = \pi \left(\frac{x^3}{3} + 10x\right)\bigg|_0^3 = 39\pi
b)5 puncte
3
2 puncte
F′(x)=f(x)F'(x) = f(x), ∀x∈R\forall x \in \mathbb{R}
4
3 puncte
f(x)>0f(x) > 0, ∀x∈R⇒F\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow F este crescătoare pe R\mathbb{R}
c)5 puncte
5
2 puncte
∫−1010f(x) dx=∫−100f(x) dx+∫010f(x) dx=\displaystyle\int_{-10}^{10} f(x) \, dx = \int_{-10}^{0} f(x) \, dx + \int_0^{10} f(x) \, dx =
6
2 puncte
=∫010(−f(t)) dt+∫010f(x) dx== \displaystyle\int_0^{10} (-f(t)) \, dt + \int_0^{10} f(x) \, dx =
7
1 punct
=2∫010f(x) dx= 2 \displaystyle\int_0^{10} f(x) \, dx

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2011 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Vară Rezervă 2011 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac