BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2013 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 3(2−2)+32=63(2 - \sqrt{2}) + 3\sqrt{2} = 6.

Rezolvare

1
2 puncte
3(2−2)=6−323(2 - \sqrt{2}) = 6 - 3\sqrt{2}
2
3 puncte
6−32+32=66 - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 6
Exercițiul 2
Calculați f(0)⋅f(2)f(0) \cdot f(2) pentru funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x−1f(x) = x - 1.

Rezolvare

1
2 puncte
f(0)=−1f(0) = -1
2
2 puncte
f(2)=1f(2) = 1
3
1 punct
f(0)⋅f(2)=−1f(0) \cdot f(2) = -1
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x−2=255^{x-2} = 25.

Rezolvare

1
2 puncte
5x−2=525^{x-2} = 5^2
2
3 puncte
x=4x = 4
Exercițiul 4
Prețul unui obiect este 100100 de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu 10%10\%.

Rezolvare

1
2 puncte
10%⋅100=1010\% \cdot 100 = 10
2
3 puncte
Prețul după scumpire este 110110 lei
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,1)A(1, 1) și B(1,3)B(1, 3). Calculați distanța de la punctul AA la punctul BB.

Rezolvare

1
3 puncte
AB=(1−1)2+(3−1)2AB = \sqrt{(1-1)^2 + (3-1)^2}
2
2 puncte
AB=2AB = 2
Exercițiul 6
Calculați cos⁡45°+cos⁡135°\cos 45° + \cos 135°.

Rezolvare

1
2 puncte
cos⁡45°=22\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}
2
2 puncte
cos⁡135°=−22\cos 135° = -\frac{\sqrt{2}}{2}
3
1 punct
cos⁡45°+cos⁡135°=0\cos 45° + \cos 135° = 0

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Pentru fiecare număr real aa se consideră matricea M(a)=(2a002a)M(a) = \begin{pmatrix} 2a & 0 \\ 0 & 2a \end{pmatrix}. a) Arătați că M(12)+M(−12)=M(0)M\left(\frac{1}{2}\right) + M\left(-\frac{1}{2}\right) = M(0). b) Determinați numărul real aa pentru care det⁡(M(a))=0\det(M(a)) = 0. c) Determinați matricea M(−2)+M(−1)+M(0)+M(1)+M(2)M(-2) + M(-1) + M(0) + M(1) + M(2).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
M(12)=(1001)M\left(\frac{1}{2}\right) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
2
2 puncte
M(−12)=(−100−1)M\left(-\frac{1}{2}\right) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
3
1 punct
(1001)+(−100−1)=M(0)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = M(0)
b)5 puncte
4
3 puncte
det⁡(M(a))=∣2a002a∣=4a2\det(M(a)) = \begin{vmatrix} 2a & 0 \\ 0 & 2a \end{vmatrix} = 4a^2
5
2 puncte
4a2=0⇔a=04a^2 = 0 \Leftrightarrow a = 0
c)5 puncte
6
2 puncte
M(−2)+M(−1)+M(0)+M(1)+M(2)=(M(−2)+M(2))+(M(−1)+M(1))+M(0)=M(-2) + M(-1) + M(0) + M(1) + M(2) = (M(-2) + M(2)) + (M(-1) + M(1)) + M(0) =
7
3 puncte
=3M(0)=(0000)= 3M(0) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−2X2+1f = X^3 - 2X^2 + 1. a) Arătați că f(1)=0f(1) = 0. b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului ff la polinomul g=X2−2X+1g = X^2 - 2X + 1. c) Calculați x12+x22+x32x_1^2 + x_2^2 + x_3^2, unde x1x_1, x2x_2, x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f(1)=13−2⋅12+1=f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 =
2
2 puncte
=1−2+1=0= 1 - 2 + 1 = 0
b)5 puncte
3
2 puncte
Câtul este XX
4
3 puncte
Restul este −X+1-X + 1
c)5 puncte
5
2 puncte
x1+x2+x3=2x_1 + x_2 + x_3 = 2, x1x2+x2x3+x3x1=0x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = 0
6
3 puncte
x12+x22+x32=4−2⋅0=4x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 4 - 2 \cdot 0 = 4

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:[0,+∞)→Rf : [0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x−1f(x) = \sqrt{x} - 1. a) Arătați că 2xf′(x)=12\sqrt{x} f'(x) = 1, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Verificați dacă dreapta de ecuație y=14xy = \frac{1}{4}x este tangentă la graficul funcției ff în punctul de abscisă x0=4x_0 = 4, situat pe graficul funcției ff. c) Arătați că funcția ff este concavă pe intervalul (0,+∞)(0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=(x)′−1′=12xf'(x) = (\sqrt{x})' - 1' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
2
2 puncte
2xf′(x)=2x⋅12x=12\sqrt{x} f'(x) = 2\sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
y−f(4)=f′(4)(x−4)y - f(4) = f'(4)(x - 4)
4
3 puncte
f(4)=1f(4) = 1, f′(4)=14⇒f'(4) = \frac{1}{4} \Rightarrow ecuația tangentei este y=14xy = \frac{1}{4}x
c)5 puncte
5
3 puncte
f′′(x)=−14xxf''(x) = -\frac{1}{4x\sqrt{x}}, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
6
2 puncte
f′′(x)<0f''(x) < 0, pentru orice x∈(0,+∞)⇒fx \in (0, +\infty) \Rightarrow f este concavă pe intervalul (0,+∞)(0, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=2x+1+1xf(x) = 2x + 1 + \frac{1}{x}. a) Calculați ∫12(f(x)−1x)dx\displaystyle\int_1^2 \left(f(x) - \frac{1}{x}\right) dx. b) Arătați că funcția F:(0,+∞)→RF : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, F(x)=x2+x+ln⁡xF(x) = x^2 + x + \ln x este o primitivă a funcției ff. c) Calculați aria suprafeței delimitate de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuație x=1x = 1 și x=2x = 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
∫12(f(x)−1x)dx=∫12(2x+1) dx=\displaystyle\int_1^2 \left(f(x) - \frac{1}{x}\right) dx = \int_1^2 (2x + 1) \, dx =
2
3 puncte
=(x2+x)∣12=(4+2)−(1+1)=4= (x^2 + x)\bigg|_1^2 = (4 + 2) - (1 + 1) = 4
b)5 puncte
3
3 puncte
F′(x)=(x2+x+ln⁡x)′=2x+1+1xF'(x) = (x^2 + x + \ln x)' = 2x + 1 + \frac{1}{x}
4
2 puncte
F′(x)=f(x)F'(x) = f(x), pentru orice x∈(0,+∞)⇒Fx \in (0, +\infty) \Rightarrow F este o primitivă a funcției ff
c)5 puncte
5
2 puncte
A=∫12∣f(x)∣ dx=∫12(2x+1+1x)dx=\mathcal{A} = \displaystyle\int_1^2 |f(x)| \, dx = \int_1^2 \left(2x + 1 + \frac{1}{x}\right) dx =
6
3 puncte
=(x2+x+ln⁡x)∣12=4+2+ln⁡2−1−1−ln⁡1=4+ln⁡2= (x^2 + x + \ln x)\bigg|_1^2 = 4 + 2 + \ln 2 - 1 - 1 - \ln 1 = 4 + \ln 2

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2013 — Științele Naturii

Următor →

Bac Specială 2013 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac