BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2015 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră numărul complex z=1+iz = 1 + i. Arătați că z2−2i=0z^2 - 2i = 0.

Rezolvare

1
3 puncte
(1+i)2=1+2i+i2=2i(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i
2
2 puncte
z2−2i=2i−2i=0z^2 - 2i = 2i - 2i = 0
Exercițiul 2
Calculați (g∘f)(3)(g \circ f)(3), unde f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x−3f(x) = x - 3 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=x+2015g(x) = x + 2015.

Rezolvare

1
2 puncte
f(3)=0f(3) = 0
2
3 puncte
(g∘f)(3)=g(f(3))=g(0)=2015(g \circ f)(3) = g(f(3)) = g(0) = 2015
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x2−5x=53−3x5^{x^2-5x} = 5^{3-3x}.

Rezolvare

1
3 puncte
x2−5x=3−3x⇔x2−2x−3=0x^2 - 5x = 3 - 3x \Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0
2
2 puncte
x1=−1x_1 = -1 și x2=3x_2 = 3
Exercițiul 4
Determinați numărul submulțimilor cu patru elemente ale mulțimii {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\}.

Rezolvare

1
3 puncte
C54=5!4!⋅1!=C_5^4 = \dfrac{5!}{4! \cdot 1!} =
2
2 puncte
=5= 5
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctul A(0,4)A(0,4). Determinați ecuația dreptei dd care trece prin punctul AA și este paralelă cu dreapta de ecuație y=2x+7y = 2x + 7.

Rezolvare

1
2 puncte
Panta dreptei dd este egală cu 22
2
3 puncte
Ecuația dreptei dd este y=2x+4y = 2x + 4
Exercițiul 6
Determinați aria triunghiului MNPMNP, știind că MN=12MN = 12, MP=3MP = 3 și m(∢M)=30°m(\sphericalangle M) = 30°.

Rezolvare

1
3 puncte
A△MNP=12⋅3⋅sin⁡30°2=6⋅32=\mathcal{A}_{\triangle MNP} = \dfrac{12 \cdot 3 \cdot \sin 30°}{2} = \dfrac{6 \cdot 3}{2} =
2
2 puncte
=9= 9

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(1−a−a1)A(a) = \begin{pmatrix} 1 & -a \\ -a & 1 \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=1\det(A(0)) = 1. b) Determinați numerele reale aa, pentru care det⁡(A(a))=0\det(A(a)) = 0. c) Arătați că A(a)⋅A(b)=A(a+b)+ab⋅I2A(a) \cdot A(b) = A(a+b) + ab \cdot I_2, pentru orice numere reale aa și bb, unde I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
A(0)=(1001)⇒det⁡(A(0))=∣1001∣=A(0) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=1⋅1−0⋅0=1= 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
det⁡(A(a))=∣1−a−a1∣=1−a2\det(A(a)) = \begin{vmatrix} 1 & -a \\ -a & 1 \end{vmatrix} = 1 - a^2
4
2 puncte
1−a2=0⇔a1=−11 - a^2 = 0 \Leftrightarrow a_1 = -1 și a2=1a_2 = 1
c)5 puncte
5
3 puncte
A(a)⋅A(b)=(1+ab−b−a−a−bab+1)A(a) \cdot A(b) = \begin{pmatrix} 1+ab & -b-a \\ -a-b & ab+1 \end{pmatrix}, A(a+b)=(1−a−b−a−b1)A(a+b) = \begin{pmatrix} 1 & -a-b \\ -a-b & 1 \end{pmatrix}, ab⋅I2=(ab00ab)ab \cdot I_2 = \begin{pmatrix} ab & 0 \\ 0 & ab \end{pmatrix}
6
2 puncte
A(a+b)+ab⋅I2=(1+ab−a−b−a−b1+ab)=A(a)⋅A(b)A(a+b) + ab \cdot I_2 = \begin{pmatrix} 1+ab & -a-b \\ -a-b & 1+ab \end{pmatrix} = A(a) \cdot A(b), pentru orice numere reale aa și bb
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−mX+2f = X^3 - mX + 2, unde mm este număr real. a) Arătați că f(0)=2f(0) = 2. b) Determinați numărul real mm, știind că restul împărțirii lui ff la polinomul g=X2+X−2g = X^2 + X - 2 este egal cu 00. c) Demonstrați că x13+x23+x33=−6x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = -6, pentru orice număr real mm, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f(0)=03−m⋅0+2=f(0) = 0^3 - m \cdot 0 + 2 =
2
2 puncte
=0−0+2=2= 0 - 0 + 2 = 2
b)5 puncte
3
3 puncte
Restul este (3−m)X(3 - m)X
4
2 puncte
3−m=0⇔m=33 - m = 0 \Leftrightarrow m = 3
c)5 puncte
5
2 puncte
x1+x2+x3=0x_1 + x_2 + x_3 = 0
6
3 puncte
x13+x23+x33=m(x1+x2+x3)−6=m⋅0−6=−6x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = m(x_1 + x_2 + x_3) - 6 = m \cdot 0 - 6 = -6

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex−x−1f(x) = e^x - x - 1. a) Arătați că lim⁡x→0f(x)−f(0)x=0\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - f(0)}{x} = 0. b) Arătați că funcția ff este descrescătoare pe intervalul (−∞,0](-\infty, 0]. c) Demonstrați că ex≥x+1e^x \geq x + 1, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
lim⁡x→0f(x)−f(0)x=f′(0)\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - f(0)}{x} = f'(0)
2
3 puncte
f′(x)=ex−1f'(x) = e^x - 1 și f′(0)=0⇒lim⁡x→0f(x)−f(0)x=0f'(0) = 0 \Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - f(0)}{x} = 0
b)5 puncte
3
2 puncte
ex≤1⇔x≤0e^x \leq 1 \Leftrightarrow x \leq 0
4
3 puncte
f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈(−∞,0]x \in (-\infty, 0], deci ff este descrescătoare pe intervalul (−∞,0](-\infty, 0]
c)5 puncte
5
2 puncte
f′(0)=0f'(0) = 0 și f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty), deci ff este crescătoare pe intervalul [0,+∞)[0, +\infty)
6
3 puncte
Cum ff este descrescătoare pe intervalul (−∞,0](-\infty, 0], obținem f(x)≥f(0)⇒ex≥x+1f(x) \geq f(0) \Rightarrow e^x \geq x + 1, pentru orice număr real xx
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−2x+5f(x) = x^2 - 2x + 5. a) Arătați că ∫01(f(x)+2x−5)dx=13\displaystyle\int_0^1 \left(f(x) + 2x - 5\right) dx = \dfrac{1}{3}. b) Calculați ∫02f′(x)f(x) dx\displaystyle\int_0^2 \dfrac{f'(x)}{f(x)}\, dx. c) Arătați că ∫201420151f(x) dx≤14\displaystyle\int_{2014}^{2015} \dfrac{1}{f(x)}\, dx \leq \dfrac{1}{4}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
∫01(f(x)+2x−5)dx=∫01(x2−2x+5+2x−5) dx=∫01x2 dx=\displaystyle\int_0^1 \left(f(x) + 2x - 5\right) dx = \int_0^1 (x^2 - 2x + 5 + 2x - 5)\, dx = \int_0^1 x^2\, dx =
2
3 puncte
=x33∣01=13= \left.\dfrac{x^3}{3}\right|_0^1 = \dfrac{1}{3}
b)5 puncte
3
3 puncte
∫02f′(x)f(x) dx=ln⁡(x2−2x+5)∣02=\displaystyle\int_0^2 \dfrac{f'(x)}{f(x)}\, dx = \left.\ln(x^2 - 2x + 5)\right|_0^2 =
4
2 puncte
=ln⁡5−ln⁡5=0= \ln 5 - \ln 5 = 0
c)5 puncte
5
2 puncte
f(x)=(x−1)2+4≥4f(x) = (x-1)^2 + 4 \geq 4, pentru orice număr real xx
6
3 puncte
∫201420151f(x) dx≤∫2014201514 dx=14⋅x∣20142015=14\displaystyle\int_{2014}^{2015} \dfrac{1}{f(x)}\, dx \leq \int_{2014}^{2015} \dfrac{1}{4}\, dx = \dfrac{1}{4} \cdot x \Big|_{2014}^{2015} = \dfrac{1}{4}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2015 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Vară 2015 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac