BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2016 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (2−3)2+(2+3)2=22(\sqrt{2} - 3)^2 + (\sqrt{2} + 3)^2 = 22.

Rezolvare

1
2 puncte
(2−3)2=11−62(\sqrt{2} - 3)^2 = 11 - 6\sqrt{2}
2
3 puncte
(2+3)2=11+62⇒(2−3)2+(2+3)2=11−62+11+62=22(\sqrt{2} + 3)^2 = 11 + 6\sqrt{2} \Rightarrow (\sqrt{2} - 3)^2 + (\sqrt{2} + 3)^2 = 11 - 6\sqrt{2} + 11 + 6\sqrt{2} = 22
Exercițiul 2
Calculați produsul f(−1)⋅f(0)⋅f(1)f(-1) \cdot f(0) \cdot f(1), unde f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+2f(x) = 2x + 2.

Rezolvare

1
3 puncte
f(−1)=0f(-1) = 0
2
2 puncte
f(−1)⋅f(0)⋅f(1)=0f(-1) \cdot f(0) \cdot f(1) = 0
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x2−6x+6)=log⁡31\log_3(x^2 - 6x + 6) = \log_3 1.

Rezolvare

1
2 puncte
x2−6x+6=1⇒x2−6x+5=0x^2 - 6x + 6 = 1 \Rightarrow x^2 - 6x + 5 = 0
2
3 puncte
x=1x = 1 sau x=5x = 5, care verifică ecuația dată
Exercițiul 4
Determinați câte numere naturale pare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifrele 55, 77, 88 și 99.

Rezolvare

1
2 puncte
Cifra unităților este 88
2
3 puncte
Cum cifrele sunt distincte, cifra zecilor poate fi aleasă în 33 moduri și, pentru fiecare alegere a acesteia, cifra sutelor poate fi aleasă în câte 22 moduri, deci se pot forma 3⋅2⋅1=63 \cdot 2 \cdot 1 = 6 astfel de numere
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(−1,0)A(-1, 0) și B(1,2)B(1, 2). Determinați ecuația dreptei dd care trece prin punctul OO și este paralelă cu dreapta ABAB.

Rezolvare

1
3 puncte
mAB=1m_{AB} = 1 și md=mAB⇒md=1m_d = m_{AB} \Rightarrow m_d = 1
2
2 puncte
Ecuația dreptei dd este y=xy = x
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡(3π2+x)−sin⁡(3π2−x)=0\sin\left(\dfrac{3\pi}{2} + x\right) - \sin\left(\dfrac{3\pi}{2} - x\right) = 0, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡(3π2−x)=sin⁡(3π−3π2−x)=sin⁡(π−(3π2+x))=sin⁡(3π2+x)\sin\left(\dfrac{3\pi}{2} - x\right) = \sin\left(3\pi - \dfrac{3\pi}{2} - x\right) = \sin\left(\pi - \left(\dfrac{3\pi}{2} + x\right)\right) = \sin\left(\dfrac{3\pi}{2} + x\right)
2
2 puncte
sin⁡(3π2+x)−sin⁡(3π2−x)=sin⁡(3π2+x)−sin⁡(3π2+x)=0\sin\left(\dfrac{3\pi}{2} + x\right) - \sin\left(\dfrac{3\pi}{2} - x\right) = \sin\left(\dfrac{3\pi}{2} + x\right) - \sin\left(\dfrac{3\pi}{2} + x\right) = 0, pentru orice număr real xx

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(1xx2+x012x001)A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x & x^2+x \\ 0 & 1 & 2x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(1))=1\det(A(1)) = 1. b) Demonstrați că A(x)⋅A(y)=A(x+y)A(x) \cdot A(y) = A(x+y), pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numărul real aa, a≠−1a \neq -1, știind că A(11⋅2)⋅A(12⋅3)⋅…⋅A(12016⋅2017)=A(aa+1)A\left(\dfrac{1}{1 \cdot 2}\right) \cdot A\left(\dfrac{1}{2 \cdot 3}\right) \cdot \ldots \cdot A\left(\dfrac{1}{2016 \cdot 2017}\right) = A\left(\dfrac{a}{a+1}\right).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
A(1)=(112012001)⇒det⁡(A(1))=∣112012001∣=A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=1+0+0−0−0−0=1= 1 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
A(x)⋅A(y)=(1y+xy2+y+2xy+x2+x012y+2x001)=(1x+y(x+y)2+(x+y)012(x+y)001)A(x) \cdot A(y) = \begin{pmatrix} 1 & y+x & y^2+y+2xy+x^2+x \\ 0 & 1 & 2y+2x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & x+y & (x+y)^2+(x+y) \\ 0 & 1 & 2(x+y) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
4
2 puncte
=A(x+y)= A(x+y), pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
3 puncte
A(11⋅2)⋅A(12⋅3)⋅…⋅A(12016⋅2017)=A(11⋅2+12⋅3+…+12016⋅2017)=A(1−12+12−13+…+12016−12017)=A(20162017)A\left(\dfrac{1}{1 \cdot 2}\right) \cdot A\left(\dfrac{1}{2 \cdot 3}\right) \cdot \ldots \cdot A\left(\dfrac{1}{2016 \cdot 2017}\right) = A\left(\dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \ldots + \dfrac{1}{2016 \cdot 2017}\right) = A\left(1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{2016} - \dfrac{1}{2017}\right) = A\left(\dfrac{2016}{2017}\right)
6
2 puncte
A(20162017)=A(aa+1)⇔a=2016A\left(\dfrac{2016}{2017}\right) = A\left(\dfrac{a}{a+1}\right) \Leftrightarrow a = 2016
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X4+mX2+2f = X^4 + mX^2 + 2, unde mm este număr real. a) Determinați numărul real mm, știind că f(1)=0f(1) = 0. b) Demonstrați că x12+x22+x32+x42+2(x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4)=0x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + 2(x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4) = 0, pentru orice număr real mm, unde x1x_1, x2x_2, x3x_3 și x4x_4 sunt rădăcinile polinomului ff. c) Pentru m=3m = 3, descompuneți polinomul ff în factori ireductibili în R[X]\mathbb{R}[X].

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
f(1)=0⇔1+m⋅1+2=0f(1) = 0 \Leftrightarrow 1 + m \cdot 1 + 2 = 0
2
3 puncte
m=−3m = -3
b)5 puncte
3
2 puncte
x1+x2+x3+x4=0x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0
4
3 puncte
x12+x22+x32+x42+2(x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4)=(x1+x2+x3+x4)2=0x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + 2(x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4) = (x_1 + x_2 + x_3 + x_4)^2 = 0, pentru orice număr real mm
c)5 puncte
5
3 puncte
f=X4+3X2+2=(X2+1)(X2+2)f = X^4 + 3X^2 + 2 = (X^2 + 1)(X^2 + 2)
6
2 puncte
Polinoamele X2+1X^2 + 1 și X2+2X^2 + 2 au coeficienți reali, au gradul 22 și nu au rădăcini reale, deci sunt ireductibile în R[X]\mathbb{R}[X]

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=xx2+1f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}. a) Arătați că f′(x)=1(x2+1)x2+1f'(x) = \dfrac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=0x = 0, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că, pentru orice număr real aa, a∈(−1,1)a \in (-1, 1), ecuația f(x)=af(x) = a are soluție unică.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=x2+1−x⋅2x2x2+1x2+1=f'(x) = \dfrac{\sqrt{x^2+1} - \dfrac{x \cdot 2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} =
2
2 puncte
=x2+1−x2(x2+1)x2+1=1(x2+1)x2+1= \dfrac{x^2+1-x^2}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
f(0)=0f(0) = 0, f′(0)=1f'(0) = 1
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0)y - f(0) = f'(0)(x - 0), adică y=xy = x
c)5 puncte
5
2 puncte
f′(x)>0f'(x) > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci ff este strict crescătoare pe R\mathbb{R}
6
3 puncte
Cum lim⁡x→−∞f(x)=−1\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1, lim⁡x→+∞f(x)=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 și funcția ff este continuă, atunci pentru orice a∈(−1,1)a \in (-1, 1), ecuația f(x)=af(x) = a are soluție unică
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex(x−1)f(x) = e^x(x-1). a) Arătați că ∫02f(x)e−x dx=0\displaystyle\int_0^2 f(x) e^{-x}\, dx = 0. b) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=1x = 1 și x=2x = 2 are aria egală cu ee. c) Demonstrați că lim⁡n→+∞∫−n1(f(x)+ex)dx=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \int_{-n}^1 \left(f(x) + e^x\right) dx = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫02f(x)e−x dx=∫02ex(x−1)e−x dx=∫02(x−1) dx=(x22−x)∣02=\displaystyle\int_0^2 f(x) e^{-x}\, dx = \int_0^2 e^x(x-1) e^{-x}\, dx = \int_0^2 (x-1)\, dx = \left.\left(\dfrac{x^2}{2} - x\right)\right|_0^2 =
2
2 puncte
=42−2=0= \dfrac{4}{2} - 2 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
A=∫12∣f(x)∣ dx=∫12(x−1)ex dx=(x−2)ex∣12=\mathcal{A} = \displaystyle\int_1^2 |f(x)|\, dx = \int_1^2 (x-1) e^x\, dx = \left.(x-2)e^x\right|_1^2 =
4
2 puncte
=0−(−1)e=e= 0 - (-1)e = e
c)5 puncte
5
3 puncte
∫−n1(f(x)+ex)dx=∫−n1xex dx=(x−1)ex∣−n1=−(n+1)e−n\displaystyle\int_{-n}^1 \left(f(x) + e^x\right) dx = \int_{-n}^1 x e^x\, dx = \left.(x-1)e^x\right|_{-n}^1 = -(n+1)e^{-n}
6
2 puncte
lim⁡n→+∞∫−n1(f(x)+ex)dx=lim⁡n→+∞n+1en=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \int_{-n}^1 \left(f(x) + e^x\right) dx = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{n+1}{e^n} = 0

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare 2016 — Tehnologic

Următor →

Bac Vară 2016 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac