BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2016 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră numărul complex z=1−iz = 1 - i. Arătați că z2=−2iz^2 = -2i.

Rezolvare

1
2 puncte
z2=(1−i)2=1−2i+i2=z^2 = (1-i)^2 = 1 - 2i + i^2 =
2
3 puncte
=1−2i−1=−2i= 1 - 2i - 1 = -2i
Exercițiul 2
Calculați (g∘f)(0)(g \circ f)(0), unde f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+2016f(x) = x + 2016 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=x−2016g(x) = x - 2016.

Rezolvare

1
2 puncte
f(0)=2016f(0) = 2016
2
3 puncte
(g∘f)(0)=g(f(0))=g(2016)=0(g \circ f)(0) = g(f(0)) = g(2016) = 0
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x2−3x=3x−43^{x^2-3x} = 3^{x-4}.

Rezolvare

1
3 puncte
x2−3x=x−4⇔x2−4x+4=0x^2 - 3x = x - 4 \Leftrightarrow x^2 - 4x + 4 = 0
2
2 puncte
x=2x = 2
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M={1,2,3,…,100}M = \{1, 2, 3, \ldots, 100\}, acesta să fie pătrat perfect.

Rezolvare

1
1 punct
Mulțimea MM are 100100 de elemente, deci sunt 100100 de cazuri posibile
2
2 puncte
În mulțimea MM sunt 1010 pătrate perfecte, deci sunt 1010 cazuri favorabile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=10100=110p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{10}{100} = \dfrac{1}{10}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctul A(0,1)A(0, 1). Determinați ecuația dreptei dd, care trece prin punctul AA și este paralelă cu dreapta de ecuație y=3x−2016y = 3x - 2016.

Rezolvare

1
2 puncte
Panta unei drepte paralele cu dreapta dd este egală cu 33
2
3 puncte
Ecuația dreptei care trece prin punctul AA și este paralelă cu dreapta dd este y=3x+1y = 3x + 1
Exercițiul 6
Determinați aria triunghiului ABCABC, știind că AB=6AB = 6, AC=4AC = 4 și A=π6A = \dfrac{\pi}{6}.

Rezolvare

1
3 puncte
A△ABC=6⋅4⋅sin⁡π62=6⋅4⋅122=\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \dfrac{6 \cdot 4 \cdot \sin\dfrac{\pi}{6}}{2} = \dfrac{6 \cdot 4 \cdot \dfrac{1}{2}}{2} =
2
2 puncte
=6= 6

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(m)=(m−1−12m−2)A(m) = \begin{pmatrix} m-1 & -1 \\ 2 & m-2 \end{pmatrix}, unde mm este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=4\det(A(0)) = 4. b) Demonstrați că A(1+m)+A(1−m)=2A(1)A(1+m) + A(1-m) = 2A(1), pentru orice număr real mm. c) Demonstrați că matricea A(m)A(m) este inversabilă, pentru orice număr real mm.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
A(0)=(−1−12−2)⇒det⁡(A(0))=∣−1−12−2∣=A(0) = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=2−(−2)=4= 2 - (-2) = 4
b)5 puncte
3
3 puncte
A(1+m)+A(1−m)=(1+m−1−121+m−2)+(1−m−1−121−m−2)=(0−24−2)=A(1+m) + A(1-m) = \begin{pmatrix} 1+m-1 & -1 \\ 2 & 1+m-2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1-m-1 & -1 \\ 2 & 1-m-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} =
4
2 puncte
=2(0−12−1)=2A(1)= 2\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = 2A(1), pentru orice număr real mm
c)5 puncte
5
2 puncte
det⁡(A(m))=∣m−1−12m−2∣=m2−3m+4\det(A(m)) = \begin{vmatrix} m-1 & -1 \\ 2 & m-2 \end{vmatrix} = m^2 - 3m + 4
6
3 puncte
Pentru orice număr real mm, m2−3m+4≠0m^2 - 3m + 4 \neq 0, deci matricea A(m)A(m) este inversabilă
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=−3xy+9x+9y−24x * y = -3xy + 9x + 9y - 24. a) Arătați că x∗y=−3(x−3)(y−3)+3x * y = -3(x-3)(y-3) + 3, pentru orice numere reale xx și yy. b) Demonstrați că legea de compoziție „∗*" este asociativă. c) Determinați numărul real xx, pentru care (x∗x)∗x=12(x * x) * x = 12.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
x∗y=−3xy+9x+9y−27+3=x * y = -3xy + 9x + 9y - 27 + 3 =
2
3 puncte
=−3x(y−3)+9(y−3)+3=−3(x−3)(y−3)+3= -3x(y-3) + 9(y-3) + 3 = -3(x-3)(y-3) + 3, pentru orice numere reale xx și yy
b)5 puncte
3
2 puncte
(x∗y)∗z=(−3(x−3)(y−3)+3)∗z=9(x−3)(y−3)(z−3)+3(x * y) * z = (-3(x-3)(y-3) + 3) * z = 9(x-3)(y-3)(z-3) + 3
4
3 puncte
x∗(y∗z)=x∗(−3(y−3)(z−3)+3)=9(x−3)(y−3)(z−3)+3=(x∗y)∗zx * (y * z) = x * (-3(y-3)(z-3) + 3) = 9(x-3)(y-3)(z-3) + 3 = (x * y) * z, pentru orice numere reale xx, yy și zz, deci legea de compoziție „∗*" este asociativă
c)5 puncte
5
2 puncte
(x∗x)∗x=9(x−3)3+3(x * x) * x = 9(x-3)^3 + 3
6
3 puncte
9(x−3)3+3=12⇔(x−3)3=1⇔x=49(x-3)^3 + 3 = 12 \Leftrightarrow (x-3)^3 = 1 \Leftrightarrow x = 4

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3ln⁡xf(x) = x^3 - 3\ln x. a) Arătați că f′(x)=3(x3−1)xf'(x) = \dfrac{3(x^3 - 1)}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției ff. c) Demonstrați că f(x)≥1f(x) \geq 1, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=3x2−3x=f'(x) = 3x^2 - \dfrac{3}{x} =
2
2 puncte
=3x3−3x=3(x3−1)x= \dfrac{3x^3 - 3}{x} = \dfrac{3(x^3 - 1)}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
lim⁡x→0x>0f(x)=lim⁡x→0x>0(x3−3ln⁡x)=+∞\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} (x^3 - 3\ln x) = +\infty
4
3 puncte
Dreapta de ecuație x=0x = 0 este asimptotă verticală la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
3 puncte
f′(x)=0⇔x=1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1; x∈(0,1]⇒f′(x)≤0x \in (0, 1] \Rightarrow f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe (0,1](0, 1]; x∈[1,+∞)⇒f′(x)≥0x \in [1, +\infty) \Rightarrow f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty)
6
2 puncte
Cum f(1)=1f(1) = 1, obținem f(x)≥1f(x) \geq 1, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+3x2+3x+3f(x) = \dfrac{2x+3}{x^2+3x+3}. a) Arătați că ∫12(x2+3x+3)⋅f(x) dx=6\displaystyle\int_1^2 (x^2+3x+3) \cdot f(x)\, dx = 6. b) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x = 0 și x=3x = 3 are aria egală cu ln⁡7\ln 7. c) Demonstrați că ∫−10f′(x)⋅f(x) dx=0\displaystyle\int_{-1}^0 f'(x) \cdot f(x)\, dx = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫12(x2+3x+3)⋅f(x) dx=∫12(2x+3) dx=(x2+3x)∣12=\displaystyle\int_1^2 (x^2+3x+3) \cdot f(x)\, dx = \int_1^2 (2x+3)\, dx = \left.(x^2+3x)\right|_1^2 =
2
2 puncte
=10−4=6= 10 - 4 = 6
b)5 puncte
3
3 puncte
A=∫03∣f(x)∣ dx=∫032x+3x2+3x+3 dx=ln⁡(x2+3x+3)∣03=\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^3 |f(x)|\, dx = \int_0^3 \dfrac{2x+3}{x^2+3x+3}\, dx = \left.\ln(x^2+3x+3)\right|_0^3 =
4
2 puncte
=ln⁡21−ln⁡3=ln⁡7= \ln 21 - \ln 3 = \ln 7
c)5 puncte
5
3 puncte
∫−10f′(x)⋅f(x) dx=12f2(x)∣−10=\displaystyle\int_{-1}^0 f'(x) \cdot f(x)\, dx = \left.\dfrac{1}{2} f^2(x)\right|_{-1}^0 =
6
2 puncte
=12(f2(0)−f2(−1))=12(1−1)=0= \dfrac{1}{2}\left(f^2(0) - f^2(-1)\right) = \dfrac{1}{2}(1 - 1) = 0

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2016 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Vară 2016 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac