BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2017 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră numărul complex z=2+iz = 2 + i. Arătați că z+z‾+zz‾=9z + \overline{z} + z\overline{z} = 9, unde z‾\overline{z} este conjugatul lui zz.

Rezolvare

1
3 puncte
z+z‾+zz‾=2+i+2−i+(2+i)(2−i)=z + \overline{z} + z\overline{z} = 2 + i + 2 - i + (2 + i)(2 - i) =
2
2 puncte
=4+4−i2=4+5=9= 4 + 4 - i^2 = 4 + 5 = 9
Exercițiul 2
Determinați numărul real mm, știind că punctul A(1,m)A(1, m) aparține graficului funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2x−3f(x) = x^2 + 2x - 3.

Rezolvare

1
3 puncte
f(1)=m⇒1+2−3=mf(1) = m \Rightarrow 1 + 2 - 3 = m
2
2 puncte
m=0m = 0
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (1−log⁡2x)(2−log⁡2x)=0(1 - \log_2 x)(2 - \log_2 x) = 0.

Rezolvare

1
3 puncte
1−log⁡2x=01 - \log_2 x = 0 sau 2−log⁡2x=02 - \log_2 x = 0
2
2 puncte
x=2x = 2 sau x=4x = 4, care convin
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor strict mai mică decât cifra unităților.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile
2
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre, care au cifra zecilor strict mai mică decât cifra unităților are 3636 de elemente, deci sunt 3636 de cazuri favorabile
3
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=3690=25p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{36}{90} = \frac{2}{5}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(3,1)A(3, 1), B(3,3)B(3, 3) și C(0,2)C(0, 2). Determinați lungimea medianei din CC a triunghiului ABCABC.

Rezolvare

1
3 puncte
M(3,2)M(3, 2), unde punctul MM este mijlocul segmentului ABAB
2
2 puncte
CM=3CM = 3
Exercițiul 6
Arătați că (1+tg⁡2x)cos⁡2x−(1+ctg⁡2x)sin⁡2x=0(1 + \operatorname{tg}^2 x)\cos^2 x - (1 + \operatorname{ctg}^2 x)\sin^2 x = 0, pentru orice x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right).

Rezolvare

1
3 puncte
(1+tg⁡2x)cos⁡2x−(1+ctg⁡2x)sin⁡2x=(1+sin⁡2xcos⁡2x)cos⁡2x−(1+cos⁡2xsin⁡2x)sin⁡2x=(1 + \operatorname{tg}^2 x)\cos^2 x - (1 + \operatorname{ctg}^2 x)\sin^2 x = \left(1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\right)\cos^2 x - \left(1 + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\right)\sin^2 x =
2
2 puncte
=cos⁡2x+sin⁡2x−(sin⁡2x+cos⁡2x)=0= \cos^2 x + \sin^2 x - (\sin^2 x + \cos^2 x) = 0, pentru orice x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(11212a−2−13)A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & a \\ -2 & -1 & 3 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+y+2z=0x+2y+az=0−2x−y+3z=0\begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ x + 2y + az = 0 \\ -2x - y + 3z = 0 \end{cases}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(9))=0\det(A(9)) = 0. b) Determinați valorile reale ale lui aa pentru care sistemul are soluție unică. c) Demonstrați că, dacă sistemul are soluția (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0), cu x0x_0, y0y_0 și z0z_0 numere reale nenule, atunci −x0+y0+z0=11(x0+y0+z0)-x_0 + y_0 + z_0 = 11(x_0 + y_0 + z_0).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
A(9)=(112129−2−13)A(9) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 9 \\ -2 & -1 & 3 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(9))=∣112129−2−13∣=\det(A(9)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 9 \\ -2 & -1 & 3 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=6+(−2)+(−18)−(−8)−(−9)−3=0= 6 + (-2) + (-18) - (-8) - (-9) - 3 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
det⁡(A(a))=∣11212a−2−13∣=9−a\det(A(a)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & a \\ -2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 9 - a
4
2 puncte
Sistemul are soluție unică ⇔det⁡(A(a))≠0\Leftrightarrow \det(A(a)) \neq 0, deci a∈R∖{9}a \in \mathbb{R} \setminus \{9\}
c)5 puncte
5
3 puncte
Sistemul are soluția (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0), cu x0x_0, y0y_0 și z0z_0 numere reale nenule, deci a=9a = 9 și soluția sistemului este de forma (5α,−7α,α)(5\alpha, -7\alpha, \alpha), α∈R\alpha \in \mathbb{R}
6
2 puncte
−x0+y0+z0=−5α+(−7α)+α=−11α=11(5α+(−7α)+α)=11(x0+y0+z0)-x_0 + y_0 + z_0 = -5\alpha + (-7\alpha) + \alpha = -11\alpha = 11(5\alpha + (-7\alpha) + \alpha) = 11(x_0 + y_0 + z_0)
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+7x+7y+42x \circ y = xy + 7x + 7y + 42. a) Arătați că x∘y=(x+7)(y+7)−7x \circ y = (x + 7)(y + 7) - 7, pentru orice numere reale xx și yy. b) Determinați numerele reale xx, știind că x∘x=xx \circ x = x. c) Determinați numărul real aa, știind că 2017a∘(−6)=12017^a \circ (-6) = 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
x∘y=xy+7x+7y+49−7=x \circ y = xy + 7x + 7y + 49 - 7 =
2
3 puncte
=x(y+7)+7(y+7)−7=(x+7)(y+7)−7= x(y + 7) + 7(y + 7) - 7 = (x + 7)(y + 7) - 7, pentru orice numere reale xx și yy
b)5 puncte
3
2 puncte
x∘x=(x+7)2−7x \circ x = (x + 7)^2 - 7, deci (x+7)2−7=x(x + 7)^2 - 7 = x
4
3 puncte
(x+7)(x+6)=0⇔x=−7(x + 7)(x + 6) = 0 \Leftrightarrow x = -7 sau x=−6x = -6
c)5 puncte
5
3 puncte
(2017a+7)(−6+7)−7=1⇔2017a+7−7=1(2017^a + 7)(-6 + 7) - 7 = 1 \Leftrightarrow 2017^a + 7 - 7 = 1
6
2 puncte
2017a=1⇔a=02017^a = 1 \Leftrightarrow a = 0

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(1,+∞)→Rf : (1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡x1−xf(x) = \frac{\ln x}{1 - x}. a) Arătați că f′(x)=1−x+xln⁡xx(1−x)2f'(x) = \frac{1 - x + x\ln x}{x(1 - x)^2}, x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty). b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Demonstrați că xln⁡x>x−1x\ln x > x - 1, pentru orice x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=1x⋅(1−x)−ln⁡x⋅(−1)(1−x)2=f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot (1 - x) - \ln x \cdot (-1)}{(1 - x)^2} =
2
2 puncte
=1−xx+ln⁡x(1−x)2=1−x+xln⁡xx(1−x)2= \frac{\frac{1 - x}{x} + \ln x}{(1 - x)^2} = \frac{1 - x + x\ln x}{x(1 - x)^2}, x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty)
b)5 puncte
3
3 puncte
lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞ln⁡x1−x=lim⁡x→+∞1x−1=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{1 - x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{-1} = 0
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=0y = 0 este asimptotă orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
3 puncte
g:(1,+∞)→Rg : (1, +\infty) \to \mathbb{R}, g(x)=xln⁡x−x+1⇒g′(x)=ln⁡xg(x) = x\ln x - x + 1 \Rightarrow g'(x) = \ln x, deci g′(x)>0g'(x) > 0 pentru orice x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty)
6
2 puncte
Funcția gg este strict crescătoare pe (1,+∞)(1, +\infty) și, cum lim⁡x→1g(x)=0\displaystyle\lim_{x \to 1} g(x) = 0, obținem g(x)>0g(x) > 0, deci xln⁡x>x−1x\ln x > x - 1, pentru orice x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex+3x2f(x) = e^x + 3x^2. a) Arătați că ∫01(f(x)−3x2) dx=e−1\displaystyle\int_0^1 (f(x) - 3x^2)\, dx = e - 1. b) Arătați că ∫01x⋅f(x) dx=74\displaystyle\int_0^1 x \cdot f(x)\, dx = \frac{7}{4}. c) Determinați numărul natural nenul nn, pentru care suprafața plană delimitată de graficul funcției g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)−exg(x) = f(x) - e^x, axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x = 0 și x=nx = n are aria egală cu n2−n+1n^2 - n + 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
∫01(f(x)−3x2) dx=∫01(ex+3x2−3x2) dx=∫01ex dx=\displaystyle\int_0^1 (f(x) - 3x^2)\, dx = \int_0^1 (e^x + 3x^2 - 3x^2)\, dx = \int_0^1 e^x\, dx =
2
3 puncte
=ex∣01=e−1= \left.e^x\right|_0^1 = e - 1
b)5 puncte
3
3 puncte
∫01x⋅f(x) dx=∫01(xex+3x3) dx=(x−1)ex∣01+3x44∣01=\displaystyle\int_0^1 x \cdot f(x)\, dx = \int_0^1 (xe^x + 3x^3)\, dx = \left.(x - 1)e^x\right|_0^1 + \left.\frac{3x^4}{4}\right|_0^1 =
4
2 puncte
=1⋅e0+34=74= 1 \cdot e^0 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}
c)5 puncte
5
3 puncte
g(x)=3x2⇒A=∫0n∣g(x)∣ dx=∫0n3x2 dx=x3∣0n=n3g(x) = 3x^2 \Rightarrow \mathcal{A} = \displaystyle\int_0^n |g(x)|\, dx = \int_0^n 3x^2\, dx = \left.x^3\right|_0^n = n^3
6
2 puncte
n3=n2−n+1⇔(n−1)(n2+1)=0⇔n=1n^3 = n^2 - n + 1 \Leftrightarrow (n - 1)(n^2 + 1) = 0 \Leftrightarrow n = 1

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare XI 2018 — Tehnologic

Următor →

Bac Vară 2017 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac