BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2017 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (2+12)⋅45=2\left(2 + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{4}{5} = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
2+12=522 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}
2
2 puncte
52⋅45=2\frac{5}{2} \cdot \frac{4}{5} = 2
Exercițiul 2
Arătați că x1+x2−1x1x2=1\frac{x_1 + x_2 - 1}{x_1 x_2} = 1, unde x1x_1 și x2x_2 sunt soluțiile ecuației x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0.

Rezolvare

1
2 puncte
x1+x2=4x_1 + x_2 = 4, x1x2=3x_1x_2 = 3
2
3 puncte
x1+x2−1x1x2=4−13=1\frac{x_1 + x_2 - 1}{x_1x_2} = \frac{4 - 1}{3} = 1
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x+1=82^{x+1} = 8.

Rezolvare

1
3 puncte
2x+1=23⇔x+1=32^{x+1} = 2^3 \Leftrightarrow x + 1 = 3
2
2 puncte
x=2x = 2
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}, acesta să fie multiplu de 44.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea AA are 99 elemente, deci sunt 99 cazuri posibile
2
2 puncte
Multiplii de 44 din mulțimea AA sunt 44 și 88, deci sunt 22 cazuri favorabile
3
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=29p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{2}{9}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,3)A(0, 3) și B(4,0)B(4, 0). Calculați perimetrul triunghiului OABOAB.

Rezolvare

1
3 puncte
AB=(4−0)2+(0−3)2=5AB = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 3)^2} = 5, AO=3AO = 3, BO=4BO = 4
2
2 puncte
P△AOB=AB+AO+BO=5+3+4=12P_{\triangle AOB} = AB + AO + BO = 5 + 3 + 4 = 12
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡2150°+sin⁡260°=1\sin^2 150° + \sin^2 60° = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡150°=12\sin 150° = \frac{1}{2}, sin⁡60°=32\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}
2
2 puncte
sin⁡2150°+sin⁡260°=(12)2+(32)2=14+34=1\sin^2 150° + \sin^2 60° = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(3223)A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} și B=(111a)B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡A=5\det A = 5. b) Determinați numărul real aa pentru care B⋅B=2BB \cdot B = 2B. c) Arătați că det⁡(A⋅B−B⋅A)≥0\det(A \cdot B - B \cdot A) \geq 0, pentru orice număr real aa.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
det⁡A=∣3223∣=3⋅3−2⋅2=\det A = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3 \cdot 3 - 2 \cdot 2 =
2
2 puncte
=9−4=5= 9 - 4 = 5
b)5 puncte
3
2 puncte
B⋅B=(2a+1a+1a2+1)B \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & a + 1 \\ a + 1 & a^2 + 1 \end{pmatrix}
4
3 puncte
2B=(2222a)2B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2a \end{pmatrix}, deci B⋅B=2B⇔a=1B \cdot B = 2B \Leftrightarrow a = 1
c)5 puncte
5
3 puncte
A⋅B−B⋅A=(53+2a52+3a)−(553+2a2+3a)=(02a−22−2a0)A \cdot B - B \cdot A = \begin{pmatrix} 5 & 3 + 2a \\ 5 & 2 + 3a \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 3 + 2a & 2 + 3a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2a - 2 \\ 2 - 2a & 0 \end{pmatrix}
6
2 puncte
det⁡(A⋅B−B⋅A)=∣02a−22−2a0∣=(2a−2)2≥0\det(A \cdot B - B \cdot A) = \begin{vmatrix} 0 & 2a - 2 \\ 2 - 2a & 0 \end{vmatrix} = (2a - 2)^2 \geq 0, pentru orice număr real aa
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−3x−3y+12x \circ y = xy - 3x - 3y + 12. a) Arătați că 1∘3=31 \circ 3 = 3. b) Demonstrați că x∘y=(x−3)(y−3)+3x \circ y = (x - 3)(y - 3) + 3, pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numărul real xx, pentru care (x∘x)∘x=3(x \circ x) \circ x = 3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
1∘3=1⋅3−3⋅1−3⋅3+12=1 \circ 3 = 1 \cdot 3 - 3 \cdot 1 - 3 \cdot 3 + 12 =
2
2 puncte
=3−3−9+12=3= 3 - 3 - 9 + 12 = 3
b)5 puncte
3
2 puncte
x∘y=xy−3x−3y+9+3=x \circ y = xy - 3x - 3y + 9 + 3 =
4
3 puncte
=x(y−3)−3(y−3)+3=(x−3)(y−3)+3= x(y - 3) - 3(y - 3) + 3 = (x - 3)(y - 3) + 3, pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
3 puncte
x∘x=(x−3)2+3x \circ x = (x - 3)^2 + 3, (x∘x)∘x=(x−3)3+3(x \circ x) \circ x = (x - 3)^3 + 3
6
2 puncte
(x−3)3+3=3⇔x=3(x - 3)^3 + 3 = 3 \Leftrightarrow x = 3

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3+6x+2f(x) = x^3 + 6x + 2. a) Arătați că f′(x)=3(x2+2)f'(x) = 3(x^2 + 2), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Arătați că lim⁡x→0f′(x)x+2=3\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{x + 2} = 3. c) Demonstrați că −5≤f(x)≤9-5 \leq f(x) \leq 9, pentru orice x∈[−1,1]x \in [-1, 1].

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
f′(x)=(x3)′+(6x)′+(2)′=f'(x) = (x^3)' + (6x)' + (2)' =
2
3 puncte
=3x2+6=3(x2+2)= 3x^2 + 6 = 3(x^2 + 2), x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
lim⁡x→0f′(x)x+2=lim⁡x→03(x2+2)x+2=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{x + 2} = \lim_{x \to 0} \frac{3(x^2 + 2)}{x + 2} =
4
3 puncte
=3(02+2)0+2=3= \frac{3(0^2 + 2)}{0 + 2} = 3
c)5 puncte
5
2 puncte
x∈[−1,1]⇒f′(x)>0x \in [-1, 1] \Rightarrow f'(x) > 0, deci ff este crescătoare pe [−1,1][-1, 1]
6
3 puncte
Cum f(−1)=−5f(-1) = -5 și f(1)=9f(1) = 9, obținem −5≤f(x)≤9-5 \leq f(x) \leq 9, pentru orice x∈[−1,1]x \in [-1, 1]
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=4x3−xf(x) = 4x^3 - x. a) Arătați că ∫01(f(x)+x) dx=1\displaystyle\int_0^1 (f(x) + x)\, dx = 1. b) Arătați că ∫01(4x3−f(x))ex dx=1\displaystyle\int_0^1 (4x^3 - f(x))e^x\, dx = 1. c) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=1x = 1 și x=3x = 3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
∫01(f(x)+x) dx=∫01(4x3−x+x) dx=∫014x3 dx=\displaystyle\int_0^1 (f(x) + x)\, dx = \int_0^1 (4x^3 - x + x)\, dx = \int_0^1 4x^3\, dx =
2
3 puncte
=x4∣01=1= \left.x^4\right|_0^1 = 1
b)5 puncte
3
2 puncte
∫01(4x3−f(x))ex dx=∫01(4x3−4x3+x)ex dx=∫01xex dx=\displaystyle\int_0^1 (4x^3 - f(x))e^x\, dx = \int_0^1 (4x^3 - 4x^3 + x)e^x\, dx = \int_0^1 xe^x\, dx =
4
3 puncte
=(x−1)ex∣01=1= \left.(x - 1)e^x\right|_0^1 = 1
c)5 puncte
5
3 puncte
A=∫13∣f(x)∣ dx=∫13(4x3−x) dx=(x4−x22)∣13=\mathcal{A} = \displaystyle\int_1^3 |f(x)|\, dx = \int_1^3 (4x^3 - x)\, dx = \left.\left(x^4 - \frac{x^2}{2}\right)\right|_1^3 =
6
2 puncte
=81−92−1+12=76= 81 - \frac{9}{2} - 1 + \frac{1}{2} = 76

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2017 — Științele Naturii

Următor →

Bac Specială 2017 — Matematică-Informatică (Varianta 4)

← Înapoi la arhiva completă Bac