BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2018 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați numărul complex zz, știind că 2z‾−z=1−3i2\overline{z} - z = 1 - 3i, unde z‾\overline{z} este conjugatul lui zz.

Rezolvare

1
3 puncte
z=a+biz = a + bi, z‾=a−bi⇒2z‾−z=a−3bi\overline{z} = a - bi \Rightarrow 2\overline{z} - z = a - 3bi, unde aa și bb sunt numere reale
2
2 puncte
a−3bi=1−3i⇒a=1a - 3bi = 1 - 3i \Rightarrow a = 1 și b=1b = 1, deci z=1+iz = 1 + i
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−mx+1f(x) = x^2 - mx + 1, unde mm este număr real. Determinați numerele reale mm, știind că vârful parabolei asociate funcției ff se află pe axa OxOx.

Rezolvare

1
3 puncte
yV=0⇔Δ=0y_V = 0 \Leftrightarrow \Delta = 0
2
2 puncte
Cum Δ=m2−4\Delta = m^2 - 4, obținem m2−4=0m^2 - 4 = 0, deci m=−2m = -2 sau m=2m = 2
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația lg⁡xlg⁡(x+2)=12\frac{\lg x}{\lg(x + 2)} = \frac{1}{2}.

Rezolvare

1
3 puncte
2lg⁡x=lg⁡(x+2)⇒x2−x−2=02\lg x = \lg(x + 2) \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0
2
2 puncte
x=−1x = -1, care nu convine, x=2x = 2, care convine
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele distincte și impare.

Rezolvare

1
1 punct
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile
2
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre, care au cifrele distincte și impare are 2020 de elemente, deci sunt 2020 de cazuri favorabile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=2090=29p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{20}{90} = \frac{2}{9}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctul A(−5,2)A(-5, 2) și dreapta dd de ecuație y=x+1y = x + 1. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul AA și este perpendiculară pe dreapta dd.

Rezolvare

1
3 puncte
Panta dreptei dd este md=1⇒m_d = 1 \Rightarrow panta unei drepte perpendiculare pe dreapta dd este m=−1m = -1
2
2 puncte
Ecuația dreptei care trece prin punctul AA și este perpendiculară pe dreapta dd este y=−x−3y = -x - 3
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡(π4+x)−cos⁡(π4−x)=0\sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = 0, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡(π4+x)−cos⁡(π4−x)=sin⁡π4cos⁡x+cos⁡π4sin⁡x−(cos⁡π4cos⁡x+sin⁡π4sin⁡x)=\sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \sin\frac{\pi}{4}\cos x + \cos\frac{\pi}{4}\sin x - \left(\cos\frac{\pi}{4}\cos x + \sin\frac{\pi}{4}\sin x\right) =
2
3 puncte
=22(cos⁡x+sin⁡x−cos⁡x−sin⁡x)=0= \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x + \sin x - \cos x - \sin x) = 0, pentru orice număr real xx

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea M(m)=(2m1112m1112m)M(m) = \begin{pmatrix} 2m & 1 & 1 \\ 1 & 2m & 1 \\ 1 & 1 & 2m \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {2mx+y+z=−1x+2my+z=0x+y+2mz=1\begin{cases} 2mx + y + z = -1 \\ x + 2my + z = 0 \\ x + y + 2mz = 1 \end{cases}, unde mm este număr real. a) Arătați că det⁡(M(0))=2\det(M(0)) = 2. b) Determinați numerele reale mm, știind că det⁡(M(m))=0\det(M(m)) = 0. c) Pentru m=−1m = -1, demonstrați că, dacă (a,b,c)(a, b, c) este o soluție a sistemului, cel mult unul dintre numerele aa, bb și cc este întreg.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
M(0)=(011101110)M(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, deci det⁡(M(0))=∣011101110∣=\det(M(0)) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=0+1+1−0−0−0=2= 0 + 1 + 1 - 0 - 0 - 0 = 2
b)5 puncte
3
3 puncte
det⁡(M(m))=∣2m1112m1112m∣=2(m+1)(2m−1)2\det(M(m)) = \begin{vmatrix} 2m & 1 & 1 \\ 1 & 2m & 1 \\ 1 & 1 & 2m \end{vmatrix} = 2(m + 1)(2m - 1)^2, pentru orice număr real mm
4
2 puncte
m=−1m = -1 sau m=12m = \frac{1}{2}
c)5 puncte
5
3 puncte
a−b=13a - b = \frac{1}{3}, b−c=13b - c = \frac{1}{3} și a−c=23a - c = \frac{2}{3}
6
2 puncte
Deoarece a−b∉Za - b \notin \mathbb{Z}, b−c∉Zb - c \notin \mathbb{Z} și a−c∉Za - c \notin \mathbb{Z} ⇒\Rightarrow cel mult unul dintre numerele aa, bb și cc este întreg
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=4xy+3x+3y+32x * y = 4xy + 3x + 3y + \frac{3}{2}. a) Demonstrați că x∗y=4(x+34)(y+34)−34x * y = 4\left(x + \frac{3}{4}\right)\left(y + \frac{3}{4}\right) - \frac{3}{4}, pentru orice numere reale xx și yy. b) Determinați numărul real xx pentru care x∗x∗x=−12x * x * x = -\frac{1}{2}. c) Determinați numerele reale aa, știind că f(x)∗f(y)=f(x+y)f(x) * f(y) = f(x + y), pentru orice numere reale xx și yy, unde f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=aex−34f(x) = ae^x - \frac{3}{4}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
x∗y=4xy+3x+3y+94−34=x * y = 4xy + 3x + 3y + \frac{9}{4} - \frac{3}{4} =
2
3 puncte
=4x(y+34)+3(y+34)−34=4(x+34)(y+34)−34= 4x\left(y + \frac{3}{4}\right) + 3\left(y + \frac{3}{4}\right) - \frac{3}{4} = 4\left(x + \frac{3}{4}\right)\left(y + \frac{3}{4}\right) - \frac{3}{4}, pentru orice numere reale xx și yy
b)5 puncte
3
2 puncte
x∗x=4(x+34)2−34x * x = 4\left(x + \frac{3}{4}\right)^2 - \frac{3}{4}, x∗x∗x=16(x+34)3−34x * x * x = 16\left(x + \frac{3}{4}\right)^3 - \frac{3}{4}, pentru orice număr real xx
4
3 puncte
16(x+34)3−34=−12⇔(x+34)3=16416\left(x + \frac{3}{4}\right)^3 - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2} \Leftrightarrow \left(x + \frac{3}{4}\right)^3 = \frac{1}{64}, de unde obținem x=−12x = -\frac{1}{2}
c)5 puncte
5
2 puncte
4(aex−34+34)(aey−34+34)−34=aex+y−344\left(ae^x - \frac{3}{4} + \frac{3}{4}\right)\left(ae^y - \frac{3}{4} + \frac{3}{4}\right) - \frac{3}{4} = ae^{x+y} - \frac{3}{4}, pentru orice numere reale xx și yy
6
3 puncte
4a2=a4a^2 = a, deci a=0a = 0 sau a=14a = \frac{1}{4}

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=8x2−ln⁡xf(x) = 8x^2 - \ln x. a) Arătați că f′(x)=(4x−1)(4x+1)xf'(x) = \frac{(4x - 1)(4x + 1)}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Demonstrați că punctul A(23,3)A\left(\frac{2}{3}, 3\right) aparține tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=1x = 1, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că f(13)<f(17)<f(12)f\left(\frac{1}{3}\right) < f\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right) < f\left(\frac{1}{2}\right).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=16x−1x=f'(x) = 16x - \frac{1}{x} =
2
2 puncte
=16x2−1x=(4x−1)(4x+1)x= \frac{16x^2 - 1}{x} = \frac{(4x - 1)(4x + 1)}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
3 puncte
f(1)=8f(1) = 8, f′(1)=15f'(1) = 15, deci ecuația tangentei este y−f(1)=f′(1)(x−1)⇔y=15x−7y - f(1) = f'(1)(x - 1) \Leftrightarrow y = 15x - 7
4
2 puncte
15⋅23−7=315 \cdot \frac{2}{3} - 7 = 3, deci punctul A(23,3)A\left(\frac{2}{3}, 3\right) aparține tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=1x = 1, situat pe graficul funcției ff
c)5 puncte
5
2 puncte
x∈(14,+∞)⇒f′(x)>0x \in \left(\frac{1}{4}, +\infty\right) \Rightarrow f'(x) > 0, deci ff este strict crescătoare pe (14,+∞)\left(\frac{1}{4}, +\infty\right)
6
3 puncte
Cum 14<13<17<12\frac{1}{4} < \frac{1}{3} < \frac{1}{\sqrt{7}} < \frac{1}{2}, obținem f(13)<f(17)<f(12)f\left(\frac{1}{3}\right) < f\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right) < f\left(\frac{1}{2}\right)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→Rf : (-3, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=2x+3x+3f(x) = \frac{2x + 3}{x + 3}. a) Arătați că ∫01(x+3)⋅f(x) dx=4\displaystyle\int_0^1 (x + 3) \cdot f(x)\, dx = 4. b) Arătați că ∫01f(x) dx=2−3ln⁡43\displaystyle\int_0^1 f(x)\, dx = 2 - 3\ln\frac{4}{3}. c) Pentru fiecare număr natural nn, se consideră numărul In=∫01ex(x+3)n(f(x))n dxI_n = \displaystyle\int_0^1 e^x(x + 3)^n(f(x))^n\, dx. Demonstrați că In+2nIn−1=e⋅5n−3nI_n + 2nI_{n-1} = e \cdot 5^n - 3^n, pentru orice număr natural nn, n≥1n \geq 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫01(x+3)⋅f(x) dx=∫01(2x+3) dx=(x2+3x)∣01=\displaystyle\int_0^1 (x + 3) \cdot f(x)\, dx = \int_0^1 (2x + 3)\, dx = \left.(x^2 + 3x)\right|_0^1 =
2
2 puncte
=1+3−0=4= 1 + 3 - 0 = 4
b)5 puncte
3
3 puncte
∫01f(x) dx=∫012x+3x+3 dx=∫01(2−3x+3) dx=2x∣01−3ln⁡(x+3)∣01=\displaystyle\int_0^1 f(x)\, dx = \int_0^1 \frac{2x + 3}{x + 3}\, dx = \int_0^1 \left(2 - \frac{3}{x + 3}\right)\, dx = \left.2x\right|_0^1 - \left.3\ln(x + 3)\right|_0^1 =
4
2 puncte
=2−3(ln⁡4−ln⁡3)=2−3ln⁡43= 2 - 3(\ln 4 - \ln 3) = 2 - 3\ln\frac{4}{3}
c)5 puncte
5
3 puncte
In=∫01ex(2x+3)n dx=ex(2x+3)n∣01−2n∫01ex(2x+3)n−1 dx=I_n = \displaystyle\int_0^1 e^x(2x + 3)^n\, dx = \left.e^x(2x + 3)^n\right|_0^1 - 2n\int_0^1 e^x(2x + 3)^{n-1}\, dx =
6
2 puncte
=e⋅5n−3n−2nIn−1= e \cdot 5^n - 3^n - 2nI_{n-1}, deci In+2nIn−1=e⋅5n−3nI_n + 2nI_{n-1} = e \cdot 5^n - 3^n, pentru orice număr natural nn, n≥1n \geq 1

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare 2018 — Tehnologic

Următor →

Bac Vară 2018 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac