BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2018 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 30⋅(13−0,3)=130 \cdot \left(\frac{1}{3} - 0{,}3\right) = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
30⋅(13−0,3)=30⋅(13−310)=30⋅10−930=30 \cdot \left(\frac{1}{3} - 0{,}3\right) = 30 \cdot \left(\frac{1}{3} - \frac{3}{10}\right) = 30 \cdot \frac{10 - 9}{30} =
2
2 puncte
=30⋅130=1= 30 \cdot \frac{1}{30} = 1
Exercițiul 2
Se consideră x1x_1 și x2x_2 soluțiile ecuației x2−x+a=0x^2 - x + a = 0, unde aa este număr real. Determinați valorile reale ale lui aa pentru care x1x2−1<0x_1 x_2 - 1 < 0.

Rezolvare

1
3 puncte
x1x2=ax_1 x_2 = a
2
2 puncte
a−1<0⇔a∈(−∞,1)a - 1 < 0 \Leftrightarrow a \in (-\infty, 1)
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+1=9x3^{x+1} = 9^x.

Rezolvare

1
3 puncte
3x+1=32x⇔x+1=2x3^{x+1} = 3^{2x} \Leftrightarrow x + 1 = 2x
2
2 puncte
x=1x = 1
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra unităților egală cu 33.

Rezolvare

1
1 punct
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile
2
2 puncte
Sunt 99 numere naturale de două cifre care au cifra unităților egală cu 33, deci sunt 99 cazuri favorabile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=990=110p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(−1,−1)A(-1, -1) și B(4,4)B(4, 4). Demonstrați că punctele AA, OO și BB sunt coliniare.

Rezolvare

1
2 puncte
AO=2AO = \sqrt{2}, OB=42OB = 4\sqrt{2}
2
3 puncte
AB=52⇒AB=AO+OBAB = 5\sqrt{2} \Rightarrow AB = AO + OB, deci punctele AA, OO și BB sunt coliniare
Exercițiul 6
Demonstrați că (sin⁡x+cos⁡x)2−sin⁡2x=1(\sin x + \cos x)^2 - \sin 2x = 1, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x =
2
2 puncte
=sin⁡2x+cos⁡2x=1= \sin^2 x + \cos^2 x = 1, pentru orice număr real xx

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(1−526)A = \begin{pmatrix} 1 & -5 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}, B=(65−21)B = \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} și I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. a) Arătați că det⁡A=16\det A = 16. b) Determinați numărul real aa pentru care A⋅B=aI2A \cdot B = aI_2. c) Demonstrați că det⁡(xA+1xB)≥49\det\left(xA + \frac{1}{x}B\right) \geq 49, pentru orice număr real nenul xx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
det⁡A=∣1−526∣=1⋅6−2⋅(−5)=\det A = \begin{vmatrix} 1 & -5 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} = 1 \cdot 6 - 2 \cdot (-5) =
2
2 puncte
=6+10=16= 6 + 10 = 16
b)5 puncte
3
3 puncte
(1−526)(65−21)=a(1001)⇔(160016)=(a00a)\begin{pmatrix} 1 & -5 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}
4
2 puncte
a=16a = 16
c)5 puncte
5
3 puncte
det⁡(xA+1xB)=∣x+6x−5x+5x2x−2x6x+1x∣=16x2+16x2+17\det\left(xA + \frac{1}{x}B\right) = \begin{vmatrix} x + \frac{6}{x} & -5x + \frac{5}{x} \\ 2x - \frac{2}{x} & 6x + \frac{1}{x} \end{vmatrix} = 16x^2 + \frac{16}{x^2} + 17
6
2 puncte
16x2+16x2+17≥49⇔16x2+16x2−32≥0⇔16(x−1x)2≥016x^2 + \frac{16}{x^2} + 17 \geq 49 \Leftrightarrow 16x^2 + \frac{16}{x^2} - 32 \geq 0 \Leftrightarrow 16\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 \geq 0, relație adevărată pentru orice număr real nenul xx
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=5xy+15(x+y)+42x \circ y = 5xy + 15(x + y) + 42. a) Arătați că (−2)∘(−2)=2(-2) \circ (-2) = 2. b) Demonstrați că x∘y=5(x+3)(y+3)−3x \circ y = 5(x + 3)(y + 3) - 3, pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numărul real xx, pentru care (x−3)∘(x−3)∘(x−3)=197(x - 3) \circ (x - 3) \circ (x - 3) = 197.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
(−2)∘(−2)=5⋅(−2)⋅(−2)+15(−2+(−2))+42=(-2) \circ (-2) = 5 \cdot (-2) \cdot (-2) + 15(-2 + (-2)) + 42 =
2
2 puncte
=20−60+42=2= 20 - 60 + 42 = 2
b)5 puncte
3
2 puncte
x∘y=5xy+15x+15y+45−3x \circ y = 5xy + 15x + 15y + 45 - 3
4
3 puncte
=5x(y+3)+15(y+3)−3=5(x+3)(y+3)−3= 5x(y + 3) + 15(y + 3) - 3 = 5(x + 3)(y + 3) - 3, pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
2 puncte
(x−3)∘(x−3)=5x2−3(x - 3) \circ (x - 3) = 5x^2 - 3, (x−3)∘(x−3)∘(x−3)=25x3−3(x - 3) \circ (x - 3) \circ (x - 3) = 25x^3 - 3
6
3 puncte
25x3−3=197⇔x=225x^3 - 3 = 197 \Leftrightarrow x = 2

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(x−2)exf(x) = (x - 2)e^x. a) Arătați că f′(x)=(x−1)exf'(x) = (x - 1)e^x, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Arătați că lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0. c) Demonstrați că −e≤f(x)≤0-e \leq f(x) \leq 0, pentru orice x∈(−∞,2]x \in (-\infty, 2].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=1⋅ex+(x−2)⋅ex=f'(x) = 1 \cdot e^x + (x - 2) \cdot e^x =
2
2 puncte
=ex(1+x−2)=(x−1)ex= e^x(1 + x - 2) = (x - 1)e^x, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
3 puncte
lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞x−2e−x=\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x - 2}{e^{-x}} =
4
2 puncte
=lim⁡x→−∞1−e−x=0= \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{-e^{-x}} = 0
c)5 puncte
5
2 puncte
f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈(−∞,1]⇒fx \in (-\infty, 1] \Rightarrow f este descrescătoare pe (−∞,1](-\infty, 1], f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈[1,2]⇒fx \in [1, 2] \Rightarrow f este crescătoare pe [1,2][1, 2]
6
3 puncte
lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0, f(1)=−ef(1) = -e și f(2)=0f(2) = 0, deci −e≤f(x)≤0-e \leq f(x) \leq 0, pentru orice x∈(−∞,2]x \in (-\infty, 2]
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x2+1f(x) = 3x^2 + 1. a) Arătați că ∫−11(f(x)−1) dx=2\displaystyle\int_{-1}^{1} (f(x) - 1)\, dx = 2. b) Demonstrați că orice primitivă a funcției ff este crescătoare pe R\mathbb{R}. c) Calculați ∫1ef(x)ln⁡x dx\displaystyle\int_1^e f(x) \ln x\, dx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫−11(f(x)−1) dx=∫−113x2 dx=x3∣−11=\displaystyle\int_{-1}^{1} (f(x) - 1)\, dx = \int_{-1}^{1} 3x^2\, dx = \left. x^3 \right|_{-1}^{1} =
2
2 puncte
=1−(−1)=2= 1 - (-1) = 2
b)5 puncte
3
2 puncte
F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R} este o primitivă a lui f⇒F′(x)=f(x)=3x2+1f \Rightarrow F'(x) = f(x) = 3x^2 + 1, x∈Rx \in \mathbb{R}
4
3 puncte
F′(x)>0F'(x) > 0, pentru orice număr real xx, deci FF este crescătoare pe R\mathbb{R}
c)5 puncte
5
3 puncte
∫1ef(x)ln⁡x dx=∫1e(3x2+1)ln⁡x dx=(x3+x)ln⁡x∣1e−∫1e(x3+x)⋅1x dx=e3+e−∫1e(x2+1) dx=\displaystyle\int_1^e f(x) \ln x\, dx = \int_1^e (3x^2 + 1) \ln x\, dx = \left.(x^3 + x) \ln x\right|_1^e - \int_1^e (x^3 + x) \cdot \frac{1}{x}\, dx = e^3 + e - \int_1^e (x^2 + 1)\, dx =
6
2 puncte
=e3+e−(x33+x)∣1e=e3+e−(e33+e)+(13+1)=2e3+43= e^3 + e - \left.\left(\frac{x^3}{3} + x\right)\right|_1^e = e^3 + e - \left(\frac{e^3}{3} + e\right) + \left(\frac{1}{3} + 1\right) = \frac{2e^3 + 4}{3}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2018 — Științele Naturii

Următor →

Bac Specială 2018 — Matematică-Informatică (Varianta 3)

← Înapoi la arhiva completă Bac