BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2019 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că numărul n=(3−i2)(3+i2)n = (3 - i\sqrt{2})(3 + i\sqrt{2}) este întreg, unde i2=−1i^2 = -1.

Rezolvare

1
2 puncte
n=32−(i2)2=n = 3^2 - (i\sqrt{2})^2 =
2
3 puncte
=9−2i2=9+2=11∈Z= 9 - 2i^2 = 9 + 2 = 11 \in \mathbb{Z}
Exercițiul 2
Determinați numărul real aa, știind că punctul A(a,3)A(a, 3) aparține graficului funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+af(x) = 2x + a.

Rezolvare

1
3 puncte
f(a)=3⇒2a+a=3f(a) = 3 \Rightarrow 2a + a = 3
2
2 puncte
a=1a = 1
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2019x+2019−x=22019^x + 2019^{-x} = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
2019x+2019−x−2=0⇔(2019x−1)2=02019^x + 2019^{-x} - 2 = 0 \Leftrightarrow (2019^x - 1)^2 = 0
2
2 puncte
2019x=12019^x = 1, deci x=0x = 0
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra unităților impară.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile
2
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre care au cifra unităților impară are 4545 de elemente, deci sunt 4545 de cazuri favorabile
3
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=4590=12p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{45}{90} = \frac{1}{2}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(3,−3)A(3, -3) și B(2,−2)B(2, -2). Determinați ecuația dreptei dd care trece prin AA și este perpendiculară pe ABAB.

Rezolvare

1
2 puncte
mAB=−1⇒md=1m_{AB} = -1 \Rightarrow m_d = 1
2
3 puncte
Ecuația dreptei dd este y−yA=md(x−xA)y - y_A = m_d(x - x_A), deci y=x−6y = x - 6
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡(a−b)sin⁡(a+b)=(sin⁡a−sin⁡b)(sin⁡a+sin⁡b)\sin(a - b) \sin(a + b) = (\sin a - \sin b)(\sin a + \sin b), pentru orice numere reale aa și bb.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡(a−b)sin⁡(a+b)=sin⁡2a⋅cos⁡2b−sin⁡2b⋅cos⁡2a=\sin(a - b) \sin(a + b) = \sin^2 a \cdot \cos^2 b - \sin^2 b \cdot \cos^2 a =
2
3 puncte
=sin⁡2a(1−sin⁡2b)−sin⁡2b(1−sin⁡2a)=sin⁡2a−sin⁡2b=(sin⁡a−sin⁡b)(sin⁡a+sin⁡b)= \sin^2 a(1 - \sin^2 b) - \sin^2 b(1 - \sin^2 a) = \sin^2 a - \sin^2 b = (\sin a - \sin b)(\sin a + \sin b), pentru orice numere reale aa și bb

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(a0−a020−a0a)A(a) = \begin{pmatrix} a & 0 & -a \\ 0 & 2 & 0 \\ -a & 0 & a \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(a))=0\det(A(a)) = 0, pentru orice număr real aa. b) Demonstrați că A(a)⋅A(b)=2A(ab)A(a) \cdot A(b) = 2A(ab), pentru orice numere reale aa și bb. c) Demonstrați că matricea B=A(log⁡23)⋅A(log⁡34)⋅A(log⁡45)⋯A(log⁡1516)B = A(\log_2 3) \cdot A(\log_3 4) \cdot A(\log_4 5) \cdots A(\log_{15} 16) are toate elementele numere întregi.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
det⁡(A(a))=∣a0−a020−a0a∣=\det(A(a)) = \begin{vmatrix} a & 0 & -a \\ 0 & 2 & 0 \\ -a & 0 & a \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=2a2+0+0−2a2−0−0=0= 2a^2 + 0 + 0 - 2a^2 - 0 - 0 = 0, pentru orice număr real aa
b)5 puncte
3
3 puncte
A(a)⋅A(b)=(2ab0−2ab040−2ab02ab)=A(a) \cdot A(b) = \begin{pmatrix} 2ab & 0 & -2ab \\ 0 & 4 & 0 \\ -2ab & 0 & 2ab \end{pmatrix} =
4
2 puncte
=2(ab0−ab020−ab0ab)=2A(ab)= 2\begin{pmatrix} ab & 0 & -ab \\ 0 & 2 & 0 \\ -ab & 0 & ab \end{pmatrix} = 2A(ab), pentru orice numere reale aa și bb
c)5 puncte
5
3 puncte
B=213A(log⁡23⋅log⁡34⋅log⁡45⋯log⁡1516)=213A(log⁡216)=B = 2^{13} A(\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdots \log_{15} 16) = 2^{13} A(\log_2 16) =
6
2 puncte
=213A(4)= 2^{13} A(4), care are toate elementele numere întregi
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3+X2+mX+nf = X^3 + X^2 + mX + n, unde mm și nn sunt numere reale. a) Arătați că f(−1)−2f(0)+f(1)=2f(-1) - 2f(0) + f(1) = 2, pentru orice numere reale mm și nn. b) Determinați numerele reale mm și nn, știind că polinomul ff este divizibil cu polinomul X2−1X^2 - 1. c) Demonstrați că 3(x1x2+x1x3+x2x3+x1x2x3)−(x13+x23+x33)=13(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 + x_1 x_2 x_3) - (x_1^3 + x_2^3 + x_3^3) = 1, pentru orice numere reale mm și nn, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
f(−1)=−m+nf(-1) = -m + n, f(0)=nf(0) = n, f(1)=2+m+nf(1) = 2 + m + n
2
3 puncte
f(−1)−2f(0)+f(1)=−m+n−2n+2+m+n=2f(-1) - 2f(0) + f(1) = -m + n - 2n + 2 + m + n = 2, pentru orice numere reale mm și nn
b)5 puncte
3
3 puncte
ff este divizibil cu X2−1⇔f(−1)=0X^2 - 1 \Leftrightarrow f(-1) = 0 și f(1)=0f(1) = 0
4
2 puncte
m=−1m = -1, n=−1n = -1
c)5 puncte
5
3 puncte
x1+x2+x3=−1x_1 + x_2 + x_3 = -1, x1x2+x1x3+x2x3=mx_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = m, x1x2x3=−nx_1 x_2 x_3 = -n, x13+x23+x33=−1+3m−3nx_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = -1 + 3m - 3n
6
2 puncte
3(x1x2+x1x3+x2x3+x1x2x3)−(x13+x23+x33)=3(m−n)−(−1+3m−3n)=13(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 + x_1 x_2 x_3) - (x_1^3 + x_2^3 + x_3^3) = 3(m - n) - (-1 + 3m - 3n) = 1

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2e−xf(x) = x^2 e^{-x}. a) Arătați că f′(x)=x(2−x)e−xf'(x) = x(2 - x)e^{-x}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff. c) Demonstrați că, pentru orice a∈(0,4e−2)a \in (0, 4e^{-2}), ecuația f(x)=af(x) = a are exact trei soluții reale.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=2xe−x−x2e−x=f'(x) = 2xe^{-x} - x^2 e^{-x} =
2
2 puncte
=(2x−x2)e−x=x(2−x)e−x= (2x - x^2)e^{-x} = x(2 - x)e^{-x}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
f′(x)=0⇔x=0f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 sau x=2x = 2
4
3 puncte
f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈(−∞,0]x \in (-\infty, 0], deci ff este descrescătoare pe (−∞,0](-\infty, 0], f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], deci ff este crescătoare pe [0,2][0, 2] și f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈[2,+∞)x \in [2, +\infty), deci ff este descrescătoare pe [2,+∞)[2, +\infty)
c)5 puncte
5
3 puncte
f(0)=0<af(0) = 0 < a, f(2)=4e−2>af(2) = 4e^{-2} > a și lim⁡x→+∞f(x)=0<a\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 < a, pentru orice a∈(0,4e−2)a \in (0, 4e^{-2})
6
2 puncte
Cum lim⁡x→−∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty, ff este continuă pe R\mathbb{R} și ff este strict monotonă pe (−∞,0)(-\infty, 0), pe (0,2)(0, 2) și pe (2,+∞)(2, +\infty), ecuația f(x)=af(x) = a are exact trei soluții reale
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2+ln⁡xf(x) = x^2 + \ln x. a) Arătați că ∫12(f(x)−ln⁡x) dx=73\displaystyle\int_1^2 (f(x) - \ln x)\, dx = \frac{7}{3}. b) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:(0,+∞)→Rg : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, g(x)=2x−x2+f(x)g(x) = 2x - x^2 + f(x), axa OxOx și dreptele de ecuații x=1x = 1 și x=ex = e are aria egală cu e2e^2. c) Demonstrați că lim⁡n→+∞∫e−11xn(f(x)−x2) dx=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \int_{e^{-1}}^{1} x^n (f(x) - x^2)\, dx = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫12(f(x)−ln⁡x) dx=∫12x2 dx=x33∣12=\displaystyle\int_1^2 (f(x) - \ln x)\, dx = \int_1^2 x^2\, dx = \left.\frac{x^3}{3}\right|_1^2 =
2
2 puncte
=83−13=73= \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}
b)5 puncte
3
3 puncte
g(x)=2x+ln⁡x⇒A=∫1e∣g(x)∣ dx=∫1e(2x+ln⁡x) dx=x2∣1e+xln⁡x∣1e−∫1ex⋅1x dx=g(x) = 2x + \ln x \Rightarrow \mathcal{A} = \displaystyle\int_1^e |g(x)|\, dx = \int_1^e (2x + \ln x)\, dx = \left. x^2\right|_1^e + \left. x \ln x\right|_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x}\, dx =
4
2 puncte
=e2−1+e−0−(e−1)=e2= e^2 - 1 + e - 0 - (e - 1) = e^2
c)5 puncte
5
3 puncte
∫e−11xn(f(x)−x2) dx=∫e−11xnln⁡x dx=(xn+1n+1ln⁡x−xn+1(n+1)2)∣e−11=−1(n+1)2+1(n+1)en+1+1(n+1)2en+1\displaystyle\int_{e^{-1}}^{1} x^n (f(x) - x^2)\, dx = \int_{e^{-1}}^{1} x^n \ln x\, dx = \left.\left(\frac{x^{n+1}}{n+1} \ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}\right)\right|_{e^{-1}}^{1} = -\frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+1)e^{n+1}} + \frac{1}{(n+1)^2 e^{n+1}}
6
2 puncte
lim⁡n→+∞∫e−11xn(f(x)−x2) dx=lim⁡n→+∞(−1(n+1)2+1(n+1)en+1+1(n+1)2en+1)=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \int_{e^{-1}}^{1} x^n (f(x) - x^2)\, dx = \lim_{n \to +\infty} \left(-\frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+1)e^{n+1}} + \frac{1}{(n+1)^2 e^{n+1}}\right) = 0

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare 2019 — Tehnologic

Următor →

Bac Vară 2019 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac