BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2019 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 7(7+1)−7=7\sqrt{7}\left(\sqrt{7} + 1\right) - \sqrt{7} = 7.

Rezolvare

1
2 puncte
7(7+1)−7=7⋅7+7−7=\sqrt{7}\left(\sqrt{7} + 1\right) - \sqrt{7} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} + \sqrt{7} - \sqrt{7} =
2
3 puncte
=7+0=7= 7 + 0 = 7
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−6x+8f(x) = x^2 - 6x + 8. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției ff cu axa OyOy.

Rezolvare

1
3 puncte
f(0)=8f(0) = 8
2
2 puncte
Coordonatele punctului de intersecție cu axa OyOy sunt x=0x = 0 și y=8y = 8
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(x2+9)=2\log_5(x^2 + 9) = 2.

Rezolvare

1
2 puncte
x2+9=52⇒x2−16=0x^2 + 9 = 5^2 \Rightarrow x^2 - 16 = 0
2
3 puncte
x=−4x = -4 sau x=4x = 4, care convin
Exercițiul 4
După o ieftinire cu 40%40\%, prețul unui obiect este 300300 de lei. Calculați prețul obiectului înainte de ieftinire.

Rezolvare

1
3 puncte
x−40100⋅x=300x - \frac{40}{100} \cdot x = 300, unde xx este prețul obiectului înainte de ieftinire
2
2 puncte
x=500x = 500 de lei
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(3,2)A(3, 2), B(−3,2)B(-3, 2) și C(0,6)C(0, 6). Determinați, în triunghiul ABCABC, lungimea medianei din vârful CC.

Rezolvare

1
2 puncte
M(0,2)M(0, 2), unde punctul MM este mijlocul laturii ABAB
2
3 puncte
CM=4CM = 4
Exercițiul 6
Arătați că 32⋅sin⁡60°−22⋅sin⁡45°=14\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin 60° - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin 45° = \frac{1}{4}.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡60°=32\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡45°=22\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}
2
3 puncte
32⋅sin⁡60°−22⋅sin⁡45°=32⋅32−22⋅22=34−24=14\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin 60° - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin 45° = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(6−103−5)A = \begin{pmatrix} 6 & -10 \\ 3 & -5 \end{pmatrix}, I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și M(a)=I2+aAM(a) = I_2 + aA, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡A=0\det A = 0. b) Demonstrați că M(a)⋅M(b)=M(a+b+ab)M(a) \cdot M(b) = M(a + b + ab), pentru orice numere reale aa și bb. c) Determinați numărul real aa pentru care M(1)+M(2)+…+M(2019)=2019M(a)M(1) + M(2) + \ldots + M(2019) = 2019 M(a).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
det⁡A=∣6−103−5∣=6⋅(−5)−3⋅(−10)=\det A = \begin{vmatrix} 6 & -10 \\ 3 & -5 \end{vmatrix} = 6 \cdot (-5) - 3 \cdot (-10) =
2
2 puncte
=−30+30=0= -30 + 30 = 0
b)5 puncte
3
2 puncte
A⋅A=AA \cdot A = A și M(a)⋅M(b)=(I2+aA)(I2+bA)=I2+aA+bA+abA⋅A=M(a) \cdot M(b) = (I_2 + aA)(I_2 + bA) = I_2 + aA + bA + abA \cdot A =
4
3 puncte
=I2+aA+bA+abA=I2+(a+b+ab)A=M(a+b+ab)= I_2 + aA + bA + abA = I_2 + (a + b + ab)A = M(a + b + ab), pentru orice numere reale aa și bb
c)5 puncte
5
3 puncte
(I2+A)+(I2+2A)+…+(I2+2019A)=2019I2+(1+2+…+2019)A=(I_2 + A) + (I_2 + 2A) + \ldots + (I_2 + 2019A) = 2019 I_2 + (1 + 2 + \ldots + 2019)A =
6
2 puncte
=2019(I2+1010A)=2019M(1010)= 2019(I_2 + 1010A) = 2019 M(1010), de unde obținem a=1010a = 1010
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=mX3+2X2−mX−2f = mX^3 + 2X^2 - mX - 2, unde mm este număr real nenul. a) Arătați că f(1)=0f(1) = 0, pentru orice număr real nenul mm. b) Pentru m=3m = 3, determinați rădăcinile polinomului ff. c) Determinați numărul real nenul mm pentru care 1x1+1x2+1x3=−4\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = -4, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f(1)=m⋅13+2⋅12−m⋅1−2=f(1) = m \cdot 1^3 + 2 \cdot 1^2 - m \cdot 1 - 2 =
2
2 puncte
=m+2−m−2=0= m + 2 - m - 2 = 0, pentru orice număr real nenul mm
b)5 puncte
3
2 puncte
f=3X3+2X2−3X−2⇒f=(X−1)(X+1)(3X+2)f = 3X^3 + 2X^2 - 3X - 2 \Rightarrow f = (X - 1)(X + 1)(3X + 2)
4
3 puncte
x1=−1x_1 = -1, x2=−23x_2 = -\frac{2}{3}, x3=1x_3 = 1
c)5 puncte
5
2 puncte
x1x2+x1x3+x2x3=−1x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = -1, x1x2x3=2mx_1 x_2 x_3 = \frac{2}{m}
6
3 puncte
x1x2+x1x3+x2x3x1x2x3=−4⇔−m2=−4⇔m=8\frac{x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3}{x_1 x_2 x_3} = -4 \Leftrightarrow \frac{-m}{2} = -4 \Leftrightarrow m = 8

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x+5f(x) = x^3 - 3x + 5. a) Arătați că f′(x)=3(x−1)(x+1)f'(x) = 3(x - 1)(x + 1), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Demonstrați că funcția ff este convexă pe [0,+∞)[0, +\infty). c) Demonstrați că f(x)≤7f(x) \leq 7, pentru orice x∈(−∞,1]x \in (-\infty, 1].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=3x2−3=f'(x) = 3x^2 - 3 =
2
2 puncte
=3(x2−1)=3(x−1)(x+1)= 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1), x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
f′′(x)=6xf''(x) = 6x, x∈Rx \in \mathbb{R}
4
3 puncte
f′′(x)≥0f''(x) \geq 0, pentru orice x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty), deci funcția ff este convexă pe [0,+∞)[0, +\infty)
c)5 puncte
5
2 puncte
f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈(−∞,−1]⇒fx \in (-\infty, -1] \Rightarrow f este crescătoare pe (−∞,−1](-\infty, -1] și f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈[−1,1]⇒fx \in [-1, 1] \Rightarrow f este descrescătoare pe [−1,1][-1, 1]
6
3 puncte
f(x)≤f(−1)f(x) \leq f(-1), pentru orice x∈(−∞,1]x \in (-\infty, 1] și f(−1)=7f(-1) = 7, deci f(x)≤7f(x) \leq 7, pentru orice x∈(−∞,1]x \in (-\infty, 1]
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x2+6x+7f(x) = \sqrt{3x^2 + 6x + 7}. a) Arătați că ∫01f2(x) dx=11\displaystyle\int_0^1 f^2(x)\, dx = 11. b) Calculați ∫−11x+1f(x) dx\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{x + 1}{f(x)}\, dx. c) Demonstrați că, pentru orice a∈(0,+∞)a \in (0, +\infty), suprafața plană delimitată de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x = 0 și x=ax = a are aria mai mare sau egală cu a7a\sqrt{7}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫01f2(x) dx=∫01(3x2+6x+7) dx=(x3+3x2+7x)∣01=\displaystyle\int_0^1 f^2(x)\, dx = \int_0^1 (3x^2 + 6x + 7)\, dx = \left.\left(x^3 + 3x^2 + 7x\right)\right|_0^1 =
2
2 puncte
=1+3+7−0=11= 1 + 3 + 7 - 0 = 11
b)5 puncte
3
3 puncte
∫−11x+1f(x) dx=∫−11x+13x2+6x+7 dx=133x2+6x+7∣−11=\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{x + 1}{f(x)}\, dx = \int_{-1}^{1} \frac{x + 1}{\sqrt{3x^2 + 6x + 7}}\, dx = \left.\frac{1}{3}\sqrt{3x^2 + 6x + 7}\right|_{-1}^{1} =
4
2 puncte
=13(16−4)=23= \frac{1}{3}(\sqrt{16} - \sqrt{4}) = \frac{2}{3}
c)5 puncte
5
2 puncte
3x2+6x+7≥7\sqrt{3x^2 + 6x + 7} \geq \sqrt{7}, pentru orice x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty)
6
3 puncte
A=∫0a∣f(x)∣ dx=∫0a3x2+6x+7 dx≥∫0a7 dx=a7\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^a |f(x)|\, dx = \int_0^a \sqrt{3x^2 + 6x + 7}\, dx \geq \int_0^a \sqrt{7}\, dx = a\sqrt{7}, pentru orice a∈(0,+∞)a \in (0, +\infty)

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2019 — Științele Naturii

Următor →

Bac Specială 2019 — Matematică-Informatică (Varianta 8)

← Înapoi la arhiva completă Bac